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100测评网高三数学复习静安区2008学年第一学期期末教学质量检测


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静安区 2008 学年第一学期期末教学质量检测

高三年级数学试卷
(本试卷满分 150 分 考生注意:
1. 本试卷包括试题纸和答题纸两部分.试题纸上题号后注明(理)的试题表示理科生做, 注明(文)的试题表示文科生做,未注

明的试题所有考生都要做.答题纸另页,正反面. 2. 在本试题纸(共 4 页)上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3. 可使用符合规定的计算器答题.

考试时间 120 分钟)

2009.1

祝考试顺利!
一、填空题 本大题共有 12 小题,每小题 5 分,本大题满分 60 分.请将结果直接填入答题纸 的相应位置. 1.计算: lim(2n ?
n ??

4n 2 ? 2n ? 1 )= 2n ? 2



2.设 ( x ?
2

1 n ) 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为 2x
cm3.

A

. 3.已知某铅球的表面积是 484? cm2,则该铅球的体积是

4. (理)如图,已知圆柱的体积是 6 ? ,点 O 是圆柱的下底面圆心,底 面半径为 1,点 A 是圆柱的上底面圆周上一点,则直线 OA 与该圆柱 的底面所成的角的大小是 . (结果用反三角函数值表示) (文)已知圆锥的母线长 l ? 5 cm,高 h ? 4 cm,则该圆锥的体积是 5.已知复数 z 满足方程 z ? 2 z ? 3 ? 0 ,则 z ?
2

O cm3.


2

6.若复数 z ? [(log3 x) ? 2 log3 x ? 3] ? [(log3 x) ? 5 log3 x ? 6] i 是纯虚数( i 为虚数单
2

位) ,则实数 x ? . 7. (理)8 名同学排成前后两排,每排 4 人.如果甲、乙两同学必须排在前排,丙同学必须 排在后排,那么不同的排法共有 种. (用数字作答) (文)某班上午要排语文、数学、体育、英语四门课,如果体育课不排在第一节也不排在 第四节,则不同的排课方案共有 种. (用数字作答) 8. (理) 已知等差数列 ?an ? (n? N *) 的首项 a1 ? 0 , 设 S n 为 ?an ? 的前 n 项和, 且 S 6 ? S11 , 则当 S n 取得最大值时, n ? .

(文)已知数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? 则 S 30 ? .

1 n ?3(n? N *) ,设 S n 为 ?an ? 的前 n 项和, 2

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9. (理)某工厂的一位产品检验员在检验产品时,可能把正品错误地检验为次品,同样也会 把次品错误地检验为正品.已知他把正品检验为次品的概率是 0.02,把次品检验为正品的 概率为 0.01.现有 3 件正品和 1 件次品,则该检验员将这 4 件产品全部检验正确 的概率 ...... 是 . (结果保留三位小数) (文) 抛掷一枚均匀的正方体骰子 (六个面的点数分别为 1、 2、3、4、5、6 点) ,则事件“出现的点数大于 4”的概率 是 . 10.已知周期为 2 的偶函数 f ( x) 的定义域是实数集 R ,且当

开始

输入正整数 k n S n 是 ?1 S S+2n n+1 0

x ? [0 , 1] 时,f ( x) ? log2 (2 ? x) , , 2009 ] 则当 x ? [2007
时, f ( x) = .

11.执行右面的程序框图,如果输入的 k=50,那么输出的 S= . 12. (理)已知关于 x 的不等式组 1 ? kx ? 2 x ? k ? 2 有唯一
2

n?k 否 输出 S 结束

实数解,则实数 k 的取值集合是



(文)已知关于 x 的不等式 (ax ? 1)(x ? 1) ? 0 的解集是

1 ( ?? , ) ? ( ?1, ? ?) ,则实数 a 的取值范围是 a



二、选择题 本大题共有 4 小题,每小题 4 分,本大题满分 16 分.在每小题给出的四个选项 中,有且只有一项是符合题目要求的,选择正确项的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相 应位置.

? ?) 上的单调性为( ) . 13. 函数 f ? x ? ? ? ? 与函数 g ( x) ? log 1 x 在 (0,
2

?1? ?2?

x

(A)都是增函数; (B)都是减函数; (C)一个是增函数,另一个是减函数; (D)一个是单调函数,另一个不是单调函数 14.下列以行列式表达的结果中,与 sin(? ? ? ) 相等的是( ) . (A)

sin ? ? sin ? cos ? sin ? sin ? sin ? cos? ? sin ? ; (B) ; (C) ; (D) cos? cos ? cos? cos ? sin ? cos ? sin ? cos?

