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必修2立体几何线面、面面平行、线面、面面垂直 2


立体几何空间点、线、面的位置关系 1.五种位置关系,用相应的数学符号表示 (1)点与线的位置关系:点 A 在直线 l 上 (2)点与面的位置关系:点 A 在平面? 内 (3)直线与直线的位置关系:a 与 b 平行 (4) 直线与平面的位置关系: 直线 a 在平面 ? 内 直线 a 与平面 ? 平行 (5)平面与平面的位置关系:平面 ? 与平面 ? 平行 平面 ? 与平面 ? 相交

于 a 平 (一)直线与直线平行 1.定义:在同一平面内不相交的两条直线平行 2.判定两条直线平行的方法: (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行(公理 4) ,记为 a//b,b//c ? a//c (2)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线 平行。记为: a // ? , a ? ? , ? 行 问 题 ;点 B 不在直线 l 上 ;点 B 在平面 ? 外 ;a 与 b 相交于点 O ; 直线 a 与平面 ? 相交于点 A ;

? ? b ? a // b .

(3)两个平面平行的性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (4)线面垂直的性质定理:如两条直线同垂直与一个平面,则这两条直线平行 (二)直线与平面平行 1.定义:直线 a 与平面 ? 没有公共点,称直线 a 平行与平面? ,记为 a//? 2. 线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 定理模式: .

a ? ?? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
1

3、 ? 找线线平行常用的方法: ①中位线定理 ②平行四边形 ③比例关系 ④面面平行-线面平行 E ① 中位线定理 例题:已知如图:平行四边形 ABCD 中, BC ? 6 ,正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF ,BE 的中点. D _ (1) 求证: GH∥平面 CDE; (2) 若 CD ? 2, DB ? 4 2 , 求四棱锥 F-ABCD 的体积. (1)证明:连结 EA,∵ADEF 是正方形 ∴G 是 AE 的中点 ∴在⊿EAB 中, GH // AB 又∵AB∥CD,∴GH∥CD, ∵ HG ? 平面 CDE, CD ? 平面 CDE ∴GH∥平面 CDE ∴FA⊥平面 ABCD. C _ B _ H _ G _ F

A _

(2)∵平面 ADEF ⊥平面 ABCD,交线为 AD 且 FA⊥AD,

2 2 2 ∵ BC ? 6 , ∴ FA ? 6 又∵ CD ? 2, DB ? 4 2 , CD ? DB ? BC

∴BD⊥CD

∴ S

ABCD

? CD ? BD = 8 2
1 ? FA = ? 8 2 ? 6 ? 16 2 3

∴ VF ? ABCD ?

1 S 3

ABCD

3、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD , PD ? 4, DC ? 3 , E 是 PC 的 中点。 (1)证明: PA // 平面BDE ;
C B P

E

(2)求 ?PAD 以 PA 为轴旋转所围成的几何体体积。
D A

解析: (1)连接 A, C 交 BD 于 O ,连接 EO …………2 分

ABCD 是正方形,∴ O 为 AC 中点, E 为 PA 的中点,∴ OE // PA


OE ? 平面 BDE , PA ? 平面BDE
2

PA // 平面BDE
(2)过 D 作 PA 的垂线,垂足为 H , 则几何体为 DH 为半径,分别以 PH , AH 为高的两个圆锥的组合体 ∴ PD ? DA , PD ? 4, DA ? DC ? 3 ,w. ∴ PA ? 5 侧棱 PD ? 底面 ABCD

DH ?

PD DA 4 ? 3 12 ? ? PA 5 5

48 1 1 1 1 12 V ? ? DH 2 PH ? ? DH 2 AH = ? DH 2 PA ? ? ? ( ) 2 ? 5 = ? ? 5 3 3 3 3 5
②平行四边形 例 2、 如图, 在矩形 ABCD 中, AB ? 2 BC ,

P, Q 分别为线段 AB, CD 的中点, EP ⊥平面 ABCD .求证: AQ ∥平面

CEP ; (利用平行四边形)
证明: (Ⅰ) 在矩形 ABCD 中, ∵AP=PB, DQ=QC,∴AP ∵CP ? 平面 CEP, AQ ? 平面 CEP, ∴AQ∥平面 CEP. CQ. ∴AQCP 为平行四边形.∴CP∥ AQ.

③比例关系 例题 3、P 是平行四边形 ABCD 平面外一点,M、N 分别是 PB、BC 上的点,且

BM BN , ? PM NC

求证:MN//平面 PCD(利用比例关系) 证明:?

