nbhkdz.com冰点文库

a双曲线及其标准方程1


双曲线及其标准方程 双曲线及其标准方程 第一课时
第一课时
主讲:汪浩

目标
1.掌握双曲线的定义,能说出焦点,焦距的意义; 2.能用直译法推导双曲线的标准方程,并能熟练 写出两种形式的标准方程.

3.能根据条件确定双曲线的标准方程.

复习
1. 椭圆的定义

面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y

M ? x, y ?

2. 引入问题:

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
当拉链向下拉动时,|MF1|和|MF2|都在 减少,但是减少的长度是相同的,所以它 们的差不变,仍然为2a

②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a (此时, |MF1| 大于 |MF2|) 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离(记|F1F2|=2c)的 差的绝对值等于常数2a(小于︱F1F2︱)的点的轨 迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 说明 (1)2a<2c ;
(2)2a >0 ; 思考: (1)若2a=2c,则轨迹是什么?
答:为两条射线 答:轨迹不存在
F 1 和 F2

M

(2)若2a>2c,则轨迹是什么?
答:线段|F1F2|的垂直平分线

F

1

o

F

2

(3)若2a=0,则轨迹是什么?

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系.

y
M

以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点. 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式

F

O
1

F

2

x

|MF1| - |MF2|=±2a
( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2


4.化简

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

? ( x ? c)

2

?y

2

? ? ?? 2a ?
2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a 2 ? ? a ( x ? c) 2 ? y 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2
x2 a2

? b 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

y2

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M F2 x

F

O
1

F

2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? ? 1 2 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

问题
1、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
椭圆方程中X2和Y2前面的系数都为正数且不相等, 双曲线方程中X2和Y2前面的系数为一正一负

2、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正, 则在哪一个轴上

2

2

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

例题
例1:已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线 的标准方程.
解:由题意知c=5,2a=6即a=3,
则b2=c2-a2=25- 2 9=16 2 双曲线方程为

变题1:将条件改为双曲线上一点P到F1,F2的距离 的差等于6,如何?
2 2 x y 解: ? ? 1 (x>0) 25 16

x y ? ?1 25 16

变题2:将条件改为双曲线上一点P到F1,F2的距离 的差的绝对值等于10,如何?
解:为y=0(x<-5或x>5)

练习
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.a=4,b=3,焦点在x轴上;

2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
3.a=4,过点(1,
答案:1、 2、 3、

4 10 3

)

x2 y 2 ? ?1 16 9
y2 x 2 ? ?1 20 16

y2 x2 ? ?1 16 9

练习
x2 y2 如果方程 2 ? m ? m ? 1 ? 1 表示双曲线,求m的

取值范围.
解:应有(2-m)(m+1)>0 即(m-2)(m+1)<0 解得-1<m<2 上述方程可否表示焦点在y轴的双曲线?
解:若焦点在y轴上,应有 m+1<0且2-m<0 解得m<-1且m>2,故m无解

小结
定义

双曲线定义及标准方程
| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象

F1

o

F2

x
F1

x

方程 焦点
a.b.c 的关 系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

c ?a ?b
2

双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 定义 方程 圆

双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0) F(0,±c)

F(±c,0) F(0,±c) a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a.b.c 的关系 a>b>0,a2=b2+c2


2.3.1 双曲线及其标准方程A

? 1, a2 b2 这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在 x 轴上的双曲线. 【思考】 ⑴在双曲线的标准方程中,a 、b 是否需要满足条件 a ? b ? 0 ? ...

2.2.1 双曲线及其标准方程 教案(人教A版选修1-1)

2.2.1 双曲线及其标准方程 教案(人教A版选修1-1)_数学_高中教育_教育专区。2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与...

高中数学人教版A选修2-1教学设计:2.3.1双曲线及其标准方程》教案1

高中数学人教版A选修2-1教学设计:2.3.1双曲线及其标准方程》教案1_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教版A选修2-1教学设计 2.2.1 双曲线的标准方程【教学...

人教新课标版(A)高二选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程(一)同步练习题

人教新课标版(A)高二选修 1-1 2.2.1 双曲线及其标准方程(一)同步练习题 【基础演练】 题型一:双曲线的定义 平面内到两定点 F1 、 F2 的距离的绝对值为...

1.1.3双曲线及其标准方程

1.1.3 双曲线及其标准方程课前预习学案一、预习目标 ①双曲线及其焦点,焦距的定义。 ②双曲线的标准方程及其求法。 ③双曲线中 a,b,c 的关系。 ④双曲线与...

人教新课标版(A)高二选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程(一)同步练习题

人教新课标版(A)高二选修 1-1 2.2.1 双曲线及其标准方程(一)同步练习题 【基础演练】 题型一:双曲线的定义 平面内到两定点 F1 、 F2 的距离的绝对值为...

2014-2015学年高中数学(人教A版,选修1-1)作业:2.2.1双曲线及其标准方程

2014-2015学年高中数学(人教A版,选修1-1)作业:2.2.1双曲线及其标准方程_数学_高中教育_教育专区。§2.2 2.2.1 双曲线 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了...

人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题答案及详解

人教版高二数学选修 1-1 双曲线及其标准方程练习题 一、选择题 1.平面内到两定点 E、F 的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是( A.双曲线 B.一条直线 ...

选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程

选修 1-1 2.2.1 双曲线及其标准方程一、选择题 1、若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线a2-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一...

双曲线及其标准方程 新人教A版选修2-1

双曲线及其标准方程 新人教A版选修2-1_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 双曲线及其标准方程 新人教A版选修2-1_高考_高中教育_教育...