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高中数学课件 3.2.2函数模型应用实例


3.2.2 函数模型的应用实例

对比三种函数的增长差异
对于指数函数、对数函数、幂函数 y ? a (a ? 1), y ? log a x(a ? 1)和y ? x (n ? 0) 在区间(0,+∞)上,尽管函数 都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个”档次 “ 上。随着 x 的增大, 的增长速度越来越快,会超过并 远远大于 的增长速

度,而 的增长速度 则会越来越慢。因此,总会存在一个 ,当 时,就有
x n

一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系 如图1所示,
? (1)求图1中阴影部 分的面积,并说明所 求面积的实际含义; ? (2)假设这辆汽车的 里程表在汽车行行驶 这段路程前的读数为 2004km,试建立行 驶这段路程时汽车里 程表读数s km与时间t h的函数解析式,并作 出相应的图象。

v/ (km/h)
90 80 70 60 50 40 30 20 10

图1

0

1

2

3

4

5

解:(1)阴影部分的面积为

50 ?1 ? 80 ?1 ? 90 ?1 ? 75 ?1 ? 65 ?1 ? 360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的为360km。

根据图1,有

s

这个函数的图象如图2所示。

t

例4 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口 数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据。早 在1798年,英国经济学家马尔萨(T.R.Malthus,17661834)就提出了自然状态下的人口增长模型:

y 其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口 的年平均增长率。
0

y ? y0e

n

表3是1950~1959年我国的人口数据资料:
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959

人数/ 万人

55196

56300

57482

58796

60266

61456

62828

64563

65994

67207

y ? y0e

n (1)如果以各年人口增长谐振平均值作为我国这一时期的人口 增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我 国在这一时期具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人 口数据是否相符;

解:设1951~1959年的人口增长率分别为 r1 ,r 2 ,......,r 9 . 由
55196(1 ? r1 ) ? 56300, 可得1951年的人口增长率r1 ? 0.0200. 同理可得, r2 ? 0.0210,r3 ? 0.0229,r4 ? 0.0250, r5 ? 0.0197,r6 ? 0.0223,r7 ? 0.0276, r8 ? 0.0222,r9 ? 0.0184. 于是, 1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为

r ? (r ? r ? ... ? r ) ? 9 ? 0.0221
1 2 9

令y0 ? 55196, 则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为
y ? 55196e0.0221t .t ? N.

根据表格3中的数据作出散点图,并作出函数
y ? 55196e0.0221t .t ? N. 的图象(图4).
由图4可以看出,所 得模型与 1950~1959年的实 际人口数据基本吻 合.

(2)如果按表3的增长趋势,大约在哪一年我国 的人口达到13亿?
? 将y=130000代入 y ? 55196e0.0221t .t ? N.
? 由计算可得 ?

t ? 38.76

所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950 年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到 13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让 人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压 力.

大家不要忘了:

计划生育, 利国利民

数学模型为二次函数的问题 二次函数为生活中最常见的一种数 学模型,因二次函数可求其最大值(最 小值),故常常最优、最省等最值问题 是二次函数的模型。看书中117页的例 六。


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