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a双曲线及其标准方程1


双曲线及其标准方程 双曲线及其标准方程 第一课时
第一课时
主讲:汪浩

目标
1.掌握双曲线的定义,能说出焦点,焦距的意义; 2.能用直译法推导双曲线的标准方程,并能熟练 写出两种形式的标准方程.

3.能根据条件确定双曲线的标准方程.

复习
1. 椭圆的定义

面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y

M ? x, y ?

2. 引入问题:

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
当拉链向下拉动时,|MF1|和|MF2|都在 减少,但是减少的长度是相同的,所以它 们的差不变,仍然为2a

②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a (此时, |MF1| 大于 |MF2|) 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离(记|F1F2|=2c)的 差的绝对值等于常数2a(小于︱F1F2︱)的点的轨 迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 说明 (1)2a<2c ;
(2)2a >0 ; 思考: (1)若2a=2c,则轨迹是什么?
答:为两条射线 答:轨迹不存在
F 1 和 F2

M

(2)若2a>2c,则轨迹是什么?
答:线段|F1F2|的垂直平分线

F

1

o

F

2

(3)若2a=0,则轨迹是什么?

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系.

y
M

以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点. 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式

F

O
1

F

2

x

|MF1| - |MF2|=±2a
( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2


4.化简

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

? ( x ? c)

2

?y

2

? ? ?? 2a ?
2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a 2 ? ? a ( x ? c) 2 ? y 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2
x2 a2

? b 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

y2

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M F2 x

F

O
1

F

2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? ? 1 2 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

问题
1、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
椭圆方程中X2和Y2前面的系数都为正数且不相等, 双曲线方程中X2和Y2前面的系数为一正一负

2、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正, 则在哪一个轴上

2

2

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

例题
例1:已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线 的标准方程.
解:由题意知c=5,2a=6即a=3,
则b2=c2-a2=25- 2 9=16 2 双曲线方程为

变题1:将条件改为双曲线上一点P到F1,F2的距离 的差等于6,如何?
2 2 x y 解: ? ? 1 (x>0) 25 16

x y ? ?1 25 16

变题2:将条件改为双曲线上一点P到F1,F2的距离 的差的绝对值等于10,如何?
解:为y=0(x<-5或x>5)

练习
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.a=4,b=3,焦点在x轴上;

2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
3.a=4,过点(1,
答案:1、 2、 3、

4 10 3

)

x2 y 2 ? ?1 16 9
y2 x 2 ? ?1 20 16

y2 x2 ? ?1 16 9

练习
x2 y2 如果方程 2 ? m ? m ? 1 ? 1 表示双曲线,求m的

取值范围.
解:应有(2-m)(m+1)>0 即(m-2)(m+1)<0 解得-1<m<2 上述方程可否表示焦点在y轴的双曲线?
解:若焦点在y轴上,应有 m+1<0且2-m<0 解得m<-1且m>2,故m无解

小结
定义

双曲线定义及标准方程
| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象

F1

o

F2

x
F1

x

方程 焦点
a.b.c 的关 系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

c ?a ?b
2

双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 定义 方程 圆

双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0) F(0,±c)

F(±c,0) F(0,±c) a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a.b.c 的关系 a>b>0,a2=b2+c2


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