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【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第2讲 排列与组合(理)习题


2017 高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第 2 讲 排列与组合(理)习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1.(教材改编)用数字 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 导学号 25402374 ( A.8 C.48 [答案] C [解析] 末位数字排法有 A2种,其他位置排法有 A4种,共有 A2A4=48(种). 2.10 名同学

合影,站成了前排 3 人,后排 7 人.现摄影师要从后排 7 人中抽 2 人站前 排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为 导学号 25402375 ( A.C7A5 C.C7A5 [答案] C [解析] 从后排抽 2 人的方法种数是 C7;前排的排列方法种数是 A5.由分步乘法计数原 理知不同调整方法种数是 C7A5. 3.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 导学号 25402376 ( ) A.144 C.72 [答案] D [解析] 剩余的 3 个座位共有 4 个空隙供 3 人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种 数为 A4=4×3×2=24. 4.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每 个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 导学号 25402377 ( A.12 种 C.9 种 [答案] A [解析] 方法; 分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有 C2=2(种)选派
1 3 2 2 2 2 2 2 2 5 1 3 1 3

) B.24 D.120

)

B.C7A2 D.C7A5
2 3

2 2

B.120 D.24

)

B.10 种 D.8 种

1

第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有 C4=6(种)选派方法. 由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有 2×6=12(种). 5.(2015·四川德阳第一次诊断)学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数 学、英语、理综 4 科的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同 一节,则不同的安排方法共有 导学号 25402378 ( A.36 种 C.24 种 [答案] B [解析] 由于每科一节课,每节至少有一科,必有两科在同一节,先从 4 科中任选 2 科 看作一个整体,然后做 3 个元素的全排列,共 C4A3种方法,再从中排除数学、理综安排在同 一节的情形,共 A3种方法,故总的方法种数为 C4A3-A3=36-6=30. 6.(2015·河北衡水冀州中学上学期第四次月考)将 A、B、C、D、E 五种不同的文件放入 编号依次为 1、2、3、4、5、6、7 的七个抽屉内,每个抽屉至多放一种文件,若文件 A、B 必须放入相邻的抽屉内,文件 C 、 D 也必须放在相邻的抽屉内,则所有不同的放法有 导学号 25402379 ( A.192 种 C.288 种 [答案] D [解析] 本题为相邻排列问题, 可先排相邻的文件, 再作为一个整体与其他文件做排列, 则有 A2A2A5=240(种)放法,故选 D. 二、填空题 7.将序号分别为 1、2、3、4、5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给 同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是________. 导学号 25402380 [答案] 96 [解析] 将 5 张参观券分成 4 堆,有 2 个连号有 4 种分法,每种分法再分给 4 人,各有
2 2 3 3 2 3 3 2 3

2

)

B.30 种 D.6 种

) B.144 种 D.240 种

A 种分法,∴不同的分法种数共有 4A4 4=96.
8.用 1、2、3、4 这四个数字组成无重复数字的四位数,其中恰有一个偶数夹在两个奇 数之间的四位数的个数为________. 导学号 25402381 [答案] 8 [解析] 先把两奇数捆绑在一起有 A2种方法,再用插空法共有 A2·C2·A2=8 个. 9.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种 必须排在一起, 而丙、 丁两种不能排在一起, 不同的排法共有________种. 导学号 25402382
2 2 1 2

4 4

2

[答案] 24 [解析] 甲、乙排在一起,用捆绑法,丙、丁不排在一起,用插空法,不同的排法共有 2A2·A3=24(种). 10.(2015·河北衡水重点中学上学期联考)某宾馆安排 A、B、C、D、E 五人入住 3 个房 间,每个房间至少住 1 人,且 A、B 不能住同一房间,则共有________种不同的安排方法(用 数字作答). 导学号 25402383 [答案] 114 [解析] C5·A3+C3C5C3-C4·A3=114(种). 三、解答题 11.从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数,试问: 导学号 25402384 (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有几个? (3)(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个? [答案] (1)100800 (2)14400 (3)5760 [解析] (1)分三步完成:第一步,在 4 个偶数中取 3 个,有 C4种情况;第二步,在 5 个奇数中取 4 个,有 C5种情况;第三步,3 个偶数,4 个奇数进行排列,有 A7种情况.所以 符合题意的七位数有 C4C5A7=100 800 个. (2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有 C4C5A5A3=14 400 个. (3)上述七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的有 C4C5A3A4A2=5 760 个. 12.将 7 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中. 导学号 25402385 (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种? (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种? [答案] (1)20 (2)120 [解析] (1)将 7 个相同的小球排成一排,在中间形成的 6 个空当中插入无区别的 3 个 “隔板”将球分成 4 份,第一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式,则共有 C6=20 种不 同的放入方式. (2)每种放入方式对应于将 7 个相同的小球与 3 个相同的“隔板”进行一次排列,即从 10 个位置中选 3 个位置安排隔板,故共有 C10=120 种放入方式. B 组 能力提升 1. 现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆(同一品牌的小车完全相同), 计划将其放在 4 个车库 中(每个车库放 2 辆),则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有 导学号 25402386 ( )
3 3 3 4 3 4 2 3 4 5 3 3 4 7 4 7 3 3 3 1 2 2 2 3 2 2

