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【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第3讲 二项式定理(理)习题


2017 高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第 3 讲 二项式定理(理)习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1 . (2015· 湖 南 ) 已 知 ( x - 导学号 25402408 ( A. 3 C.6 [答案] D [解析] 由二项展开式的通项可得
5-r Tr+1=Cr (- 5( x )

3 a 5 ) 的

展 开 式 中 含 x 2 的 项 的 系 数 为 30 , 则 a = x

) B.- 3 D.-6

5-r r 5 a r 5 3 r r - r r -r ) =(-a) C5x 2 2=(-a) C5x2 ,令 -r= ,得 r=1,所以(- 2 2 x

1 a)rCr 5=(-a)×C5=30,则 a=-6,选 D.

2.二项式(x- A.-15 C.-20 [答案] B

1

x

) 的展开式中常数项为 导学号 25402409 ( B.15 D.20

6

)

[解析] 依题意,二项展开式的通项公式 Tr+1=C6x - =0,得 r=4,所以常数项为(-1) C6=15. 2 3 . 二 项 式 (ax + 导学号 25402410 ( A. 7 3

r 6-r

1 r r r r 6-r- (-x 2) =(-1) C6x 2,令 6-r


r

4 4

3 6 2 ) 的 展 开 式 的 第 二 项 的 系 数 为 - 3 , 则 ?a - 2x dx 的 值 为 6 ? ) B.3 10 D.3 或- 3

7 C.3 或 3 [答案] A

[解析] 二项展开式的第二项为 T2=C6(ax) ×

1

5

3 3 1 5 ,则由题意有 ×C6a =- 3,解得 a 6 6

1

1 3 -1 1 8 7 2 =-1,所以?-1x dx= x |-2=- -(- )= . 3 3 3 3 ?
-2

4.(x -x+1) 展开式中 x 项的系数为 导学号 25402411 ( A.-210 C.30 [答案] A B.210 D.-30

2

10

3

)

[解析] (x -x+1) =[x -(x-1)] =C10(x ) -C10(x ) (x-1)+?-C10x (x-1) +C10 (x-1) ,所以含 x 项的系数为-C10C9+C10(-C10)=-210,故选 A. 5 .设复数 x = 导学号 25402412 ( A.i C.-1+i [答案] C 2i 1 2 2 3 3 2 013 2 013 2 013 2 013 [解析] x= =-1+i,C2 013x+C2 013x +C2 013x +?+C2 013x =(1+x) -1=i 1-i -1=i-1,选 C. 6 .若 (1 - 2x)
2 016 10 3 9 8 10 7

2

10

2

10

0

2 10

1

2 9

9

2

9

10

2i 1 2 2 3 3 2 013 2 (i 是虚数单位 ) ,则 C 2 013 x + C 2 013 x + C 2 013 x +?+ C 2 013 x 1- i ) B.-i D.1+i

013



= a0 + a1x +?+ a2 )

016

x2

016

(x ∈ R) ,则 + 2 + 3 +?+ 2 016 的值为 2 2 2 2

a1

a2

a3

a2 016

导学号 25402413 ( A.2 C.-1 [答案] C

B.0 D.-2

[解析] 方法一:由二项式定理得通项为 Tr+1=C2 016(-2x) =(-1) 2 C2 016x , 则 an=(-1) 2 C2 016,∴ n=(-1) C2 016. 2 则 + 2+ 3+?+ 2 016=(1-1) 2 2 2 2 故选 C. 方法二:原式令 x=0,则 a0=1. 1 a1 a2 a3 a2 016 1 2 016 令 x= ,则 + 2+ 3+?+ 2 016=(1-2× ) -1=-1.故选 C. 2 2 2 2 2 2 二、填空题 7.(2015·广东)在( x-1) 的展开式中,x 的系数为________. 导学号 25402414
4

r

r

r r r

r

n n n

an

n n

a1 a2 a3

a2 016

2 016

-C2 016=-1.

