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北京市2012-2015年高考数学理科压轴试题及答案


北京市 2012 年高考数学理科试题 (18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1(a ? 0) , g ( x) ? x ? bx .
2 3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线,求 a , b 的值; (Ⅱ)当 a ? 4b 时,求函数 f

( x) ? g ( x) 的单调区间,并求其在区间 ?- ? - 1? 上的最大值.
2

(19) (本小题共 14 分) 已知曲线 C : (5 ? m) x ? (m ? 2) y ? 8 (m ? R) .
2 2

(Ⅰ)若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (Ⅱ)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A 、B (点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y ? kx ? 4 与曲线 C 交于 不同的两点 M 、N ,直线 y ? 1 与直线 BM 交于点 G . 求证: A, G, N 三点共线. (20) (本小题共 13 分) 设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表, 满足: 每个数的绝对值不大于 1 , 且所有数的和为零. 记

S (m, n) 为所有这样的数表构成的集合.
对于 A ? S (m, n) , 记 ri ( A) 为 A 的第 i 行各数之和 (1 ≤ i ≤ m) ,c j ( A) 为 A 的第 j 列各数之和 (1 ≤ j ≤ n) . 记 k ( A) 为 | r1 ( A) | ,| r2 ( A) | ,…,| rm( A )| , | c1 ( A) | ,| c2 ( A) | ,…,| cn( A )| 中的最小值. (Ⅰ)对如下数表 A ,求 k ( A) 的值;

1 0.1
(Ⅱ)设数表 A ? S (2, 3) 形如

1 ?0.3

?0.8 ?1

1 a
求 k ( A) 的最大值;

1 b

C ?1

(Ⅲ)给定正整数 t ,对于所有的 A ? S (2, 2t ? 1) ,求 k ( A) 的最大值. 北京市 2013 年高考数学理科试题 (18) (本小题共 13 分) 设 l 为曲线 C : y ?

ln x 在点 ?1,0 ? 处的切线. x

(Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)证明:除切点 ?1,0 ? 之外,曲线 C 在直线 l 的下方. (19) (本小题共 14 分) 已知 A, B, C 是椭圆 W :

x2 ? y 2 ? 1 上的三个点, O 是坐标原点. 4

(Ⅰ)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (Ⅱ)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. (20) (本小题共 13 分) 已知 ?an ? 是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An ,第 n 项之后各项 an?1 , an? 2 ? 的最小值记为 Bn , dn ? An ? Bn .

an? 4 ? an ) (Ⅰ) 若 ?an ? 为 2,1, 4,3, 2,1, 4,3 …, 是一个周期为 4 的数列 (即对任意 n ? N* , , 写出 d1 , d 2 , d3 , d 4
的值; (Ⅱ)设 d 是非负整数,证明: dn ? ?d ? n ? 1, 2,3?? 的充分必要条件为 ?an ? 是公差为 d 的等差数列; (Ⅲ)证明:若 a1 ? 2 , dn ? 1? n ? 1, 2,3,?? ,则 ?an ? 的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1. 北京市 2014 年高考数学理科试题 18.(本小题 13 分) 已知函数

f ( x) ? x cos x ? sin x, x ? [0, ] , 2 sin x ? (2)求证: f ( x) ? 0 ;若 a ? ? b 在 (0, ) 上恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. 2 x
19.(本小题 14 分) 已知椭圆 C : x ? 2 y ? 4 , (1)求椭圆 C 的离心率.
2 2

?

(2)设 O 为原点, 若点 A 在椭圆 C 上, 点 B 在直线 y 的位置关系,并证明你的结论. 20.(本小题 13 分)

2 2 ? 2 上, 且 OA ? OB , 求直线 AB 与圆 x ? y ? 2

对于数对序列 P(a1 , b1 ),(a2 , b2 ),?,(an , bn ) ,记 T1 ( P) ? a1 ? b1 ,

Tk ( P) ? bk ? max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? ? ? ak }(2 ? k ? n) ,其中 max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? ? ? ak }表示 Tk ?1 ( P) 和 a1 ? a2 ? ? ? ak 两个数中最大的数, (1)对于数对序列 P(2,5), P(4,1) ,求 T1 ( P), T2 ( P) 的值. (2)记 m 为 a, b, c, d 四个数中最小值,对于由两个数对 (a, b),(c, d ) 组成的数对序列 P(a, b),(c, d ) 和 P '(a, b),(c, d ) ,试分别对 m ? a 和 m ? d 的两种情况比较 T2 ( P) 和 T2 ( P ') 的大小. (3)在由 5 个数对 (11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6) 组成的所有数对序列中,写出一个数对序列 P 使 T5 ( P) 最小,并写出 T5 ( P) 的值.(只需写出结论).
北京市 2015 年高考数学理科试题

北京市 2012 年高考数学理科答案 18.解: (?)由 ?1 ,c ? 为公共切点可得:?
f ( x) ? ax 2 ? 1(a ? 0) ,则 f ?( x) ? 2ax , k1 ? 2a ,
g ( x) ? x3 ? bx ,则 f ?( x)=3x 2 ? b , k2 ? 3 ? b , ? 2a ? 3 ? b ? 又 f (1) ? a ? 1 , g (1) ? 1 ? b ,

? a ? 1 ? 1 ? b ,即 a ? b ,代入①式可得: ?