3

A.144 种 C.72 种 [答案] C

B.108 种 D.36 种

[解析] 从 4 种小车中选取 2 种有 C4种选法,从 4 个车库中选取 2 个车库有 C4种选法, 然后将这 2 种小车放入这两个车库共有 A2种放法;将剩下的 2 种小车每 1 种分开来放,因为 同一品牌的小车完全相同,只有 1 种放法,所以共有 C4C4A2=72(种)不同的放法. 2.“整治裸官”“小官巨贪”、“拍蝇打虎”、“境外追逃”、“回马枪”成为 2014 年国家反腐的 5 个焦点. 某大学新闻系学生利用 2015 年元旦的时间调查社会对这些热点的关 注度, 若准备按照顺序分别调查其中的 4 个热点, 则“整治裸官”作为其中的一个调查热点, 但不作为第一个调查热点的种数为________. 导学号 25402387 [答案] 72 [解析] 先从“小官巨贪”、“拍蝇打虎”、“境外追逃”、“回马枪”这 4 个热点中 选出 3 个,有 C4种不同的选法;在调查时,“整治裸官”安排的顺序有 A3种可能情况,其余 三个热点顺序有 A3种,故不同调查顺序的总数为 C4A3A3=72. 3.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各 3 个,相同颜色的球不加以区分,将这 9 个球排成一排共有________种不同的排法(用数字作答). 导学号 25402388 [答案] 1 680 [解析] 可以考虑将此 9 个球同色加以区分的排成一排,除以相同颜色的球的排列数即 可. 所以满足题意的排列种数为 3×8×7×5×2=1 680. 4.7 名师生站成一排照相留念.其中老师 1 人,男生 4 人,女生 2 人,在下列情况中, 各有不同站法多少种. 导学号 25402389 (1)2 名女生必须相邻; (2)4 名男生互不相邻; (3)若 4 名男生身高都不相等,按从高到低的一种顺序站; (4)老师不站中间,女生不站两端. [答案] (1)1 440 (2)144 (3)420 (4)2 112 [解析] (1)2 名女生站在一起有 A2种站法, 视为一个元素与其余 5 人全排, 有 A6种排法, ∴有不同站法 A2A6=1 440 种. (2)先站老师和女生,有 A3种站法,再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插男生,每 空一人,有插入方法 A4种,∴共有不同站法 A3A4=144 种. (3)7 人全排列中,4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A4种,而由高到低自从左到右,或
4 4 3 4 3 2 6 2 6 3 3 1 3 3 1 2 2 2 2

2

2

A9 9×8×7×6×5×4×3×2×1 9×8×7×5×4 9 = = 3 3= A ·A3·A3 3×2×1×3×2×1×3×2×1 3×2
3 3

4

从右到左的不同.∴共有不同站法 2· 4=420. (4)中间和两侧是特殊位置可分类求解:①老师站两侧之一,另一侧由男生站,有 A2A4A5 种站法.②两侧全由男生站,老师站除两侧和正中间之外的另外 4 个位置之一,有 A4A4A4种 站法. ∴共有不同站法 A2A4A5+A4A4A4=960+1 152=2 112 种. 5.按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? 导学号 25402390 (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (3)平均分成三份,每份 2 本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; (7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本. [答案] (1)60 (2)360 (3)15 (4)90 (5)15 (6)90 (7)30 [分析] 这是一个分配问题,解题的关键是搞清事件是否与顺序有关,对于平均分组问 题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏. [解析] (1)无序不均匀分组问题,先选 1 本有 C6种选法;再从余下的 5 本中选 2 本有
3 1 2 3 C2 5种选法;最后余下 3 本全选有 C3种方法,故共有 C6C5C3=60 种. 1 1 1 5 2 1 4 2 1 4 1 1 5

A7 7 A4

(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在第(1)题基础上,还应考虑 再分配,共有 C6C5C3A3=360 种. (3)无序均匀分组问题,先分三步,则应是 C6C4C2种方法,但是这里出现了重复.不妨记 6 本书为 A,B,C,D,E,F,若第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF,记该种分 法为(AB,CD,EF),则 C6C4C2种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB), (EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共 A3种情况,而这 A3种情况仅是 AB,CD,EF 的顺序不同, 因此只能作为一种分法,故分配方式有
2 2 C2 6C4C2 3 =15 种. A3 2 2 C2 6C4C2 3 2 2 3 ·A3=C6C4 A3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3

(4)有序均匀分组问题, 在第(3)题基础上再分配给 3 个人, 共有分配方式

C2 2=90 种.
(5)无序部分均匀分组问题,共有
1 1 C4 6C2C1 =15 种. A2 2

1 1 C4 6C2C1 3 (6)有序部分均匀分组问题.在第(5)题基础上再分配给 3 个人,共有分配方式 2 ·A3 A2

5

=90 种. (7)直接分配问题.甲选 1 本有 C6种方法,乙从余下 5 本中选 1 本有 C5种方法,余下 4 本留给丙有 C4种方法,共有 C6C5C4=30 种.
4 1 1 4 1 1

6


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