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北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:空间向量与立体几何

时间:2013-02-04


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北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:空间向量与立体几何 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.若 A、B、C、D 为空间四个不同的点,则下列各式为零向量的是 ① AB ? 2BC ? 2CD ? DC ( ) 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

??? ?

??? ?

??? ???? ? ??? ? ??? ??? ? ?

② 2 AB ? 2BC ? 3CD ? 3DA ? AC ③ AB ? CA ? BD ④ AB ? CB ? CD ? AD A.①② 【答案】C B.②③

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ??? ???? ? ? ?

C.②④

D.①④

2.如图 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1=

A1B1
4

,则 BE1 与 DF1 所成角的余弦值是(

)

A. C.

15 17

1 B. 2

8 3 D. 17 2 【答案】A 3.如图所示,在四面体 P-ABC 中,PC⊥平面 ABC,AB=BC=CA=PC,那么二面角 B-AP-C 的 余弦值为( )

A. C.

2 2

B.

3 3

7 7 【答案】C

5 D. 7

4.如图所示,已知在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中,∠AOB=

π ,AO=2,BO=6,D 为 A1B1 的中点,且 2 异面直线 OD 与 A1B 垂直,则三棱柱 ABO-A1B1O1 的高是( )

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A.3 C.5 【答案】B

B.4 D.6

5.在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,设 M、N 分别为 BB1 , AC 的中点,则 MN 等于 1

???? ?

(



? 1 ???? ??? ???? ( AC ? AB ? BB1 ) 2 ? 1 ???? ??? ???? C. ( AC ? CB ? BB1 ) 2
A.

? ? 1 ???? ????? ???? ( B1 A1 ? B1C1 ? C1C ) 2 ? ? 1 ???? ??? ??? D. ( BB1 ? BA ? BC ) 2
B.

【答案】B 6.在 90°的二面角的棱上有 A、B 两点,AC,BD 分别在这个二面角的两个面内,且都垂直于棱 AB,已知 AB=5,AC=3,BD=4,则 CD=( ) A.5 2 C.6 【答案】A B.5 3 D.7

7.四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中,AC 与 BD 的交点为点 M,设 A B1 1 1 下列与 B1M 相等的向量是

???? ?

? ????? ? ???? ? ? a, A D1 ? b, AA ? c ,则 1 1

?????

(



1? 1? ? a? b?c 2 2 ? 1? ? 1 C. a ? b ? c 2 2
A. ?

1? 1? ? a? b?c 2 2 ? 1? ? 1 D. ? a ? b ? c 2 2
B.

【答案】A 8.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点,则直线 AE 与平面 A1ED1 所成角的大小为( ) A.60° B.90° C.45° D.以上都不正确 【答案】B 9.在空间四边形 ABCD 中,若 AB ? a , BD ? b , AC ? c ,则 CD 等于 A. a ? (b ? c)

??? ?

?

??? ?

?

??? ? ?

??? ?

(



?

? ?

B. c ? (b ? a)

?

? ?

C. a ? b ? c

? ? ?

D. b ? (c ? a)

?

? ?

【答案】D 10.已知向量{a,b,c}是空间的一基底,向量{a+b,a-b,c}是空间的另一基底,一向量 p 在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量 p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是( ) A.(4,0,3) B.(3,1,3) C.(1,2,3) D.(2,1,3) 【答案】B

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11. 空间任意四个点 A、B、C、D,则 BA ? CB ? CD 等于 A. DB

??? ??? ??? ? ? ?

( D. AC



??? ?

B. AD

????

C. DA

??? ?

??? ?

【答案】C 12.平面α 的一个法向量 n=(1,-1,0),则 y 轴与平面α 所成的角的大小为( π π A. B. 6 4 π 3π C. D. 3 4 【答案】B

)

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第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=,b=,若向量 ka+b 与 ka -2b 互相垂直,则 k 的值为________. 5 【答案】- 或 2 2 14. 已知向量 a=(cos θ ,sin θ ,1),b=( 3,-1,2),则|2a-b|的最大值为________. 【答案】4 15. 已知长方体 ABCD ? A B1C1D1 , 化简向量表达式 CB ? AC ? AD ? AA 1 1 【答案】 AC1

??? ??? ???? ???? ? ?

