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2014福建高考文科数学第二轮专题复习专题11 直线与圆(教师版)p


2014 福建高考文科数学第二轮专题复习 专题 11 直线与圆

★★★高考在考什么【考题回放】
1.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于( D ) A.2 B.1 C.0 D. ?1

? x ? y ? 1 ? 0, ? 2.如果实数 x、y 满足条件 ? y ? 1 ? 0, ? x

? y ?1 ? 0 ? A. 2 B. 1
A.36 B. 18

那么 2x-y 的最大值为( B )

C. ?2 D. ?3 3.圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是(C) C. 6 2 D. 5 2 . k?(0, ) 4. 若直线 y=kx+2 与圆(x-2)2+(y-3)2=1 有两个不同的交点, k 的取值范围是 则 5.若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线 y ? 为

4 3

3 x( x ≥ 0) 相 切 , 则 这 个 圆 的 方 程 3

. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 6. 制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、 乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和 50﹪,可能的最大亏损率分别为 30 ﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大? 【专家解答】设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.

? x ? y ? 10, ?0.3 x ? 0.1 y ? 1.8, ? 由题意知 ? 目标函数 z=x+0.5y. ? x ? 0, ? y ? 0. ?
上述不等式组表示的平面区域如图所示, 阴影部分(含边界)即可行域.作直线 l 0 : x ? 0.5 y ? 0 , 并作平行于直线 l 0 的一组直线 x ? 0.5 y ? z, z ? R, 与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x ? 0.5 y ? 0 的距离最大,这里 M 点是直线 x ? y ? 10 和 0.3x ? 0.1y ? 1.8 的交点.

? x ? y ? 10, 得 x=4,y=6 此时 z ? 1? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7 (万元). ?0.3 x ? 0.1y ? 1.8, ?7 ? 0 ?当 x=4,y=6 时 z 取得最大值.
解方程组 ? 答:投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能使可能的盈利最大.

★★★高考要考什么【考点透视】
1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般 式,并能根据条件熟练地求出直线方程。 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据直线的方 程判断两条直线的位置关系。 3.了解二元一次不等式表示平面区域。 4.了解线性规划的意义,并会简单的应用。 5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法。
《专题 11 直线与圆》第 1 页(共 6 页)

6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程。

【热点透析】
直线与圆在高考中主要考查三类问题: 一、基本概念题和求在不同条件下的直线方程,基本概念重点考查: (1)与直线方程特征值(主要指斜率、截距)有关的问题; (2)直线的平行和垂直的条件; (3)与距离有关的问题等。 此类题大都属于中、低档题,以选择题和填空题形式出现; 二、直线与圆的位置关系综合性试题,此类题难度较大,一般以解答题形式出现; 三、线性规划问题,在高考中极有可能涉及,但难度不会大

★★★突破重难点
【范例 1】已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的两条切线,A、 B 是切点,C 是圆心,求四边形 PACB 面积的最小值. 解法一:∵点 P 在直线 3x+4y+8=0 上. 如图 1. ∴设 P(x, ? 2 ?

3 x),C 点坐标为(1,1), 4

S 四边形 PACB=2S△ PAC=|AP|· |AC|=|AP|· |AC|=|AP| 2 2 2 2 ∵|AP| =|PC| -|AC| =|PC| -1 ∴当|PC|最小时,|AP|最小,四边形 PACB 的面积最小.
2 2

25 2 5 5 3 x ? x ? 10 ? ( x ? 1) 2 ? 9 ∴|PC| =(1-x) +(1+2+ x)2= 16 2 4 4 ∴|PC|min=3 ∴四边形 PACB 面积的最小值为 2 2 .
解法二: 由法一知需求|PC|最小值, 即求 C 到直线 3x+4y+8=0 的距离, (1, , ∵C 1)∴|PC|=

图1

|3? 4?8| =3, 5

SPACD=2 2 . 【点晴】求角、距离、面积等几何量问题的关键在于分析几何问题的特殊性,寻找快捷简便的方法。 本题的关键在于 S 四边形 PACB=2S△PAC,然而转化为|PC|的最值问题。 【文】已知等腰 ?ABC 的底边 AB 所在的直线方程为 3 x ? y ? 2 ? 0 ,顶点 C 的坐标是(2,2), 顶角为 1200,求两腰所在的直线方程及 ?ABC 的面积.

120 , 两底角为30 , ? 解:设腰所在直线的斜率为 k,? 顶角为
0 0

又? k AB ?

3, ?

k? 3 1 ? 3k

? tan 30 0 ?

1 3

,? k ?