0

2

[答案] 6 [解析] 由题意得 Tr+1=C4( x) 所求系数为(-1) C4=6. [点拨] 在应用二项展开式的通项时,要注意(-1) ,稍有不慎就会出错. 8.设(5x- 1
r
2 2

r

4-r

4-r 4-r r r r (-1) =(-1) C4·x ,令 =1,得 r=2,所以 2 2

x

) 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则

n

n=________. 导学号 25402415
[答案] 4 [解析] 令 x=1 可得各项系数之和 M=(5×1-
n n n 2 n

1
n

) =4 ,二项式系数之和 N=2 ,由 M 1
n

n

n

n

-N=240,得 4 -2 =240,即(2 ) -2 =240,解得 2 =16 或 2 =-15(舍去),所以 n=4. 1 n 2 n 9.(2015·烟台一模)若(x - ) 的展开式中含 x 的项为第 6 项,设(1-3x) =a0+a1x+

x

a2x2+?+anxn,则 a1+a2+?+an 的值为________. 导学号 25403027
[答案] 255 1 n 1 k k 2 k 2 n-k k 2n-3k [解析] 展开式(x - ) 的通项为 Tk+1=Cn(x ) (- ) =Cn(-1) x , 因为含 x 的项为

x

x

第 6 项,所以 k=5,2n-3k=1,解得 n=8.令 x=1,得 a0+a1+?+a8=(1-3) =2 ,又 a0 =1,所以 a1+?+a8=2 -1=255. 10 . 若 a1(x - 1) + a2(x - 1) + a3(x - 1) + a4(x - 1) + a5 = x , 则 a2 + a3 + a4 = ________. 导学号 25402416 [答案] 14 [解析] x =[(x-1)+1] =C4(x-1) +C4(x-1) +C4(x-1) +C4(x-1)+C4,对照 a1(x -1) +a2(x-1) +a3(x-1) +a4(x-1)+a5=x 得 a2=C4,a3=C4,a4=C4,所以 a2+a3+a4=
2 3 C1 4+C4+C4=14. 4 3 2 4 1 2 3 4 4 0 4 1 3 2 2 3 4 4 3 2 4 8

8

8

三、解答题 2 n * 11 .已知 ( x - 2 ) (n ∈ N ) 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10 ∶

x

1. 导学号 25402417 (1)求展开式中各项系数的和; 3 (2)求展开式中含 x 的项. 2 3 [答案] (1)1 (2)-16x 2
3

[解析] 由题意知,第五项系数为 Cn·(-2) , 第三项的系数为 Cn·(-2) ,则有
2 2 2 4 C4 10 n·?-2? , 2 2= Cn·?-2? 1

4

4

化简得 n -5n-24=0,解得 n=8 或 n=-3(舍去). (1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2) =1. (2)通项公式 Tr+1=C8( x)
r
8-r 8

8-r 2 r r r -2r (- 2) =C8(-2) x 2 . x



3 8-r 3 -2r= ,得 r=1,故展开式中含 x2的项为 2 2 3

T2=-16x2.
1 n 12.已知( +2x) , 导学号 25402418 2 (1)若展开式中第 5 项, 第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列, 求展开式中二项式系 数最大项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项. [答案] (1)3432
4

(2)16896x
6 5

10

[解析] (1)∵Cn+Cn=2Cn,∴n -21n+98=0, ∴n=7 或 n=14, 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5, 35 3 1 4 3 ∴T4 的系数为 C7( ) 2 = , 3 2
3 4 T5 的系数为 C4 7( ) 2 =70.

2

1 2

当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8,
7 1 7 7 ∴T8 的系数为 C14( ) 2 =3 432. 2

(2)∵Cn+Cn+Cn=79,∴n +n-156=0. ∴n=12 或 n=-13(舍去). 设 Tk+1 项的系数最大, 1 1 12 12 12 ∵( +2x) =( ) (1+4x) , 2 2 ∴?
?C124 ≥C12 4 ? ? ?C124 ≥C12 4
k k k k k-1 k-1

0

1

2

2

, .

k+1 k+1

∴9.4≤k≤10.4,∴k=10. ∴展开式中系数最大的项为 T11,
4

10 10 10 T11=C10 12·( )·2 ·x =16 896x .

1 2

B 组 能力提升 1 . 在 (2x + x ) 的 展 开 式 中 , 二 项 式 系 数 最 大 的 项 的 值 等 于 1 120 , 则 x = 导学号 25402419 ( A.1 1 C.1 或 10 [答案] C [解析] 二项式系数最大的项为第 5 项,由题意可知 T4+1=C8(2x) (x ) =1 120,所以
4 4 lgx 4 lgx 8

) 1 B. 10 D.-1

x4(1+lgx)=1,两边取对数可知 lg2x+lgx=0,得 lgx=0 或 lgx=-1,故 x=1 或 x= . x 1 5 2.( + + 2) 的展开式中的常数项为________.(用数字作答) 导学号 25402420 2 x
[解析] 解法一:原式=(

1 10

x2+2 2x+2 5 1 1 2 5 10 ) = 5·[(x+ 2) ] = 5(x+ 2) . 2x 32x 32x
10 5

求原式的展开式中的常数项,转化为求 (x + 2) 的展开式中含 x 项的系数,即
5 C5 10·( 2) . 5 C5 63 2 10·? 2?