? _____________;

???? ?

16.在空间直角坐标系中,点 M 的坐标是(4,5,6),则点 M 关于 y 轴的对称点在坐标平面 xOz 上 的射影的坐标为_______. 【答案】(-4,0,-6)

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三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA⊥平面 ABC, FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.

(1)证明:EM⊥BF; (2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明:因为 AC 是圆 O 的直径,所以∠ABC=90°,又∠BAC=30°,AC=4,所以 AB =2 3,而 BM⊥AC,易得 AM=3,BM= 3. 如图,以 A 为坐标原点,垂直于 AC 的直线、AC、AE 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标 系.

由已知条件得 A(0,0,0),

???? ??? ? BF =(- 3,1,1). ???? ??? ? 由 ME ? BF =(0,-3,3)?(- 3,1,1)=0, ???? ??? ? 得 ME ⊥ BF ,∴EM⊥BF. ??? ? ??? ? (2)由(1)知 BE =(- 3,-3,3), BF =(- 3,1,1).
∴ ME =(0,-3,3), 设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z),

M(0,3,0),E(0,0,3),B( 3,3,0),F(0,4,1),

??? ? ??? ? ?- 3x-3y+3z=0, 由 n? BE =0,n? BF =0,得? ?- 3x+y+z=0,
令 y=1,得 z=2,x= 3,∴n=( 3,1,2), 由已知 EA⊥平面 ABC, 所以平面 ABC 的一个法向量为 AE =(0,0,3), 设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为θ , ??? ? | 3?0+1?0+2?3| 2 则 cosθ =|cos〈n, AE 〉|= = , 2 3?2 2 故平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 18.如图,正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AA 1 1 上且 C1 E 2 . 2

??? ?

? 2 AB ? 4 ,点 E 在 CC1

? 3EC .

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(Ⅰ)证明: AC 1

? 平面 BED ;

(Ⅱ)求二面角 A ? DE ? B 的大小. 1

【答案】(Ⅰ)建立如图所示直角坐标系 D ? xyz .

依题设, B(2,0) C(0,0) E(0,1) A (2,4) . 2,, 2,, 2,, 1 0,

???? ???? ? ??? ? ??? ? 2, DA 0, DE ? (0, DB ? (2,0) , AC ? (?2, ? 4), 1 ? (2,4) . 21) ,, 2, 1
(Ⅰ)因为 A1C ? DB ? 0, A1C ? DE ? 0 , 所以 AC 1

? BD , AC ? DE . 1 ? 平面 DBE .

又 DB ? DE ? D ,所以 AC 1

(Ⅱ)设向量 n ? ( x,y,z ) 是平面 DA E 的法向量,则 n ? DE , n ? DA . 1 1 故 2 y ? z ? 0 , 2x ? 4z ? 0 . 令 y ? 1 ,则 z ? ?2 , x ? 4 , n ? (4, ? 2) . 1,

??? ?

???? ?

???? ? n,1 ? 等于二面角 A1 ? DE ? B 的平面角, cos ? n, A1C ?? AC
14 . 42

n ? A1C | n | ? | A1C |

?

14 . 42

所以二面角 A ? DE ? B 的大小为 arccos 1

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19.如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB⊥AC,顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B,且 AB=AC= A1B=2. (1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使 AP= 14,并求出二面角 PABA1 的平面角的余弦值.

【答案】 (1)如图, A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz, C(2,0,0), (0,2,0), 1(0,2,2), 以 则 B A B1(0,4,2), =(0,2,2),==(2,-2,0), -4 1 π cos〈, 〉== =- ,故 AA1 与 BC 所成的角是 . 2 3 8? 8

(2)设=λ =(2λ ,-2λ ,0), 则 P(2λ ,4-2λ ,2). 1 3 2 2 于是 AP= 4λ +(4-2λ ) +4= 14? λ = (λ = 舍去), 2 2 则 P 为棱 B1C1 的中点,其坐标为 P(1,3,2). 设平面 PAB 的法向量为 n1=(x,y,z), 则

故 n1=(-2,0,1). 而平面 ABA1 的法向量是 n2=(1,0,0), n1?n2 -2 2 5 则 cos〈n1,n2〉= = =- , |n1|?|n2| 5 5 故二面角 PABA1 的平面角的余弦值是 2 5 . 5

20.已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2,AB=1,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 线段 AB、BC 的中点. (1)证明:PF⊥FD; (2)判断并说明 PA 上是否存在点 G,使得 EG∥平面 PFD; (3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求二面角 A-PD-F 的余弦值.