3 , 3

3 (x ? 2)即x ? 3 y ? 2 3 ? 2 ? 0, 3 另一腰垂直于 x 轴,方程为 x ? 2 .S ?ABC = 3 3
故一腰所在直线方程为 y ? 2 ? 【范例 2】过点 M(2,4)作两条互相垂直的直线,分别交 x、y 的正半轴于 A、B,若四边形 OAMB 的面 积被直线 AB 平分,求直线 AB 方程。 解:设 AB 的方程为 x ? y ? 1 (a>0,b>0) a b ∴ A(a,0) 、 B(0, b) 。 ∵a>0 0<b<5 ∵ MA ⊥ MB ∴ (a ? 2) ? (?2) ? (?4) ? (b ? 4) ? 0 ? a ? 10 ? 2b ∵AB 方程的一般式为 bx+ay-ab=0∴M 到 AB 的距离 d ? | 2b ? 4a ? ab | a2 ? b2
2

∴ ?MAB 的面积 S1 ? 1 d | AB |? 1 | 2b ? 4a ? ab |? b ? 8b ? 20 2 2
《专题 11 直线与圆》第 2 页(共 6 页)

而 ?OAB 的面积 S 2 ? 1 ab ? 5b ? b ,∵直线 AB 平分四边形 OAMB 的面积,∴ S1 ? S 2 , 2
2

5 ? 可得 ?b ? 4或?b ? 2 故所求 AB 方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 和 2 x ? y ? 4 ? 0 。 ? ? ?a ? 2 ?a ? 5 ?

【点晴】若命题中的直线与两坐标轴均有交点,应先考虑选用截距式方程是否有利。 【文】已知点 P 到两个定点 M(-1,0)、N(1,0)距离的比为 直线 PN 的方程 解:设点 P 的坐标为(x,y),由题设有 即

2 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1.求

| PM | ? 2, | PN |


( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 .整理得 x2+y2-6x+1=0.

因为点 N 到 PM 的距离为 1,|MN|=2,所以∠PMN=30° ,直线 PM 的斜率为± 直线 PM 的方程为 y=±

3 , 3

3 (x+1).② 3

将②式代入①式整理得 x2-4x+1=0.解得 x=2+

3 ,x=2- 3 . 代入②式得点 P 的坐标为(2+ 3 ,1+ 3 )或(2- 3 ,-1+ 3 ); (2+ 3 ,-1- 3 )或(2- 3 ,1- 3 ).
直线 PN 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 【范例 3】 已知气象台 A 处向西 300km 处,有个台风中心,已知台风以每小时 40km 的速度向东北方 向移动,距台风中心 250km 以内的地方都处在台风圈内,问:从现在起,大约多长时间后,气象台 A 处进 入台风圈?气象台 A 处在台风圈内的时间大约多长? 解:如图建立直角坐标系,B 为台风中心,处在台 y 风圈内的界线为以 B 为圆心,半径为 250 的圈内,若 t 小时后,台风中心到达 B1 点, 则 B1(-300+40tCOS450,40tsin450), B1 则以 B1 为圆心,250 为半径的圆的方程为

?x ? 300 ? 20 2t ? ? ?y ? 20 2t ?
2

2

? 250 2
2

B

那么台风圈内的点就应满足
2

O(A) x

?x ? 300 ? 20 2t ? ? ?y ? 20 2t ?

? 250 2 。

若气象台 A 处进入台风圈,那么 A 点的坐标就应满足上述关系式,把 A 点的坐标(0,0)代入上面不等式, 得 300 ? 20 2t

?

? ? ?20 2t ?
2

2

? 250 2 , 解得

15 2 ? 5 7 15 2 ? 5 7 ?t ? , 即为 1.99 ? t ? 8.61 ; 4 4

所以气象台 A 处约在 2 小时后进入台风圈,处在台风圈内的时间大约 6 小时 37 分。 【点晴】做应用题的关键是寻求有效信息,建立数量之间的关系。 【文】设 A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定 值 a(a>0),求 P 点的轨迹.