15.已知长方体的表面积是 24cm2,过同一顶点的三条棱长之和是 6cm,则它的对角线长是 ( ) . (B)4 cm; (C) 3 2 cm; (D) 2 3 cm (A) 14 cm;

16. 已知关于 x 的不等式 x ? 2 ? 3 ? x ? m 的解集为非空集合, 则实数 m 的取值范围是 ( ) . (A) m ? 1 ; (B) m ? 1 ; (C) m ? 1 ; (D) m ? 1

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三、解答题 本大题共有 5 题,本大题满分 74 分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置上 写出必要的步骤. 17.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. (理) 设a ? (cos ? , (? ? 1) sin ? ),

b ? (cos ? , sin ? ), (? ? 0,0 ? ? ? ? ?

?
2

) 是平面上的

两个向量,若向量 a ? b 与 a ? b 相互垂直,
2

(1)求实数 ? 的值;

0

4 4 (2)若 a ? b ? ,且 tan ? ? ,求 ? 的值. (结果用反三角函数值表示) 5 3
0 7 0

(文)已知 a ? (cos? , 3sin ? ) ,b ? (3 cos? , sin ? ) ,(0 ? ? ? ? ?
4

?

2

) 是平面上的两个向

量.

1

2

(1)试用 ?、? 表示 a ? b ; (2)若 a ? b ?

36 4 ,且 cos ? ? ,求 ? 的值. (结果用反三角函数值表示) 13 5

18. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

?ACB ? 90? , ?BAC ? 30? , 如图, 已知直三棱柱 ABC ? A?B ?C ? 中, BC=1,AA? ?
点 D、E 分别是△ ABC 边 AB、AC 的中点,求: (1) 该直三棱柱的侧面积; (2)(理)异面直线 DB ? 与 EA? 所成的角的大小. (结果用反三角函数值表示) (文)异面直线 DE 与 A?B ? 所成的角的大小.

6,

B?

A?

B?

A?

C?

C?

D B

A

D

B

A

C
理科 18 题

E

C
文科 18 题

E

19.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (理)根据统计资料,某工艺品厂每日产品废品率 p 与日产量 x (件)之间近似地满足关系 式p?

2 ( x ? N ,1 ? x ? 8 ) (日产品废品率= 日废品(件)数 ) .已知每生产一件正 10 ? x 日产量(件)数

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品可赢利 2 千元,而每产生一件废品则亏损 1 千元.该车间的日利润额 T 按照日正品赢利 额减去日废品亏损额计算. (1)将该车间日利润额 T (千元)表示为日产量 x (件)的函数; (2)当该车间的日产量为多少件时,日利润额最大?最大日利润额是几千元? (文)沪杭高速公路全长 166 千米.假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于 60 千米/时且不高于 120 千米/时的时速匀速行驶到杭州.已知该汽车每小时的运输成本 ( 以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v (千米/时 )的平方成正比,比 例系数为 0.02;固定部分为 220 元. (1) 把全程运输成本 y (元)表示为速度 v ( 千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小?最小运输成本约为多少元?(结果 保留整数) 20.(本题满分 16 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分. 已知各项为正数的等比数列 ?an ? ( n ? N * )的公比为 q ( q ? 1 ),有如下真命题:若

n1 ? n2 ? p ,则 (an1 ? an2 ) 2 ? a p (其中 n1、n2、p 为正整数). 2

1

n ? n2 1 ? p ? ,试探究 (an1 ? an2 ) 2 与 a p 、 q 之间有何等量关系,并给予证明; (1)若 1 2 2
(2)对(1)中探究得出的结论进行推广,写出一个真命题,并给予证明. 21.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 9 分. 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x x ? a ? 1( x ? R ) . (1)当 a ? 1 时,求所有使 f ( x) ? x 成立的 x 的值;

1

3 ) 时,求函数 y ? f ( x) 在闭区间[1,2]上的最小值; (2)当 a ? (0,
(3)试讨论函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? a 的交点个数.

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静安区 200901 数学检测解答与评分标准 说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中 评分标准的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的 内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数 之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 一、 (第 1 题至第 12 题) 1.1; 2.3; 3.

4 ? 1331? ; 3

4. (理) arctan 6 ; (文) 12? ; 5. 3 ; 6.

1 ; 3

7. (理)5760(文)12; 8. (理) n ? 8 或 n ? 9 ; (文)

285 (即 142 .5 ) ; 2

9. (理)0.932; (文)

), x ? [2007 ,2008 ) ?log2 ( x ? 2006 1 ;10. f ( x) ? ? ; 11. 2548; 3 ,2009 ] ?log2 (2010? x), x ? [2008
1? 5 ; (文) ? 1 ? a ? 0 . 2

12. (理) k ? 1 ?

2或k ?