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【答案】(1)∵PA⊥平面 ABCD, ∠BAD=90°,AB=1,AD=2, 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,

则 A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0) 不妨令 P(0,0,t),则 PF =(1,1,-t),

???

??? ? DF =(1,-1,0),
∴ PF ? DF =1?1+1?(-1)+(-t)?0=0, 即 PF⊥FD. (2)设平面 PFD 的法向量为 n=(x,y,z),

???

??? ?

??? ?n?PF ? 0, ?x ? y ? tz ? 0, ? 由 ? ??? 得? 令 z=1, ? n?DF ? 0, ?x ? y ? 0, ? ?
解得:x=y= ∴n=(

t . 2

t t , ,1). 2 2 1 ,0,0), 2

设 G 点的坐标为(0,0,m),E( 则 EG =( ?

??? ?

1 ,0,m), 2

要使 EG∥平面 PFD,只需 EG ?n=0,

??? ?

1 t t t ) ? ? 0 ? ? m ?1 ? m ? ? 0 , 2 2 2 4 1 1 得 m= t,从而满足 AG= AP 的点 G 即为所求. 4 4 ??? ? (3)∵AB⊥平面 PAD,∴ AB 是平面 PAD 的法向量,
即(? 易得 AB =(1,0,0), 又∵PA⊥平面 ABCD, ∴∠PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, 得∠PBA=45°,则 PA=1,

??? ?

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平面 PFD 的法向量为 n=(

1 1 , ,1), 2 2

??? ? ??? ? AB? n ? ∴ cos<AB, n> ? ??? ? | AB || n |

1 6 2 , ? 6 1 1 ? ?1 4 4
6 . 6

由题意知二面角 A-PD-F 为锐角.故所求二面角 A-PD-F 的余弦值为

21.如图 14-2,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D,又知 BA1⊥AC1. (1)求证:AC1⊥平面 A1BC; (2)求二面角 A-A1B-C 的余弦值.

图 14-2 【答案】 (1)如图,设 A1D=t(t>0),取 AB 的中点 E, 则 DE∥BC,因为 BC⊥AC, 所以 DE⊥AC,又 A1D⊥平面 ABC, 以 DE,DC,DA1 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t), =(0,3,t),=(-2,-1,t), =(2,0,0),由 1?=0,知 AC1⊥CB, 又 BA1⊥AC1,BA1∩CB=B,所以 AC1⊥平面 A1BC. (2)由?=-3+t =0,得 t= 3. 设平面 A1AB 的法向量为 n=(x,y,z), =(0,1, 3),=(2,2,0), 所以{y+ 3z=0,2x+2y=0, 设 z=1,则 n=( 3,- 3,1).
2

再设平面 A1BC 的法向量为 m=(u,v,w), =(0,-1, 3),=(2,0,0),
? ?-v+ 3w=0, 所以? ?2u=0, ?

设 w=1,则 m=(0, 3,1).

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m?n 7 故 cos〈m,n〉= =- .因为二面角 A-A1B-C 为锐角,所以可知二面角 A-A1B-C |m|?|n| 7
的余弦值为 7 . 7

22.已知向量 b 与向量 a=(2,-1,2)共线,且满足 a?b=18,(ka+b)⊥(ka-b),求向量 b 及 k 的值. 【答案】∵a,b 共线,∴存在实数λ ,使 b=λ a, ∴a?b=λ a =λ ︱a︱ ,解得λ =2. ∴b=2a=(4,-2,4). ∵(ka+b)⊥(ka-b), ∴(ka+b)?(ka-b)=(ka+2a)?(ka-2a)=0, 即(k -4)︱a︱ =0, 解得 k=±2.
2 2 2 2

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