( x ? c) 2 ? y 2 | PA | 解:设动点 P 的坐标为 P(x,y),由 =a(a>0)得 =a, | PB | ( x ? c) 2 ? y 2
化简得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0. 当 a≠1 时,得 x2+

2c(1 ? a 2 ) 2 2 1 ? a 2 2 2 2ac 2 x+c +y =0. 整理得(x- 2 c) +y =( 2 ) 当 a=1 时,化简得 x=0. a ?1 1? a2 a ?1
《专题 11 直线与圆》第 3 页(共 6 页)

所以当 a≠1 时,P 点的轨迹是以(

a2 ?1 2ac c,0)为圆心,| 2 |为半径的圆; 2 a ?1 a ?1

当 a=1 时,P 点的轨迹为 y 轴. 【点睛】本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识,考查运用解析几何的方法解决问题的能力. 【范例 4】已知动圆过定点 P(1,0),且与定直线 l:x=-1 相切,点 C 在 l 上. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (Ⅱ)设过点 P,且斜率为- 3 的直线与曲线 M 相交于 A、B 两点. (i)问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理由; (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围. (Ⅰ)法 1 依题意,曲线 M 是以点 P 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,所以曲线 M 的方程为 y2=4x. 法 2 设 M(x,y),依题意有|MP|=|MN|,所以|x+1|= (Ⅱ)(i)由题意得,直线 AB 的方程为 y=- 由?

( x ? 1) 2 ? y 2 .化简得:y2=4x.

3 (x-1).

? y ? ? 3 ( x ? 1), 1 ? 消 y 得 3x2-10x+3=0,解得 x1= ,x2=3. 2 3 ? y ? 4 x. ?
1 2 3 , ),B 点坐标为(3,-2 3 ), 3 3

所以 A 点坐标为( |AB|=x1+x2+2=

16 . 3
① ② 图 7—12

假设存在点 C (-1, , y) 使△ABC 为正三角形, 则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,

16 ? (3 ? 1) 2 ? ( y ? 2 3 ) 2 ? ( ) 2 , ? 3 ? 即? ?( 1 ? 1) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? (16 ) 2 . ? 3 3 3 ?
由①-②得 42+(y+2

14 3 14 3 2 3 2 4 3 )2=( )2+(y- ) ,解得 y=- . 但 y=- 不符合①, 9 9 3 3

所以由①,②组成的方程组无解.因此,直线 l 上不存在点 C,使得△ABC 是正三角形. (ii)法 1:设 C(-1,y)使△ABC 成钝角三角形,由 ? 得 y=2

? y ? ? 3 ( x ? 1), ? x ? ?1.

3 ,即当点 C(-1,2 3 )时,A、B、C 三点共线,故 y≠2 3 . 2 3 2 28 4 3 y 2 1 ? 又|AC|2=(-1- )2+(y- )= +y , 3 9 3 3 16 2 256 |BC|2=(3+1)2+(y+2 3 )2=28+4 3 y+y2,|AB|2=( )= . 9 3 | AB | 2 ? | AC | 2 ? | BC | 2 当∠CAB 为钝角时,cosA= <0. 2 | AB | ? | AC |

28 4 3 256 2 ? y ? y2 ? 3 时,∠CAB 为钝角. ,即 y> 9 3 9 9 10 28 4 3 256 当|AC|2>|BC|2+|AB|2,即 ,即 y<- 3 时,∠CBA 为钝角. ? y ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 ? 9 3 9 3
即|BC|2 >|AC|2+|AB|2,即 28 ? 4

3y ? y 2 ?

《专题 11 直线与圆》第 4 页(共 6 页)

256 28 4 3 y ? ? ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 , 9 9 3 4 4 2 2 即 y2 ? 3 y ? ? 0, ( y ? ) ? 0 .该不等式无解,所以∠ACB 不可能为钝角. 3 3 3
又|AB|2>|AC|2+|BC|2,即 因此,当△ABC 为钝角三角形时,点 C 的纵坐标 y 的取值范围是 y ? ?

10 3 2 3 或y ? ( y ? 2 3) . 3 9

2 8 5 2 3 )2=( )2. ) +(y+ 3 3 3 8 5 2 圆心( ,? 3 )到直线 l:x=-1 的距离为 , 3 3 3 2 3 所以,以 AB 为直径的圆与直线 l 相切于点 G(-1,- ). 3
法 2:以 AB 为直径的圆的方程为(x- 当直线 l 上的 C 点与 G 重合时, ∠ACB 为直角, C 与 G 点不重合, A、 C 三点不共线时, 当 且 B、 ∠ACB 为锐角,即△ABC 中,∠ACB 不可能是钝角. 因此,要使△ABC 为钝角三角形,只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.

