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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第9章 第1节 随机抽样


第一节

随机抽样

[主干知识梳理]
一、简单随机抽样: 1.简单随机抽样的概念: 设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回 地抽取n个个 体作为样本 (n≤N) 个体被抽到的机会 简单随机抽样. ,如果每次抽取时总体内的各个

都相等

,就把这种抽样方法叫做

2

.最常用的简单随机抽样方法有两种—— 抽签法
和随机数法 .

二、系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本: 1.先将总体的 N 个个体 2. 确定 分段间隔k

编号



N N , 对编号进行分段, 当 是整数时, 取 k= ; n n

3.在第 1 段用 简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k); 4.按照一定的规则抽取样本.通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个 个体编号 l+k ,再加 k 得到第 3 个个体编号 l+2k 次进行下去,直到获取整个样本. ,依

三、分层抽样
1.分层抽样的概念: 在抽样时,将总体 分成互不交叉的层 照 一定的比例 , 然 后 按

,从各层独立地抽取一定数量的个体,

将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是 分层抽样. 2.当总体是由 差异明显的几个部分 组成时,往往选用

分层抽样的方法.
3.分层抽样时,每个个体被抽到的机会是 均等 的.

[基础自测自评] 1.(教材习题改编 )在某班的50 名学生中,依次抽取学号为 5 、

10 、 15 、 20 、 25 、 30 、 35 、 40 、 45 、 50 的 10 名学生进行
作业检查,这种抽样方法是 ( A.随机抽样 C.系统抽样 B.分层抽样 D.以上都不是 )

C [由系统抽样的特点可知C正确.]

2.为了了解一批零件的长度,抽测了其中200个零件的长度,

在这个问题中,200个零件的长度是
( A.总体 C.总体的一个样本 B.个体是每一个零件 D.样本容量 )

C [200个零件的长度是总体的一个样本.]

3.某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品,产品的数量之比 依次为 3∶4∶7, 现在用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本, 样本中 A 型产品有 15 件,那么样本容量 n 为( A.50 C.70 B.60 D.80 )

3 C [由 n× =15 得 n=70.] 3+4+7

4. (2014· 金华模拟)某学院有 A, B, C 三个专业共 1 200 名学生. 现 采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本,已知 A 专业 有 420 名学生,B 专业有 380 名学生,则在 C 专业应抽取 ________名学生. 120 解析 由已知条件可得每一名学生被抽取的概率为 P= = 1 200 1 1 ,则应在 C 专业中抽取(1 200-420-380)× =40 名学生. 10 10 答案 40

5 .将某班的 60 名学生编号为: 01 , 02 ,?, 60 ,采用系统

抽样方法抽取一个容量为 5 的样本,且随机抽得的一个号码
为04,则剩下的四个号码依次是________. 解析 依据系统抽样方法的定义知,将这60名学生依次按编

号每12人作为一组,即01~12、13~24、?、49~60,当第 一组抽得的号码是04时,剩下的四个号码依次是16,28,40,

52(即其余每一小组所抽出来的号码都是相应的组中的第四个
号码). 答案 16,28,40,52

[关键要点点拨]

三种抽样方法的异同点:
相互联 适用范 系 围

类别

共同点

各自特点

抽样过程中 简单随机抽 每个个体被 从总体中逐

总体中 的个体 数较少



抽取的机会
均等

个抽取

抽样过程中
系统 抽样

将总体均匀分 每个个体被 成几部分,按 抽取的机会 事先确定的规 则在各部分抽 均等 取

在起始部 分抽样时 采用简单 随机抽样

总体 中的 个体 数较 多

抽样过程中 分层 抽样

各层抽样

每个个体被
抽取的机会 均等

将总体分成 时采用简
几层,分层 单随机抽 进行抽取 样或系统 抽样

总体由差 异明显的 几部分组



简单随机抽样 [典题导入] 下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )

A.在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,
通过随机抽取的方式确定号码的后四位为 2 709 的为三等 奖 B.某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔 30 分钟抽一包产品,称其重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14
人、4人了解学校机构改革的意见 D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验 [听课记录] A、B是系统抽样,因为抽取的个体间的间隔是

固定的;C是分层抽样,因为总体的个体有明显的层次;D是 简单随机抽样. 答案 D

[规律方法] 1.简单随机抽样需满足: (1)抽取的个体数有限; (2)逐个抽 取;(3)是不放回抽取;(4)是等可能抽取. 2.简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、

随机数法(适用于个体数较多的情况).

[跟踪训练] 1.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性( )

A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性最大
B.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性最小 C.与第几次抽样无关,每一次抽到的可能性相等 D.与第几次抽样无关,与样本容量无关 C [ 由随机抽样的特点知某个体被抽到的可能性与第几

次抽样无关,每一次抽到的可能性相等.]

系统抽样 [典题导入] (2012·山东高考)采用系统抽样方法从960人中抽取32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1 , 2 ,?, 960 ,分

组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到
的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区 间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中, 做问卷B的人数为 A.7 B.9 ( )

C.10

D.15

960 [听课记录] 由系统抽样的特点知:抽取号码的间隔为 =30, 32 抽取的号码依次为 9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有 459,489,…,729,这些数构成首项为 459,公差为 30 的等差 数列,设有 n 项,显然有 729=459+(n-1)× 30,解得 n=10.所以 做问卷 B 的有 10 人. 答案 C

[规律方法] 1 . 系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较

大.
2 .使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可 以先从总体中随机地剔除几个个体.