?a ? 3 . ?b ? 3

1 2 (2)? a ? 4b ,? 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x 3 ? ax 2 ? a 2 x ? 1 4 1 2 a a 2 则 h?( x) ? 3x ? 2ax ? a ,令 h?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ? , x2 ? ? ; 4 2 6 a a ? a ? 0 ,? ? ? ? , 2 6 a? a? ? ? a ? a ? ? 原函数在 ? ?? ,? ? 单调递增,在 ? ? ,? ? 单调递减,在 ? ? ,? ? ? 上单调递增 2? 6? ? ? 2 ? 6 ? 2 a a ①若 ?1≤ ? ,即 a≤2 时,最大值为 h(1) ? a ? ; 4 2 a a ? a? ②若 ? ? ?1 ? ? ,即 2 ? a ? 6 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 2 6 ? 2? a ? a? ③若 ?1≥ ? 时,即 a≥6 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 . 6 ? 2? 综上所述:

当 a ? ? 0 ,2? 时,最大值为 h(1) ? a ? 19. (1)原曲线方程可化简得:

a2 ? a? ;当 a ? ? 2 , ? ? ? 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 . 4 ? 2?

x2 y2 ? ?1 8 8 5?m m?2

8 ? 8 ?5 ? m ? m ? 2 ? 7 ? 8 ?0 由题意可得: ? ,解得: ? m ? 5 2 ?5 ? m ? 8 ?m ? 2 ? 0 ?
(2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k 2 ? 1) x 2 ? 16kx ? 24 ? 0 ,
? =32(2k 2 ? 3) ,解得: k 2 ?
3 2

由韦达定理得: xM ? xN ?

16k 24 ①, xM xN ? 2 ,② 2k 2 ? 1 2k ? 1

1) 设 N ( xN , k xN ? 4) , M ( xM , kxM ? 4) , G ( xG ,

MB 方程为: y ?

? 3xM ? kxM ? 6 , 1? , x ? 2 ,则 G ? xM ? kxM ? 6 ?

? AG ? ?

????

? 3xM ? ???? ,? 1? , AN ? ? xN ,xN k ? 2 ? , ? xM k ? 6 ?

???? ???? G ,N 三点共线,只需证 AG , AN 共线 欲证 A ,

3xM ( xN k ? 2) ? ? xN 成立,化简得: (3k ? k ) xM xN ? ?6( xM ? xN ) xM k ? 6

将①②代入易知等式成立,则 A ,G ,N 三点共线得证。 20.解: (1)由题意可知 r1 ? A ? ? 1.2 , r2 ? A ? ? ?1.2 , c1 ? A ? ? 1.1 , c2 ? A ? ? 0.7 , c3 ? A ? ? ?1.8 ∴ k ? A ? ? 0.7 (2)先用反证法证明 k ? A ?≤1 : 若 k ? A? ? 1 则 | c1 ? A ? |?| a ? 1|? a ? 1 ? 1 ,∴ a ? 0 同理可知 b ? 0 ,∴ a ? b ? 0 由题目所有数和为 0 即 a ? b ? c ? ?1 ∴ c ? ?1 ? a ? b ? ?1 与题目条件矛盾 ∴ k ? A ?≤1 . 易知当 a ? b ? 0 时, k ? A ? ? 1 存在 ∴ k ? A ? 的最大值为 1 (3) k ? A ? 的最大值为

2t ? 1 . t?2 2t ? 1 首先构造满足 k ( A) ? 的 A ? {ai , j }(i ? 1, 2, j ? 1, 2,..., 2t ? 1) : t?2 t ?1 , a1,1 ? a1,2 ? ... ? a1,t ? 1, a1,t ?1 ? a1,t ? 2 ? ... ? a1,2t ?1 ? ? t?2

a2,1 ? a2,2 ? ... ? a2,t ?

t2 ? t ?1 , a2,t ?1 ? a2,t ? 2 ? ... ? a2,2t ?1 ? ?1 . t (t ? 2)

经计算知, A 中每个元素的绝对值都小于 1,所有元素之和为 0,且

| r1 ( A) |?| r2 ( A) |?

2t ? 1 , t?2

| c1 ( A) |?| c2 ( A) |? ... ?| ct ( A) |? 1 ?

t2 ? t ?1 t ? 1 2t ? 1 ? 1? ? , t (t ? 2) t?2 t?2
t ? 1 2t ? 1 . ? t?2 t?2

| ct ?1 ( A) |?| ct ? 2 ( A) |? ... ?| c2t ?1 ( A) |? 1 ?
下面证明

2t ? 1 2t ? 1 是最大值. 若不然,则存在一个数表 A ? S (2, 2t ? 1) ,使得 k ( A) ? x ? . t?2 t?2

由 k ( A) 的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x ,而两个绝对值不超过 1 的数的和,其 绝对值不超过 2,故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 [ x, 2] 中. 由于 x ? 1 ,故 A 的每一列两个数

符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于 x ? 1 . 设 A 中有 g 列的列和为正,有 h 列的列和为负,由对称性不妨设 g ? h ,则 g ? t , h ? t ? 1 . 另外,由 对称性不妨设 A 的第一行行和为正,第二行行和为负. 考虑 A 的第一行,由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 t ? 1 个负数,每个正数的绝对 值不超过 1(即每个正数均不超过 1) ,每个负数的绝对值不小于 x ? 1 (即每个负数均不超过 1 ? x ). 因 此

| r1 ( A) |? r1 ( A) ? t ?1 ? (t ? 1)(1 ? x) ? 2t ? 1 ? (t ? 1) x ? x ? ? 2t ? 1 ? (t ? 2) x ? ? x ,
故 A 的第一行行和的绝对值小于 x ,与假设矛盾. 因此 k ? A ? 的最大值为 北京市 2013 年高考数学理科答案 18

2t ? 1 . t?2

19

20

北京市 2014 年高考数学理科答案

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