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2015届高考调研文科6-3

时间:2014-05-16


高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

第3课时

等比数列

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2015?考纲下载<

br />1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有 关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.

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请注意!
等比数列也是高考的常考内容,以等比数列的基本公式及 基本运算为基础,可考查单一的等比数列问题,但更倾向于与 等差数列或其他内容相结合的问题,其中涉及到方程的思想、 等价转化的思想、分类讨论的思想等.从思维品质上看更讲究 思维的灵活性及深刻性.

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1.基础知识 1 ( ) 等比数列的定义:若数列{an}满 an 当n≥2时 =q(常数) an-1 足 ,则称数列{an}为 等 比 数 列 .

q 2 ( ) 通项公式an= a1·

n-1

=am· q

n-m

.

a1?1-qn? 3 ( ) 前n项和公式Sn= ,成立的条件是 q≠1 ,另一 1-q a1-anq Sn= (q≠1) 1 - q 形式为 . 4 ( ) M、N同号时它们的等比中项为 ± MN .

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2.性 质 1 ( ) 等 比 数 列 aq . am· an= ap· 2 ( ) 等 比 数 列 S奇· q . {an}中 , 公 比 为 q, 依 次 k项 和 为 Sk,S2k-Sk,
k q′= q .

{an}中 , m、n、p、q∈N*, 若 m+n=p+q, 则

{an}中 , Sn为 其 前 n项 和 , 当

n为 偶 数 时 ,

S偶=

3 ( ) 等 比 数 列

S3k-S2k成(Sk≠0 ) 等比 数 列 , 新 公 比

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3.常用技巧 1 ( ) 若{an}是等比数列,且an> 0 ( n∈N*),则o { g l a≠1)成 等差 数列,反之亦然.
aan}(a>0且

b ,b,bq q 2 ( ) 三个数成等比数列可设三数为 ,四个数成等 b b 3 3, ,bq,bq 比数列且公比大于0时,可设四个数为 q q .

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1.2 ( 0 1 3 ·

江西)等比数列x,3x+3,6x+6,?的 第 四 项 等 于 ( )

A.-24 C.12
答案 A

B.0 D.24

解析

由x,3x+3,6x+6成等比数列,知(3x+3)2=x 6 (· x+

6),解得x=-3或x=-1(舍去).所以此等比数列的前三项为- 3,-6,-12.故第四项为-24,选A.

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2.(课本习题改编)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那 么( ) A.b=3,ac=9 C.b=3,ac=-9
答案 B

B.b=-3,ac=9 D.b=-3,ac=-9

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3.在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=60,则a7+a8 =________.
答案 240

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4.2 ( 0 1 3 ·

课标全国Ⅱ)等比数列{an}的前n项 和 为 Sn,已知S3 ) 1 B.- 3 1 D.-9
C 由已知条件及S3=a1+a2+a3,得a3=9a1,设数列

=a2+10a1,a5=9,则a1=( 1 A. 3 1 C.9
答案 解析

{an}的公比为q,则q2=9. 1 所以a5=9=a1· q =81a1,得a1=9,故选C.
4
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5.在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列,则这三 个数分别是________.
答案 2,2 , 2或- 2,2,-2 2

解析 设插入三个数分别为a,b,c,则b2=1×4,∴b=2 或b=-2(舍),a2=1×b=2.∴a=± 2 ,同时c2=b×4=8,∴c =± 2 2,且a,c同号.∴这三个数为 2,2 , 2 2. 2或- 2,2,-

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例1 {an}为 等 比 数 列 , 求 下 列 各 值 . 1 1 ( ) 已知a3+a6=36,a4+a7=18,an= ,求n; 2 2 ( ) 已知a2· a8=36,a3+a7=15,求公比q; 3 ( ) 已知q=- 2,S8=1 5 1 ( - 2),求a1.

【解析】 1 ( ) 方法一:
? q+a6· q=q?a3+a6?=18, ?a4+a7=a3· ∵? ? ?a3+a6=36,

1 ∴q=2.
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又∵a3+a6=a3(1+q3)=3 6 ,∴a3=3 2 . ∵an=a3· q =9 . 方 法 二 : =3 6, 1 ∴q=2,a1=1 2 8 . 又∵an=a1· q
n-1 n-3

1 n-3 8-n 1 =3 ( 2 · 2) =2 =2=2-1,∴8-n= - 1, 即n

∵a4+a7=a1· q3(1+q3)=1 8 且a3+a6=a1· q2 1 (· +q3)

1 n-1 1 8-n =2 · ( ) =2 = =2-1, 2 2
7

∴8-n= - 1, 即 n=9 .
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2 ( ) ∵a2· a8=a3· a7=36且a3+a7=15,∴a3=3,a7=12或a3= 12,a7=3. 1 2 ∵q =4或q =4,∴q=± 2或q=± 2 .
4 4

a1[1-?- 2?8] a1?-15? 3 ( ) ∵S8= = =1 5 1 ( 1+ 2 1+ 2 ∴a1=-(1- 2) 1 (· + 2)=1.