二、 (第 13 题至第 16 题) 题 号 代 号 三、 (第 17 题至第 21 题) 17.理(1)由题设,得 (a ? b) ? (a ? b) ?| a |2 ? | b |2 ? (? ? 1) sin
2 2

13 B

14 C

15 D

16 C

? ? sin 2 ?

? (? ? 1) 2 sin 2 ? ? sin 2 ? ? 0即? (? ? 2) sin 2 ? ? 0 ? 0 ? ? ? ? , ? sin 2 ? ? 0, 又? ? 0
?? ? 2 ? 0

故? 的值为 2.

?????????5 分

(2)解法 1: a ? b与a ? b垂直时 , a ? (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ) ,

a ? b ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? )
? cos( ? ? ? ) ?

?????????7 分

4 ? ? , ? 0 ? ? ? ? ? ,则 ? ? ? ? ? ? 0 5 2 2

tan( ? ? ? ) ? ?

3 4

? tan? ? tan[( ? ? ?) ? ?] ?

tan( ? ? ? ) ? tan ? 7 ? ???????10 分 1 ? tan( ? ? ? ) tan ? 24

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又0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ? arctan

7 . 24 3 5 3 4 4 7 ? ? ? , 5 5 5 25

?????????12 分 ?????????10 分 ?????????12 分

解法 2: sin ? ? sin(? ? ? ? ? ) ? (? ) ? 又0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ? arcsin

7 . 25

文: (1) a ? b = 3 cos? cos ? ? 3 sin ? sin ? ? 3 cos(? ? ? ) ; ?????????5 分

36 12 4 ? , 所 以 cos(? ? ? ) ? ; 又 cos? ? , 0 ? ? ? ? ? , 所 以 2 13 13 5 3 5 sin ? ? , sin(? ? ? ) ? ?????????7 分 5 13 33 cos? ? cos(? ? ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? = .?????10 分 65 33 56 56 所以 ? ? arccos . (或 sin ? ? , ? ? arcsin ) ?????????12 分 65 65 65
(2)因为 a ?b ? 18. (1) S 侧 ? ch , ?????????2 分

c ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ,所以该直三棱柱的侧面积是 (3 ? 3) 6 ; ?????6 分
( 2) (理)取 B ?C ? 中点 F ,则四边形 DEF B ? 为平行四边形, DB ? // EF .在△ A?EF 中,

A?E ?

3 3 13 , EF ? 7 , A?F ? , 2 2 A?E 2 ? EF 2 ? A?F 2 21 ? . 2 A?E ? EF 6

?????????9 分

所以 cos?A?EF ?

?????????12 分

所以异面直线 DB ? 与 EA? 所成的角的大小为 arccos

21 .?????????14 分 6

(文)因为点 D、E 分别是△ ABC 的边 AB、AC 中点, 所以 DE // BC ,又 BC // B ?C ? ,所以 DE // B ?C ? .所以 ?A?B ?C ? 的大小就是异面直线 DE 与 A?B ? 所成的角的大小, ?????????12 分 所以,异面直线 DE 与 A?B ? 所成的角的大小为 60?. ?????????14 分 (通过其他方法确定异面直线所成的角或用向量解答参照上述标准评分) 19. (理) (1) T ? 2 x(1 ? p) ? x ? p ? 1 ?

14x ? 2 x 2 , ( x ? N ,1 ? x ? 8 ) ;??6 分 10 ? x

30 30 )] .因为 t ? ? 2 30 ,9 分 t t 30 当且仅当 t ? 30 时取等号,而 t ? N ,当 t ? 5 或 t ? 6 时, t ? 有最小值 11,??12 分 t
(2)令 10 ? x ? t ,则 2 ? t ? 9, t ? N , T ? 2[13 ? (t ?

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从而 T 有最大值为 4.此时 x ? 4 或 5. 即车间的日产量定为 4 件(或 5 件)时,该车间可获得最大利润 4 千元.?????14 分

60 ,当且仅当 (10 ? x) 2 ? 30 时取等号,??) x ? 10 166 (文) (1)依题意知汽车从莘庄匀速行驶到杭州所用时间为 ,全程运输成本为 v 166 166 220 y ? 220 ? ? 0.02v 2 ? ? 166 ( ? 0.02v) , ?????4 分 v v v 220 ? 0.02v), v ? [60,120 ] 故所求函数及其定义域为 y ? 166 ( ?????6 分 v 220 ? 0.02v) ? 2 ? 166 220 ? 0.02 ? 696 (696.4) (2) 166 ( , ?????9 分 v
(或 T ? 26 ? 2 x ? 20 ? 当且仅当