所以所求的常数项为

32



2

.

解法二:要得到常数项,可以对 5 个括号中的选取情况进行分类: ①5 个括号中都选取常数项,这样得到的常数项为( 2) .
5

x 1 11 1 3 3 ②5 个括号中的 1 个选 ,1 个选 ,3 个选 2,这样得到的常数项为 C5 C4C3( 2) . 2 x 2 x 1 2 1 2 2 ③5 个括号中的 2 个选 ,2 个选 ,1 个选 2,这样得到的常数项为 C5( ) C3 2. 2 x 2
63 2 5 11 1 3 3 2 1 2 2 因此展开式的常数项为( 2) +C5 C4C3( 2) +C5( ) C3 2= . 2 2 2 [点拨] 解法一利用完全平方式进行转化,利用二项式定理求解,是求解这类问题的一 般方法;解法二利用组合的意义,关键是正确的分类,分类的标准是各个因式中对元素的不 同选取方法,在分类时要做到“不重不漏”. 3.(2014·安徽)设 a≠0,n 是大于 1 的自然数,(1+ ) 的展开式为 a0+a1x+a2x +? +anx .若点 Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则 a=________. 导学号 25402421
n

x a

n

2

5

[答案] 3 1 ? ?C ·a=a =3, a =1,a =3,a =4,由题意知? 1 ? ?C ·a =a =4,
1

n

1

[解析]

由题图可知

0

1

2



2

n

2

2

n ? ?a=3, ?n?n-1? ? ? a =8,
2

解得?

? ?n=9, ?a=3. ?

4.若( x+

1

) 展开式中前三项的系数成等差数列,求: 导学号 25402422

n

4 2 x (1)展开式中所有 x 的有理项; (2)展开式中系数最大的项. 5 7 35 1 4 [答案] (1)T1=x ,T5= x,T9= (2)T3=7x2,T4=7x4 2 8 256x 1 1 1 2 [解析] 易求得展开式前三项的系数为 1, Cn, Cn. 2 4 1 1 1 2 据题意得 2× Cn=1+ Cn? n=8. 2 4 (1)设展开式中的有理项为 Tk+1, 由 Tk+1=C8( x)
k
8- k

(

2 x

1 k k 16-3k k ) =( ) C8x 4 , 2 4 1

∴k 为 4 的倍数,又 0≤k≤8,∴k=0,4,8. 1 0 0 16-3×0 4 故有理项为 T1=( ) C8x 4 =x , 2

T5=( )4C4 8x T9=( )8C8 8x
1 2

1 2

16-3×4 35 4 = 8 x, 16-3×4 1 8 =256x2.

1 k k 1 k+1 k+1 1 k k 1 k-1 k-1 (2)设展开式中 Tk+1 项的系数最大,则:( ) C8≥( ) C8 且( ) C8≥( ) C8 ? k=2 或 2 2 2 2
6

k=3.
5 1 2 2 16-3×2 故展开式中系数最大的项为 T3=( ) C8x 8 =7x2, 2

T4=( )3C3 8x

1 2

7 16-3×3 4. = 7 x 8
7 2 7

5.已知(1-2x) =a0+a1x+a2x +?+a7x . 导学号 25402423 求:(1)a1+a2+?+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|. [答案] (1)-2 (2)-1094 (3)1093 (4)2187 [解析] 令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1. 令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=3 . (1)∵a0=C7=1,∴a1+a2+a3+?+a7=-2. -1-3 (2)(①-②)÷2,得 a1+a3+a5+a7= =-1 094. 2 (3)(①+②)÷2, -1+3 得 a0+a2+a4+a6= =1 093. 2 (4)方法一:∵(1-2x) 展开式中,a0、a2、a4、a6 大于零,而 a1、a3、a5、a7 小于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094) =2 187. 方法二:|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|, 即(1+2x) 展开式中各项的系数和,令 x=1, ∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|=3 =2 187.
7 7 7 7 7 0 7

① ②

7


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