- 2),

【答案】 1 9 ( )

2 ± ( )

2 2或± 2 3 ( ) a1=1

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探究1

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问

题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式, 并能灵活运用.尤其需要注意的是,在使用等比数列的前n项和 公式时,应根据公比的取值情况进行分类讨论,此外在运算过 程中,还应善于运用整体代换思想简化运算.

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思考题1 1 ( ) 设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1, a5=16,则数列{an}前7项的和为( A.63 C.127 B.64 D.128 )

【解析】 ∵a5=a1q4,∴16=q4.又q>0,故q=2,S7= a1?1-q7? =127,选C. 1-q
【答案】 C

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1 1 2 ( ) 在等比数列{an}中,a3=12,S3=42,求 a1 和 q.
【 解 析 】 1 1 , 2 3 2 1 1 2 2 ∴a1(1+q+q )=4 , 即 2(1+q+q )=4 . 2 q 2 1 解 得 q= - 2(q=1舍),∴a1=6 .
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a1?1-q3? 1 ①当q≠1时 , S3= =4 , 又 a3=a1· q2= 2 1-q

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1 ②当q=1时,S3=3a1,∴a1=1 . 2 1 a1=6, ? ? ? ?a1=1 , 2 综上所述,得? 1 或? q=- ? ? 2 ? ?q=1.

1 a1=6, ? ? ? ?a1=1 , 2 【答案】 ? 1 或? q=-2 ? ? ? ?q=1.

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例2 1 ( ) 2 ( 0 1 2 · =________.

广东)若 等 比 数 列

1 2 {an}满足 a2a4= ,则 a1a3 a5 2

1 【解析】 等比数列{an}中,因为a2a4= ,所以a 2 3 =a1a5= 2 1 1 2 a2a4=2,所以a1a3a5=4.

1 【答案】 4

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2 ( ) 在等比数列{an}中,若a3=4,a9=1,则a6=________, 若a3=4,a11=1,则a7=________.
【 解 析 】 数 列 的 公 比 为 设 数 列{an}的 公 比 为 q3. q, 则 a3,a6,a9组 成 的 新

若a3=4,a9=1, 则 a2 2, 合 题 意 ; 6=4,a6=± a3,a7,a11组 成 的 新 数 列 的 公 比 为 a2 当 7=4, 1 a7=2时 , q =2, 合 题 意 , 当
4

q4, 由 a3=4,a11=1, 得 1 a7 = - 2时 ,q= - 2, 不
4

合 题 意 , 舍 去 .
【答案】 ± 2 2
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3 ( ) 已知数列{an}是等比数列,且Sm=10,S2m=30,则S3m= ________(m∈N*). 【解析】 ∵{an}是 等 比 数 列 , ∴(S2m-Sm)2=Sm· (S3m-

S2m),即202=1 ( 0 · S3m-30),得S3m=70.
【答案】 70

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探究2 1 ( ) 等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式 的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形,根据 题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题 的突破口. 2 ( ) 巧用性质,减少运算量,在解题中非常重要.

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思考题2 1 ( ) 2 ( 0 1 2 ·

安徽)公比为2的等比数列{an}的各项都
2a10=(

是正数,且a3a11=16,则o g l A.4 C.6

)

B.5 D.7

2 【解析】 由题意可知 a3a11=a7 =16, 因 为 {an}为正项等比

数列,所以 a7=4, 所 以 o g l
【答案】 B

g l 2a10=o

3 ( a · 2 )=o g l 2 7

5 2 2 =5.

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2 ( ) 已知等比数列{an},a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,则 an= ________.
? ?a1+a3=5, 3 ∵a1a2a3=a2=8,∴a2=2,∴? ? ?a1a3=4. ? ?a1=4, 或? ? ?a3=1.

【解析】

? ?a1=1, 解得? ? ?a3=4

当 a1=1,a2=2,a3=4 时,q=2,an=2n-1; 1 1 n-1 3-n 当 a1=4,a2=2,a3=1 时,q= ,an=( 4 · ) =2 . 2 2
【答案】 23-n 或 2n-1
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例3 数列{an}的前n项 和 为 Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈ N*). 1 ( ) 设bn=an+1-2an, 求 证 : {bn}是等比数列;

an 2 ( ) 设cn= ,求证:{cn}是等比数列. 3n-1

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【 证 明 】

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an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2

=4an+1-4an. bn+1 an+2-2an+1 1 ( ) b = an+1-2an n ?4an+1-4an?-2an+1 2an+1-4an = = =2, an+1-2an an+1-2an ∴数 列 {bn}是 公 比 为 2的 等 比 数 列 , 首 项 为 a2-2a1.

∵S2=a1+a2=4a1+2, ∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3 .

