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专题一 三角函数、平面向量、解三角形学生版

时间:2015-03-05


专题一
1.

三角函数、平面向量、解三角形
?
3 , AB ? 8 ,点 D 在 BC

(2014 北京卷理科 15 题本小题 13 分)如图,在 ?ABC 中,?B ? 边上,且 CD ? 2, cos ?ADC ?

1 .(Ⅰ)求 sin ?BAD ; (Ⅱ)求 BD, AC 的长. 7
A

B

D

C

2.

(2014 江西理)已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中 a ? R, ? ? (? (Ⅰ)当 a ? 2, ? ?

? ?

, ) 2 2

?
4

时,求 f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的最大值与最小值;

? (Ⅱ)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a, ? 的值. 2

1

3.

(2014 辽宁卷理科 17 题)在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,且 a ? c ,已知
1 (Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ) cos( B ? C ) 的值. BA ? BC ? 2 , cos B ? , b ? 3 ,求: 3

4.

(2013 课标全国Ⅰ理 17) 如图, 在△ABC 中, ∠ABC=90° , AB= 3 , BC=1, P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° .(Ⅰ)若 PB=
1 ,求 PA; (Ⅱ)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA. 2

2

5.

(2014 山东理科 16 题)已知向量 a ? ? m, cos 2x? , b ? ? sin 2x ,n? ,函数 f ? x ? ? a ? b ,且
?? ? ? 2? ? y ? f ? x? 的图像过点 ? , 3 ? 和点 ? , ?2 ? . ? 12 ? ? 3 ?

(Ⅰ)求 m, n 的值; (Ⅱ)将 y ? f ? x ? 的图像向左平移 ? ? 0 ? ? ? ? ? 个单位后得到函数 y ? g ? x ? 的图像,若

y ? g ? x? 图像上各最高点到点 ? 0,3? 的距离的最小值为 1,求 y ? g ? x ? 的单调递增区间.

6.

?ABC 的内角 A, (2014 全国大纲卷) B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 3a cos C ? 2c cos A ,

tan A ?

1 ,求 B. 3

3

7.

?? 3 ? (2014 天津理科 15 题)已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ? ? ? 3 cos2 x ? , x?R . 3? 4 ?
(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期;
? ? ?? (Ⅱ)求 f ? x ? 在闭区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

8.

(2014 广东卷)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (Ⅰ)求 A 的值; (Ⅱ)若 f (? ) ? f (?? ) ?

?
4

), x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) 。 2 2 4

4

9.

(2014 江苏卷)已知 ? ? ? , ? , sin ? ? 5 .
5

?2 ?

?4 ? (Ⅱ)求 cos ? ?? ? 2? ? 的值. 6
(Ⅰ)求 sin ? ? ? 的值;

10. (2014 辽宁卷)已知向量 a ? ? m,cos 2 x ? , b ? ? sin 2 x, n ? ,函数 f ? x ? ? a ? b ,且 y ? f ?x ? 的
?? ? ? 2? ? 图像过点 ? , 3 ? 和点 ? , ?2 ? . ? 12 ? ? 3 ?

(Ⅰ)求 m, n 的值; (Ⅱ)将 y ? f ? x ? 的图像向左平移 ? ? 0 ? ? ? ? ? 个单位后 得到函数 y ? g ? x ? 的图像,若

y ? g ? x ? 图像上各最高点到点 ? 0,3? 的距离的最小值为 1,求 y ? g ? x ? 的单调递增区间.

5

11. (2014 陕西卷) ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. (Ⅰ)若 a, b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin ? A ? C ? ; (Ⅱ)若 a, b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值.

? 12. (2014 四川卷)已知函数 f ( x) ? sin(3 x ? ) 。 4
(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间;

? 4 ? (Ⅱ)若 ? 是第二象限角, f ( ) ? cos(? ? ) cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值。 3 5 4

6

13. ( 2014 浙江卷)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 已知 a ? b, c ? 3 ,

cos2 A - cos2 B ? 3 sin A cos A - 3 sin B cos B.
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sin A ?
4 ,求 ?ABC 的面积. 5

? ?? ? 14. ( 2014 重庆卷)已知函数 f ?x ? ? 3 sin ??x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? ? ? 的图像关于直线 2 2? ?
x?

?
3

对称,且图像上相邻两个最高点的距离为 ? .

(Ⅰ)求 ? 和 ? 的值;
3? ? 3 ?? 2? ? ? ?? ? (Ⅱ)若 f ? ? ? ? ?? ? ? ,求 cos?? ? ? 的值. 2 ? 3 ? ? ?2? 4 ?6

7

15. (2013 上海卷)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ; (Ⅰ)若 y ? f ( x) 在 [?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(Ⅱ)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函 6

数 y ? g ( x) 的图像,区间 [a, b ] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个 零点,在所有满足上述条件的 [a, b] 中,求 b ? a 的最小值.

