nbhkdz.com冰点文库

甘肃省张掖二中2013届高三上学期10月月考数学(文)试题(奥班)


张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(10 月)

高 三 数 学(文科奥班)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效. .........

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题: (本大题共

12 小题,每小题 5 分,共 60 分,四个选项中只有一项符合要求。 )

1.函数 y ?

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 x
B. [?4, 0)
4

A. [?4, 1]
4

C. (0, 1]

D. [?4, 0) ? (0, 1]

2.函数 y= cos x ? sin x 的最小正周期是

A.

? 2

B. ?

C.2 ?

D.4 ?

3.如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +???…+ a7 = A.14 B.21 C.28 D.35

4.已知向量 a =(2,1), a ? b = 10,︱ a ? b ︱= 5 2 ,则︱ b ︱=

?

?

A. 5

B. 10

C.5

D.25

5.平面向量 a , b 共线的充要条件是 A. a , b 方向相同 C. ?? ? R , b ? ? a

?

?

?

?

B. a , b 两向量中至少有一个为零向量

?

?

?

?

D.存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0

?

?

?

? x ? y ? ?1 ? 6.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为 ?3 x ? y ? 3 ?
A.4 B.11 C.12 D.14

7.已知三点 O,A,B,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC ? CB ? 0 ,则 OC ?

??? ?

A. 2OA ? OB

??? ??? ? ?

B. ?OA ? 2OB

??? ?

??? ?

C



? ? 2 ??? 1 ??? OA ? OB 3 3

D. ? OA ?

? 1 ??? 3

? 2 ??? OB 3
? 1 2

8.若曲线 y ? x A.64

?

1 2

在点 (a, a

) 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ?
C.16 D.8

B.32

9.在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是 A.直角三角形 B.正三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形

2 10.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ?

A.38

B.20

C.10

D.9

11. 已知函数 f ( x ) 满足: x≥4,则 f ( x ) = ( ) ; x<4 时 f ( x ) = f ( x ? 1) , f 2 o 3 当 则 ( l ) ? g
x

1 2

2



A.

1 24

B.

1 12

C.

1 8

D.

3 8

12.给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 ? ,如图所示,点 C 在以 O 为

??? ?

??? ?

圆心的圆弧 AB 上变动,若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是

??? ?

??? ?

??? ?

A.1

B. 3

C.2

D. 2 3

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13.已知三点 A(2, –3), B(4, 3), C(5,

m ),若 AB // AC .则 m = 2

. .

14.已知数列{ an }的首项 a1 =2, an?1 ? 3an ? 2 ,数列{ an }通项公式为 15.数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ?

n 2 n ?1

,则 ?bn ? 前 n 项和 Tn =



16.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则

an 的最小值为 n

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3sin 2x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 ? 的值.

18. (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N .
*

(Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . (Ⅲ)证明对任意 n ? N ,不等式 Sn?1 ≤ 4Sn 成立.
*

19. (本小题满分 12 分) 已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a,b,c,且 2cos2 =0. (Ⅰ)求角 A 的值; (II)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积. A +cos A 2

20. (本小题满分 12 分) 首项 a1 ? 2 的数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

(n ? 2) a n ,数列 ?bn ? 对于任意正整数 n 都有 3

an , bn , a n?1 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ?

2n ? 1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . ( 2n ? 1 ) ? b2 n

21. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) . (Ⅰ)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (Ⅱ)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系; (Ⅲ)是否存在 x0 ? 0 ,使得 | g ( x ) ? g ( x0 ) |? 取值 范围;若不存在,请说明理由.

1 x

1 对任意 x ? 0 成立?若存在,求出 x0 的 x

请考生在第 22、23 二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 已知点 A (2,0), B (0,2), C (cos ? ,sin ? ),且 0< ? < ? 。 (Ⅰ) 若 | OA ? OC |? 7 ,求 OB 与 OC 的夹角; (Ⅱ) 若 AC ? BC ,求点 C 的坐标.

23. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

? ,求 a 的值。

张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(10 月) 高三数学(文科奥班)答案
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.B 7.A 8.A 9.D 10.C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.12 14. an =3n-1 15. 4 ? 11.A 12.C

n?2 2 n ?1

16.

21 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解: (Ⅰ) f ( x) ? 6

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x 2

? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3
? 3 ? 1 ? 2 3? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 3 ? 2 ? 2 ? ?

?? ? ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 . 6? ?
故 f ( x ) 的最大值为 2 3 ? 3 ; 最小正周期 T ?

2? ? ?. 2

(Ⅱ)由 f (?) ?3 ? 3 得 2 3 cos ? 2? ? 2 又由 0 ? ? ?

? ?

?? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 ,故 cos 6?

?? ? 2 ? ? ?? ??1 . 6? ?

? ? ? ? ? 5 ?. 得 ? 2? ? ? ? ? ,故 2? ? ? ? ,解得 ? ? 2 6 6 6 6 12

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得 an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N .
*

又 a1 ? 1 ? 1 ,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n?1 ? n . 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?
*

4n ? 1 n(n ? 1) ? . 3 2

(Ⅲ)证明:对任意的 n ? N ,

Sn ?1 ? 4Sn ?

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 1 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) 2 ? ? 4? ? ? ? ? 2 (3n ? n ? 4) ≤ 0 . 3 2 3 2 ? ?
*

所以不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N 皆成立.--------------------------------12 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 2cos2 A 1 +cos A=0,得 1+cos A+cos A=0,即 cos A=- , 2 2

2π ∵0<A<π,∴A= . 3 2π (II)由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A,A= , 3 则 a2=(b+c)2-bc,又 a=2 3,b+c=4, 1 有 12=42-bc,则 bc=4,故 S△ABC= bcsin A= 3. 2 20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)由 S n ?

a (n ? 2) ( n ? 3) n?2 a n 得: S n ?1 ? a n ?1 两式相减并化简得: n ?1 ? 3 3 an n
a a a 2 a3 3 4 n n ?1 ? ? ? ? ? ? n?1 ? n ? 2 ? ? ......? ? ? n(n ? 1) a1 a2 an?2 an?1 1 2 n ? 2 n ?1

n ? 2 时, an ? a1 ?

经检验 n ? 1 时也成立 所以 an ? n(n ? 1) ---------------6 (Ⅱ)由题意 bn ?

a n ? a n ?1 = (n ? 1) 2 . 2

cn ?

2n ? 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), 2 (2n ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] . 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? -------------12 2 2n ? 1 2n ? 1
21. (本小题满分 12 分) 【解】1) f ?( x ) ? ( ∵

1 , f ( x) ? ln x ? c c 为常数)又∵ f (1) ? 0 , ∴ ( , 所以 ln1 ? c ? 0 , x

g 即 c ? 0 , f ( x) ? ln x ; ( x) ? ln x ? ∴
解得 x ? 1 ,

1 x ?1 x ?1 ) ? 即 2 ? 0, , g ?( x ) ? 2 , g ?( x 0 , ∴ 令 x x x

当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 是减函数,故区间在 (0,1) 是函数 g ( x) 的减区间; 当 x ? (1, ??) 时,g ?( x) ? 0 ,g ( x) 是增函数, 故区间在 (1, ??) 是函数 g ( x) 的增区间; 所以 x ? 1 是 g ( x) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点, 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 .

1 1 1 ( x ?) 1 (2)g ( ) ? ? ln x ? x , h( x) ? g ( x) ? g ( ) ? 2ln x ? x ? , h?( x) ? ? 设 则 x x x x2
当 x ? 1 时,h(1) ? 0 , g ( ) ? ( ) 即 x g

2



1 , x ? (1 1 ? ) ? 当 0) ( , , ? x

时,h?( x) ? 0 ,h?(1) ? 0 ,

因此函数 h( x) 在 (0, ??) 内单调递减, 0 ? x ? 1 时, ( x) ? h(1) =0, g ( x ) ? g ( ) ; 当 ∴ h 当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) =0,∴ g ( x ) ? g ( ) . (3)满足条件的 x0 不存在.证明如下: 证法一 假设存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |? 即对任意 x ? 0 有 ln x ? g ( x0 ) ? ln x ? 但对上述的 x0 ,取 x1 ? e
g ( x0 )

1 x

1 x

1 对任意 x ? 0 成立, x


2 x

时,有 ln x1 ? g ( x0 ) ,这与①左边的不等式矛盾,

因此不存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |?

1 对任意 x ? 0 成立. x 1 对任意 x ? 0 成立, x

证法二 假设存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |? 由(1)知, g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 , 又 g ( x) ? ln x ?