BM BN ? PM NC

?在三角形 PBC 中,MN//PC

?MN ? 平面 PCD,PC ? 平面 PCD? MN//平面 PCD

④面面平行-线面平行 例题 4、如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE//CF , ? BCF= ? CEF= 90 ? ,AD= 3 ,EF=2。 (Ⅰ)求 证:平面 ABE//平面 CDF ( II)求证:AE//平面 DCF ; (利用面面平行-线面平行)

D A B F E
3

C

(三).两个平面的位置关系有两种:相交(有一条交线) 、平行(没有公共点) 1. 两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面,那么这两个平面平行。
a?? ? ? b 定理的模式: ? ? ? ? a b ? P ? ? ? // ? a // ? ? ? b // ? ? ?

2.垂直于同一直线的两个平面互相平行 例、在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1 D1 的中点.求证:平面 D1EF ∥平面 BDG .

证明:

E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,? EF ∥ BD ……2 分

又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ? EF ∥平面 BDG ……4 分

D1G

EB ?四边形 D1GBE 为 , D1E ∥ GB ……6 分

又 D1E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ? D1E ∥平面 BDG ,……10 分

EF

D1E ? E ,?平面 D1EF ∥平面 BDG ……12 分

3. 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面; (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

? // ? ? ? ? ? ? ? b ? ? a // b ? ? ? ? a? ?

4

空间线面垂直、面面垂直 一、直线与平面垂直:直线与平面内任意一条直线都垂直 垂线、垂面、垂足、画法 二、线面垂直的判定判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。

三、线面垂直的性质定理:如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线垂直这个平面内的任何一条直线。

四、证线线垂直的方法: ① 菱形的对角线互相垂直 ③ 圆的直径所对的圆周角为直角 ② 等腰三角形底边的中线垂直底边 ④ 利用勾股定理

⑤ 间接法,用线面垂直的性质定理( l ? b, b ? ? ? l ? b ) ①菱形的对角线互相垂直: 例题。已知 E ,F 分别是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,EF 交 AC 于 M,GC 直于 ABCD 所在平面。 求证:EF ⊥平面 GMC. 证明(1)连结 BD 交 AC 于 O, ∵E,F 是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,AC⊥BD, ∴EF ⊥AC. 垂

G D E M A F B

C

∵AC∩GC=C, ∴EF ⊥平面 GMC.

②等腰三角形底边的中线垂直底边
5

例 1、 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,AC ? BC ? 2 , 求证:PC ? AB ; ?ACB ? 90 ,AP ? BP ? AB ,PC ? AC .
解:取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . P

AP ? BP ,? PD ? AB .

AC ? BC ,? CD ? AB . PC ? 平面 PCD ,? PC ? AB .

A C

B

PD CD ? D ,? AB ? 平面 PCD .

③圆的直径所对的圆周角为直角 例题 3、如图 AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上异于 A、B 的任意一点, PA 三角形?(2)若 AH (1)图中共有多少个直角 ? 平面 ABC, P H O A C B

? PC ,且 AH 与 PC 交于 H,求证:AH ? 平面 PBC.

④利用勾股定理

例 4、在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 AA1 ? 2 ,E 是侧棱 BB1 的中点。 求证: AE ? 平面 A1D1E ; 证明:? ABCD ? A1 B1C1 D1 为长方体,
D1 A1 B1 C1

? A1 D1 ? 平面 ABB1 A1 AE ? 平面 ABB1 A1 ? A1 D1 ? AE
又? E 是 BB1 的中点,且 BE ? EB1 ? AB ? 1

? A1 E ? AE ? 2
又 AA1 ? 2, 在?A1 EA中, AE ? A1 E ? AA1 ,? A1 E ? AE
2 2 2

E D C

又? A1 D1 ? A1 E ? A1且A1 D1 , A1 E ? 平面A1 D1 E

? AE ? 平面A1 D1 E

A

B

⑤间接法,用线面垂直的性质定理( l ? b, b ? ? ? l ? b )

五、面面垂直
6

(1)两个平面垂直的定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。 (2)两平面垂直的判定定理: (线面垂直 ?面面垂直) 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

例 1 如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直⊙O 所在的平面,C 是圆上不同于 A,

B 的任意一点,求证:平面 PAC⊥平面 PBC.
证明:设⊙O 所在平面为α,又已知条件,PA⊥α,BC 在α内,所以 PA⊥BC. 因为点 C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点,AB 是⊙O 的直径, 所以,∠ BCA 是直角,即 BC⊥AC. 又因为 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线,所以 BC⊥平面 PAC. 又因为 BC 在平面 PBC 内,所以,平面 PAC⊥平面 PBC.

(3)两平面垂直的性质定理: (面面垂直 ?线面垂直) 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

例 1: 如图, 在四棱锥 P— ABCD 中, 侧面 PAD⊥底面 ABCD, 侧棱 PA= PD, O



AD 中点.,求证:PO⊥平面 ABCD;
证明:?△ PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点,? PO⊥AD.