16. (2013 四川)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 2 cos 2
A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

8

?? ? 17. (2013 安徽数)已知函数 f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? . 4? ?
(Ⅰ)求? 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 在区间 ?0, 2? 上的单调性.

18. (2013 江苏)已知 a=(cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (Ⅰ)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (Ⅱ)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

9

? ? ? 19. (2013 广东)已知函数 f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?
? ?? (Ⅰ)求 f ? ? ? 的值; ? 6?
(Ⅱ)若 cos ? ?
3 ?? ? 3? ? ? , ? ? ? , 2? ? ,求 f ? 2? ? ? . 5 3? ? 2 ? ?

? ? x 20. (2013 湖南)已知函数 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2
(Ⅰ)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

3 3 .求 g (? ) 的值; 5

(Ⅱ)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

10

21. ( 2013 湖 北 卷 ) 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 对 应 的 边 分 别 是 a , b , c . 已 知
cos 2 A ? 3cos? B ? C ? ? 1.

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

22. (2012 高考湖北理 17) 已知向量 a ? (cos ? x ? sin ? x, sin ? x) , b ? (? cos ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x) , 设函数 f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? π 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( , 1) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( ,0) ,求函数 f ( x) 在区间 [0,
π 4 3π ] 上的取值范围. 5

1 2

11

23. (2012 高考真题安徽理 16)设函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 。 2 4

? ? 1 (Ⅱ) 设函数 g ( x) 对任意 x ? R , 有 g (x ? ) ?g (x ) , 且当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? ? f ( x) , 2 2 2
求函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式。

24. (2012 高考真题山东理 17)已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x,

A cos 2 x)( A ? 0) ,函数 3

f ( x) ? m ? n 的最大值为 6.
(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移
? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为 12

1 5? 原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 [0, ] 上的值域. 2 24

12

25. (2014 天津卷 17)已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小 值正周期是

? . 2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合.

? ? ? 26. (安徽卷 17) .已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程. (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?
, ] 上的值域. 12 2

? ?

13

27. (湖北卷 16 满分 12 分). 已知函数 f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域.

x x x 28. (陕西卷 17) .已知函数 f ( x) ? 2sin cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最值;
π? ? (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3? ?

14

29. (广东卷 16) .已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图
?π 1? 像经过点 M ? , ? . ? 3 2?

(Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式;
3 12 ? π? (Ⅱ)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13 ? 2?

?? 2 30. 已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos x ? 1, x ? R .
? 4?

(Ⅰ) 求 f ? x ? 的最小正周期;
?? (Ⅱ) 求 f ? x ? 在区间 ? ?0, ? 上的最大值和最小值.
? 2?

15

31. 已知函数

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ?
sin(x ?

?



2

)

(Ⅰ)求 f ? x ? 的定义域;
3 (Ⅱ)若角 ? 在第一象限且 cos ? ? , 求f ?? ?。 5

32. 设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3 sin 2x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及最小正周期;
4 (Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值. 5

16

33. 已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;
? π 3π ? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ?

34. 已知 cos ? ?

1 13 π , cos(? ? ? ) ? ,且 0< ? < ? < ,(Ⅰ)求 tan 2? 的值; (Ⅱ)求 ? . 2 7 14

17

π 35. 设函数 f ( x) ? a、b .其中向量 a ? (m, cos x), b ? (1 ? sin x,1), x ? R, 且f ( ) ? 2 . 2

(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值.

π? π? ?x ? ? 36. 已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 2 ,x ? R (其中 ? ? 0 ) 6? 6? 2 ? ?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为
y ? f ( x) 的单调增区间.
π ,求函数 2

18

π 0 ? ≤ )的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且 37. 如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤ 2

该函数的最小正周期为 ? . (Ⅰ)求 ? 和 ? 的值;
3 ?π ? (Ⅱ) 已知点 A ? , 点 P 是该函数图象上一点, 点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, 当 y0 ? , 0? , 2 ?2 ? ?π ? x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. ?2 ?
y

3
O
A

P

x

1 π? ? 38. 已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 2 12 ? ?

(Ⅰ)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

19

39. 已知△ABC 的面积为 3,且满足 0≤ AB ? AC ≤6,设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (Ⅰ)求 ? 的取值范围;

?? ? (Ⅱ)求函数 f ?? ? ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

40. 已知 0< ? <

?
4

, ?为f ( x) ? cos( 2 x ?

?

1 ) 的最小正周期, a ? (tan(a ? ? ), ?1), 8 4

b ? ? cos ? , 2 ? , a ? b ? m ,求

2 cos2 ? ? sin 2(? ? ? ) . cos? ? sin ?

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