1 ? ln x ,而 x ? 1 时, ln x 的值域为 (0, ??) , x

∴当 x …1 时, g ( x) 的值域为 [1, ??) , 从而可以取一个值 x1 ? 1 ,使 g ( x1 ) …g ( x0 ) ? 1 ,即 g ( x1 ) ? g ( x0 ) … ,∴ 1

| g ( x1 ) ? g ( x0 ) |…1 ?

1 ,这与假设矛盾. x1
1 对任意 x ? 0 成立. x

∴不存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |?

请考生在第 22、23 二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) ∵ | OA ? OC |? 7 又 ? ? (0, ? ) ,∴ ? ? ?AOC ? ∴ OB 与 OC 的夹角为
2 (2 ? c o ? ) 2 ? s i n ? ? 7 s

∴ cos ? ?

1 2

-------4

?
3

∴ C(

1 , 2

3 ) 2

?
6

.

-------------------6

(Ⅱ) AC ? (cos ? ? 2, sin? ) , BC ? (cos ? , sin? ? 2) ∵ AC ? BC ,∴ AC ? BC ? 0 ∴ cos ? ? sin? ?

1 2 1 4



-------------------9

∴ (cos ? ? sin? ) 2 ? ∵ ? ? (0, ? )

∴ 2 sin ? cos ? ? ?

3 4

∴ ? ? ( ,? )

?

2

又由 (cos ? ? sin? ) 2 ? 1 ? 2 sin? cos ? ? 得 cos ? ? sin ? ? ? 由①② ? cos ? ?

7 及 cos ? ? sin ? ? 0 4

7 2



1? 7 1? 7 1? 7 1? 7 , sin ? ? ∴C( , )-----12 4 4 4 4
x ? 3 或 x ? ?1 。

23. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。由此可得 故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组 ?

?x ? a ? x ? a ? 3x ? 0

或?

?x ? a ?a ? x ? 3 x ? 0

?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4

?x ? a ? ? a 或 x?? ? ? 2
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ?

?

由题设可得 ? ,

a = ?1 ,故 a ? 2 2

版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)


甘肃省张掖二中2013届高三上学期10月月考英语试题(奥班)

甘肃省张掖二中2013届高三上学期10月月考英语试题(奥班)_英语_高中教育_教育专区。张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(10 月) 高三英语(奥班)本试卷分第 ...

甘肃省张掖二中2013届高三上学期10月月考数学(理)试题(奥班)

甘肃省张掖二中2013届高三上学期10月月考数学()试题(奥班) 隐藏>> 张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(10 月) 高三数学(理科奥班)第Ⅰ卷(共 60 分)...

甘肃省张掖二中2013届高三上学期10月月考数学(文)试题(奥班)

甘肃省张掖二中2013届高三上学期10月月考数学(文)试题(奥班) 隐藏>> 张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(10 月) 高三数学(文科奥班)本试卷分第Ⅰ卷(选择...

甘肃省张掖二中2013届高三上学期10月月考英语试题(奥班)

张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(10 月) 高三英语(奥班)题号得分 拼写 改错 写作 座次号 总分 第 II 卷(非选择题,共 50 分) 第四部分:写作(共...

甘肃省张掖二中2013届高三上学期10月月考化学试题(奥班)

甘肃省张掖二中2013届高三上学期10月月考化学试题(奥班) 隐藏>> 张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(10 月) 高三化学(奥班)试卷说明: 1. 本试卷,考试时...

甘肃省张掖二中2013届高三上学期10月月考生物试题(奥班)

甘肃省张掖二中2013届高三上学期10月月考生物试题(奥班) 隐藏>> 张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(10 月) 高三生物(奥班)一、单项选择题(每小题只有一...

甘肃省张掖二中2013届高三上学期10月月考物理试题(奥班)

张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(10 月) 高三物理(奥班)(满分 100 分,答题时间 100 分钟) 第 I 卷(共 44 分,答在答题卡上)一、选择题(本大题...

甘肃省张掖二中2016届高三英语上学期10月月考试题

甘肃省张掖二中2016届高三英语上学期10月月考试题_英语_高中教育_教育专区。张掖二中 2015—2016 学年度高三月考试卷(10 月) 高三英语 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)...

甘肃省张掖二中2016届高三上学期10月月考语文试题

甘肃省张掖二中2016届高三上学期10月月考语文试题_语文_高中教育_教育专区。张掖...(共 70 分) 甲 必考题 一、现代文阅读(9 分,每小题 3 分) 阅读下面的...