2 3 2 3 3 1 ? ( x ? ) .令 x=-1 得 y= . 3 3 3 9 10 3 3. 过点 B 且与 AB 垂直的直线方程为 y+2 3 ? ( x-3).令 x=-1 得 y=- 3 3 ? y ? ? 3 ( x ? 1), 又由 ? 解得 y=2 3 , x ? ?1. ? 所以,当点 C 的坐标为(-1,2 3 )时,A、B、C 三点共线,不构成三角形. 10 3 2 3 因此,当△ABC 为钝角三角形时,点 C 的纵坐标 y 的取值范围是 y<- 或 y> (y≠2 3 ). 3 9
过点 A 且与 AB 垂直的直线方程为 y ? 【点晴】该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识,充分体现了“注重学科知识的内在 联系”.题目的设计新颖脱俗,能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析 法的原理和应用,以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进 行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高,有较好的区分度. 【文】设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1;③圆心到直线 l:x-2y=0 的距离为

5 。求该圆的方程。 5

解:设圆的圆心为 P(a,b),半径为 r,则点 P 到 x 轴,y 轴距离分别为|b|,|a| 由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 900,知圆 P 截 x 轴所得的弦长为 2 r ,故 r2=2b2 又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2,所以有 r2=a2+1 从而得 2b2-a2=1 又点 P(a,b)到直线 x-2y=0 的距离为 即有 a-2b=?1,由此有 ?

| a ? 2b | 5 5 ? , ,所以 d ? 5 5 5

?2b 2 ? a 2 ? 1,?2b 2 ? a 2 ? 1, ? ? a ? 2b ? 1; ? a ? 2b ? ?1. ?a ? ?1,?a ? 1, 解方程组得 ? 于是 r2=2b2 知 r ? 2 . 所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 ? ?b ? ?1;?b ? 1.
《专题 11 直线与圆》第 5 页(共 6 页)

★★★自我提升
1.将直线 l 沿 x 轴正方向平移两个单位,再沿 y 轴负方向平移 3 个单位,又回到了原来的位置,则 l 的斜率为( B )

3 2 2 3 B. ? C. D. ? 3 2 3 2 2.若 OP1 ? (1,2) , OP2 ? (?2,1) ,且分别是直线 l1:ax+(b-a)y-a=0,l2:ax+4by+b=0 的方向向量,
A.

则 a,b 的值分别可以是(A)A.2,1 B.1,2 C.-1,2 D.-2,1 3.经济学中的“蛛网理论”(如图),假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线 l1,“供给—价格” 函数的图象为直线 l2,它们的斜率分别为 k1、k2,l1 与 l2 的交点 P 为“供给—需求”均衡点,在供求两种力 量的相互作用下,该商品的价格和产销量,沿平行于坐标轴的“蛛网”路径,箭头所指方向发展变化,最终 能否达于均衡点 P,与直线 l1、 l2 的斜率满足的条件有关,从下列三个图中可知最终能达于均衡点 P 的条 件为( A )
价格 价格 价格

l1
P P

l1
P

l1

l2
需求/供给量

l2 o
需求/供给量

l2 o
需求/供给量

o

图2 图1 A. B . k1+k2=0 图 3 k1+k2>0 C.k1+k2<0 D.k1+k2可取任意实数 4.过点 P(1,2)作一直线,使此直线与点 M(2,3)和点 N(4,-5)的距离相等,则此直线方程 为___________________4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0 5.已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A、B 两点,且|AB|=,则= . 6.关于曲线 C:x2+y4=1 的下列说法:(1)关于点(0,0)对称;(2)关于直线 x 轴对称;(3)关于直线 y=x 对称;(4)是封闭图形,面积小于?;(5)是封闭图形,面积大于?;(6)不是封闭图形,无面积可言.其中正确 的序号是_________________.(1)(2)(4) 7.曲线 x2+y2+x-6y+3=0 上两点 P、Q 满足:①关于直线 kx-y+4=0 对称;②OP?OQ.求直线 PQ 的方程. 解:由圆上两点 P、Q 关于直线 kx-y+4=0 对称知直线 kx-y+4=0 经过圆心 即有设直线 PQ 方程为 . . 化简得 8. 已知△ABC 的三边长分别为 3、4、5,点 P 是它的内切圆上一点,求分别以 PA、PB、PC 为直 径的三个圆面积之和的最大值和最小值。 解:△ABC 为直角三角形,如图建立直角坐标系, 则 A(0,0)、B(4,0)、C(0,3),设内切圆半 径为 r,则 r=1/2(|OC|+|OB|-|BC|)=1,故内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1, y 可设 P 点坐标(1+cosα,1+sinα)则以 PA、PB、PC 为直径的三个圆面 C 积之和 S=(10-cosα)当 cosα=-1 时,Smax=5.5π, 当 cosα=1 时, Smin=4.5π.

P A B

x

《专题 11 直线与圆》第 6 页(共 6 页)


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