[跟踪训练] 2.从 2007 名学生中选取 50 名学生参加全国数学联赛,若采用下 面的方法选取: 先用简单随机抽样从 2007 人中剔除 7 人,剩下的 2000 人再按 系统抽样的方法抽取,则每人入选的概率( A.不全相等 50 C.都相等,且为 2007 B.均不相等 1 D.都相等,且为 40 )

C [从 N 个个体中抽取 M 个个体则每个个体被抽到的概率都等 M 于 .] N

分层抽样
[典题导入] (1)(2012· 福建高考 ) 一支田径队有男女运动员 98 人,

其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法,从全
体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员 人数是________. (2)(2012·天津高考)某地区有小学150所,中学75所,大学25 所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30所学校对学

生进行视力调查,应从小学中抽取____________所学校,中
学中抽取____________所学校.

[听课记录] (1)依题意,女运动员有 98-56=42(人).设应抽取 28 女运动员 x 人,根据分层抽样特点,得 = ,解得 x=12. 42 98 30 30 30 (2)150× =150× =18,75× =9. 150+75+25 250 250 答案 (1)12 (2)18 9

x

[互动探究] 本例(2)中条件变为“某地区有小学、中学、大学若干所,现采用 分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校, 其中从 150 所小学 中抽取 18 所”试求该地区共有多少所学校. 解析 设共有 n 所学校, 30 ∴150× =18, n ∴n=250.

[规律方法] 进行分层抽样时应注意以下几点 (1)分层抽样中分多少层,如何分层要视具体情况而定,总的原则 是:层内样本的差异要小,两层之间的样本差异要大,且互不重 叠. (2)为了保证每个个体等可能入样,所有层中每个个体被抽到的可 能性相同.

(3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽 样. 样本容量 各层样本数量 (4)抽样比= = . 总体容量 各层个体数量

[跟踪训练]
3.(1)(2014·惠州二调)某工厂的一、二、三车间在12月份共 生产了3 600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量, 决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车 间抽取的产品数分别为a、b、c,且a、b、c构成等差数列, 则二车间生产的产品数为 ( )

A.800
C.1 200

B.1 000
D.1 500

C [因为 a、b、c 成等差数列,所以 2b=a+c,所以二车间抽取 的产品数占抽取产品总数的三分之一, 根据分层抽样的性质可知, 1 二车间生产的产品数占总数的三分之一,即为 3 600× =1 200.] 3

(2)(2014·石家庄检测)某单位200名职工的年龄分布情况如图,

现要从中抽取40名职工作样本.用系统抽样法,将全体职工
随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号, 6~10号,?,196~200号).若第5组抽出的号码为22,则第 8组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法,则40岁 以下年龄段应抽取________人.

解析

由系统抽样知识可知,将总体分成均等的若干部分指

的是将总体分段,且分段的间隔相等.在第 1 段内采用简单

随机抽样的方法确定一个起始编号,在此编号的基础上加上
分段间隔的整数倍即为抽样编号.由题意,第 5 组抽出的号 码为22,因为2+(5-1)×5=22,则第1组抽出的号码应该为 2,第8组抽出的号码应该为 2+(8-1)×5=37.由分层抽样知 识 可 知 , 40 岁 以 下 年 龄 段 的 职 工 占 50% , 按 比 例 应 抽 取

40×50%=20(人).
答案 37 20

【创新探究】 巧用比例解决抽样问题 (2012·湖北高考)一支田径运动队有男运动员56 人,女运动员42人,现用分层抽样的方法抽取若干人, 若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有

________人.
【思路导析】 利用男女抽取比例相等解题.

【解析】 设抽取的女运动员有 x 人, x 8 则 = ,解得 x=6. 42 56 【答案】 6

【高手支招】

三种抽样方法的共同点都是等概率抽样,即抽样

过程中每个个体被抽到的概率相等,体现了这三种抽样方法的客 观性和公平性.若样本容量为 n,总体的个体数为 N,则用这三种 n 方法抽样时,每个个体被抽到的概率都是 .在分层抽样的过程中, N 为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的,这就要求各层所抽 取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个 体数之比,即 ni∶Ni=n∶N,利用此关系式很容易解决抽样过程 中的计算问题.

[体验高考]
1.(2013· 湖南高考)某学校有男、女学生各500名,为了解男、 女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异, 拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽 样方法是( )

A.抽签法
C.系统抽样法 D

B.随机数法
D.分层抽样法

[ 看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显

差异,应当分层抽取,故宜采用分层抽样.]

2.(2013·江西高考)总体由编号为01,02,?,19,20的20

个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方
法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右 依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

A.08 C.02

B.07 D.01

D

[从左到右符合题意的 5个个体的编号分别为: 08,02 ,

14,07,01,故第5个个体的编号为01.]

3.(2013·陕西高考)某单位有840名职工,现采用系统抽样方
法抽取 42 人做问卷调查,将 840 人按 1 , 2 , ? , 840 随机 编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数 为 ( A.11 C.13 B.12 D.14 )

B

[ 依据系统抽样为等距抽样的特点,分 42 组,每组 20

人,区间 [481 , 720] 包含 25 组到 36 组,每组抽 1 人,则抽 到的人数为12.]

课时作业


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