220 ? 0.02 v ,即 v ? v

220 ? 105(104.88)时上式中等号成立.??12 分 0.02

(因为 105 ? 120 , )所以当汽车以 105 km/h 速度行驶时,全程运输成本最小,约为 696 元. ????????????????????????????????????14 分 20.(1)因为
1 2

n1 ? n2 1 ? p ? ,所以 n1 ? n2 ? 2 p ? 1, 2 2
2 1 1 n1 ?n2 ?2 2

(an1 ? an2 ) ? (a ? q
即 (an1
1 2

) ? (a ? q

2 1

1 ( 2 p?2)?1 2

) ? (a1 ? q

p?1

) ? q ? ap ? q

1 2

1 2

? an2 ) ? a p ? q

1 2



?????????6 分

(2)以下列出推广命题的评分建议,命题证明部分的得分,不得超过推广命题的得分. 对于命题仅作形式上的变化,或者不是对(1)的推广不得分.
1 2 1 2

如:若 n1 ? n2 ? 2 p ? 1 ,则 (an1

? an2 ) ? a p ? q



第一层次:(仅对题目所列进行简单总结或对结构简单变化)1 分

如 : 若
1 2

n1 ? n2 r ? p ? ( p ? N *, r ? N , 0 ? r ? 2) ( 分 开 写 也 可 ), 则 有 2 2
r 2

(an1 ? an2 ) ? a p ? q

成立.

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以下两个层次,可以根据学生的实际答题情况再作划分. 第二层次: (对于确定项数(至少三项)给出一般性结论或部分推广常数

1 )3 分 2

n ? n 2 ? n3 1 ? p ? ,则 (an1 如:若 1 3 3

? an2 ? an3 ) ? a p ? q

1 3

1 3


1 3 r 3

n ? n 2 ? n3 r ? p? , 如:若 1 ( r ? N ,0 ? r ? 3 )则 (an1 3 3
第三层次: (进行一般化的推广)5 分 若 an 、 an 、
1 2

? an2 ? an3 ) ? a p ? q



、 an 是公比为 q 的各项为正的等比数列 {an } 的任意 m 项,则存在以下真
m

命题:若

n1 ? n2 ? m
1 m

? nm

? p?
r m

r ( m , p ? N *, r ? N , 0 ? r ? m ) ,则有 m

(an1 ? an2 ?

? anm ) ? a p ? q 成立.
???????????????3 分
2 ? ? x ? ax ? 1, x ? a , 2 ? ? x ? ax ? 1 , x ? a ?

21.(1)?1,1; (2) f ( x) ? ?

2 当 0 ? a ? 1 时, x ? 1 ? a ,这时 f ( x) ? x ? ax ? 1 ,对称轴 x ?

a 1 ? ? 1 ,所以函数 2 2

y ? f ( x) 在区间[1,2]上递增,最小值为 f (1) ? 2 ? a ; ????????5 分
当 1 ? a ? 2 时, x ? a 时函数 y ? f ( x) 取得最小值 1;?????????7 分
2 当 2 ? a ? 3 时, x ? 2 ? a ,这时 f ( x) ? ? x ? ax ? 1,对称轴 x ?

a 3 ? (1, ) , f (1) ? a , 2 2

f (2) ? 2a ? 3 , 2a ? 3 ? a ? a ? 3 ? 0 ,所以最小值为 f (2) ? 2a ? 3 ;???9 分
(3) 因为 a ? 0 , 所以 a ?

a 2 2 , 所以 y1 ? x ? ax ? 1 在 [a,??) 上递增; y 2 ? ? x ? ax ? 1 2
???????????????11 分

在 (?? , ) 递增,在 [ , a ) 上递减.

a 2

a 2

又 f (a) ? 1,所以当 a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? a 有 2 个交点;?12 分 又 f( )?

a 2

a2 a2 1 1 a2 ? 1 ? a ? (a 2 ? 4a ? 4) ? (a ? 2) 2 ? 0 , 所 以 ?1 ? a ,当 ?1, 4 4 4 4 4

a2 a a ? 2 时等号成立(或 ? 1 ? 2 ? ? a ,当且仅当 a ? 2 时等号成立)??14 分 4 2

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所以当 a ? 2 时,函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? a 有 2 个交点; ????15 分 当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? a 有 3 个交点; 当 a ? 2 时,函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? a 有 3 个交点; 当 0 ? a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? a 有 1 个交点. ????16 分 ????17 分 ????18 分

=========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新 版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四, 小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti, 教学 , 教学研究 , 在线教学 , 在 线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育, 在线教育,中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线 练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料, 课外辅导资料,在线辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课 题,复习资料,复习专题,专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库,测 评卷,小学学习资料,中考学习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷,期 末考试,期末试卷,期中考试,期中试卷 =========================================================== 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.


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