?侧面 PAD⊥底面 ABCD,
平面 PAD∩平面 ABCD=AD, PO ? 平面 PAD,

?PO⊥平面 ABCD.
7

例 2:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 600 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,且 平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ; 证明: (1)? ?DAB ? 60? 且AB ? AD ? a ,固 ?ABD 为等边三角形,又 G 为 AD 的中点,? BG ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD 且交于 AD, BD ? 平面ABCD

? BG ? 平面 PAD

(面面垂直的性质)

(2) PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,? AD ? PG 且 AD ? BG , PG

BG ? G ,? AD ? 平面 PBG , PB ? 平面 PBG ,? AD ? PB

五、体积问题 1. 如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 是正四棱柱侧棱长为 1,底面边长为 2,E 是棱 BC 的中点。 (1)求证: BD1 // 平面 C 1 DE ; (2)求三棱锥 D ? D1 BC 的体积. 解(1)证明:连接 D1C 交 DC1 于 F ,连结 EF ∵正四棱柱,∴四边形 DCC1D 1 为矩形,∴F 为 D1C 中点. 在△ CD1B 中,∵E 为 BC 中点,∴EF//D1B. 又∵D1 B ? 面 C1DE,EF ? 面 C1DE,∴ BD1 // 平面 C 1 DE . (2)连结 BD, VD? D1BC ? VD1 ? DBC ,∵正四棱柱,∴D1D⊥面 DBC. ∵DC=BC=2,∴

D1 A1 D B1

C1

C E B

A

S ?BCD ?

1 1 1 2 ? 2 ? 2 ? 2 . V D1 ? DBC ? ? S ?BCD ? D1 D ? ? 2 ? 1 ? . 2 3 3 3
如:三棱锥 V F ? BEC = V B ? EFC
1

六:等体积法求高(距离) :h

1

1 h S 3 ?BEC
1

=

1 S ?EFC1 BE 3
?

例题、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ;四边形 ABCD 是菱形,边长为 2, ?BCD ? 60 ,经过

AC 作与 PD 平行的平面交 PB 与点 E , ABCD 的两对角线交点为 F . (Ⅰ)求证:
若 EF ? 3 ,求点 D 到平面 PBC 的距离.

P

AC ? DE ; (Ⅱ)
E

D F A
例题

C

8

B

(Ⅰ)证明:连接 DE .因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD . 又因为 PD ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AC . 而 PD ? BD ? F ,所以 AC ? 平面 PBD .

DE ? 平面 PBD,所以 AC ? DE .
(Ⅱ)连 EF .设点 D 到平面 PBC 的距离为 h 由题 PD∥ 平面 ACF ,平面 ACF ? 平面 PDB ? EF 点 F 是 BD 中点,则 EF 是 ?PBD 的中位线, EF ? 所以 PD∥ EF ,

1 PD 2

1 3 EF ? 3 ,故 PD ? 2 3 ,正三角形 BCD 的面积 s?BCD ? ? 2 ? 2 ? ? 3 2 2
由(Ⅰ) ,知 PD ? 平面 BCD , VP ? BCD ?

1 VP ? BCD ? VD ? BCP ? s?BCP 3
所以

1 1 s?BCD PD ? ? 3 ? 2 3 ? 2 3 3 1 h ,易求得 PC ? PB ? 4 , s?BCP ? ? 2 ? 15 ? 15 2
故点 D 到平面 PBC 的距离为

15 2 15 h ? 2, h ? 3 5

2 15 . 5
P

3、 如图 4, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD ? 平面 ABCD ,AB ∥ DC ,△PAD 是等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 4 , AB ? 2DC ? 2 5 . (1)求证: BD ? 平面 PAD ; (2)求三棱锥 A ? PCD 的体积. A (1)证明:在 △ ABD 中,由于 AD ? 2 , BD ? 4 , AB ? 2 5 , ∴ AD ? BD ? AB .
2 2 2

D

C B

∴ AD ? BD . 平面 ABCD ? AD , BD ? 平面 ABCD ,∴ BD ? 平面 PAD . ∴ PO ? 平面 ABCD .

又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD

(2)解:过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O .又平面 PAD ? 平面 ABCD , ∵ △PAD 是边长为 2 的等边三角形, ∴ PO ? 3 . 由(1)知, AD ? BD ,在 Rt△ ABD 中,斜边 AB 边上的高为 h ?

AD ? BD 4 5 ? . AB 5

∵ AB ∥ DC ,∴ S△ ACD ?

1 1 4 5 CD ? h ? ? 5 ? ? 2. 2 2 5

9

∴ VA? PCD ? VP ? ACD ?

1 1 2 3 . S△ ACD ? PO ? ? 2 ? 3 ? 3 3 3

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