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高考调研 2 ( ) 由1 ( ) 知bn=2 3 ·

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n-1

=an+1-2an,

an+1 an ∴ n-1- n-2=3. 2 2 an ∴数列{ n-2}是等差数列,公差为3,首项为2. 2 an ∴ n-2=2+(n-1)×3=3n-1. 2 ∴an=(3n-2 1 · )
n-2

.∴cn=2n-2.

cn+1 2n-1 ∴ c = n-2=2. 2 n ∴数列{cn}为等比数列,公比为2.
【答案】 1 ( ) 略 2 ( ) 略
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思考题3 N*有an+Sn=n. 1 ( ) 设bn=an-1, 求 证 : 数 列

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已知数列{an}的前n项和为Sn, 且 对 任 意 的

n∈

{bn}是 等 比 数 列 ;

2 ( ) 设c1=a1且cn=an-an-1(n≥2),求{cn}的 通 项 公 式 . 1 【 解 析 】 1 ( ) 由a1+S1=1及a1=S1, 得 a1=2.
又 由 an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1, 得 an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1 . ∴2 ( an+1-1 ) =an-1,即2bn+1=bn.

1 1 ∴数列{bn}是以b1=a1-1=-2为首项,2为公比的等比数列.
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2 ( ) 方法一:由1 ( ) 知2an+1=an+1.∴2an=an-1+1(n≥2). ∴2an+1-2an=an-an-1.∴2cn+1=cn(n≥2). 1 3 又c1=a1= ,a2+a1+a2=2,∴a2= . 2 4 3 1 1 1 ∴c2= - = ,c2= c1. 4 2 4 2 1 1 ∴数列{cn}是首项为2,公比为2的等比数列. 1 1 n-1 1 n ∴cn=2· (2) =(2) .

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1 1 n-1 1n 方法二:由1 ( ) bn=-2· (2) =-(2) . 1n ∴an=-( ) +1. 2 1n 1 n-1 ∴cn=-( ) +1-[-( ) +1] 2 2 1 n-1 1 n 1 n-1 1 =(2) -(2) =(2) (1-2) 1n =(2) (n≥2). 1 1n 又c1=a1=2也适合上式,∴cn=(2) . 1n 【答案】 1 ( ) 略 (2)cn=(2)
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1.通过例1复习等比数列求基本量的问题. 2.通过例2复习等比数列的性质. “巧用性质、减少运算量\”在 等 差 、 等 比 数 列 的 计 算 中 非 常重要但有时产生增解. 3.应用等比数列前n项和公式时,需注意是否对q=1和 q≠1进行讨论.

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4.解答数列综合题,要重视审题、精心联想、沟通联 系.如数列{an}中的a3,a9是方程x2-6x+2=0的两根,求a6, 由根与系数可知a3· a9=2再由等比数列性质知a2 6=2,∴a6= ± 2,若将a3,a9改为a2,a10其 他 条 件 不 变 , 2,而a6≠- 2,你知道吗? a6为 什 么 只 等 于

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1.等比数列{an}中 , 公 比 A.15 C.19
答案 B

q=2,S4=1,则S8的值为( B.17 D.21

)

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2.在等比数列{an}中,Sn表示前n项和,若a3=2S2+1,a4 =2S3+1,则公比q等于( A.3 C.-1
答案 A

) B.-3 D.1

解析

方法一:列方程求出首项和公比,过程略;

a4 方法二:两等式相减得a4-a3=2a3,从而求得 =3=q. a3

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3.数列{an}的前n项 和 为 Sn=4n+b(b是常数,n∈N*),若 这个数列是等比数列,则b等于( A.-1 C.1
答案 A

)

B.0 D.4

a1· ?qn-1? a1 解析 等比数列{an}中,q≠1时,Sn= = · qn q-1 q-1 a1 - =A· qn-A,∴b=-1. q-1

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4.2 ( 0 1 3 ·

北京)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=

40,则公比q=________;前n项和Sn=_ _ _ _ _ _ _ .
答案 2 2n+1-2

解析 由等比数列的性质,得a3+a5=(a2+a4)q,解得q= a3+a5 a2+a4 =2,又∵a2+a4=a1(q+q3)=20,∴a1=2,∴Sn=

a1?1-qn? n+1 =2 -2. 1-q

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5.2 ( 0 1 2 ·

课标全国)等比数列{an}的前n项 和 为 Sn,若S3+

3S2=0,则公比q=_ _ _ _ _ _ _ .
答案 -2

解析

由S3+3S2=0,即a1+a2+a3+3(a1+a2)=0,即4a1

+4a2+a3=0,即4a1+4a1q+a1q2=0,即q2+4q+4=0,所以q =-2.

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6.一正数等比数列前11项的几何平均数为32,从这11项中 抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32,那么抽去的这一 项是第________项.
答案 6

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解 析

由 于 数 列 的 前

11项的几何平均数为32,所以该数列

的前11项之积为3211=255. 当抽去一项后所剩下的10项之积为3210=250, ∴抽去的一项为255÷ 250=25. 又因a1· a11=a2· a10=a3· a9=a4· a8=a5· a7=a2 6, 所以a1· a2· ?· a11=a11 6 .
55 5 故有a11 = 2 ,即 a = 2 .∴抽出的应是第6项. 6 6

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课时作业(三十五)

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