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高中数学必修2《立体几何初步》单元测试


高中数学必修 2《立体几何初步》单元测试一
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分)
1. 如图是长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由_ _ 块木块堆成。 2、 给出下列命题: 直线 a 与平面 ? 不平行, a 与平面 ? (1) 则 内的所有直线都不平行; (2)直线 a 与平面 ? 不垂直,则 a 主 与平面 ? 内的所有直线都不垂直; (3

)异面直线 a、b 不垂直, 视 则过 a 的任何平面与 b 都不垂直; (4)若直线 a 和 b 共面,直 图 线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面 其中错误命题的个数为 3.已知 a、b 是直线, ? 、 ? 、 ? 是平面,给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,a ? ? ,则 a∥ ? ③若 ? ⊥ ? 、 ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ?

左 视 图

俯 视 图

第 1 题图

②若 a、b 与 ? 所成角相等,则 a∥b ④若 a⊥ ? , a⊥ ? ,则 ? ∥ ?

其中正确的命题的序号是________________。 4.设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号 ... (写出所有真命题的序号) .

5、一个体积为 8cm3 的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是

6、已知二面角 ? —l— ? 为 60° ,若平面 ? 内有一点 A 到平面 ? 的距离为 3 ,那么 A 在 平面 ? 内的射影 B 到平面 ? 的距离为 . D1 C1 7、如图长方体中,AB=AD=2 3 ,CC1= 2 ,则二面角 C1—BD—C 的大小为 A 8、 以等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AD 为折痕, 将△ABC 折成二面角 C ? AD ? B 等于 .时, 在折成的图形 中,△ABC 为等边三角形。 9、如图所示,E、F 分别是正方形 SD1DD2 的边 D1D、 2 的中点, 、DD 沿 SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使 D1,D,D2 重合,记作 D。 给出下列位置关系:①SD⊥面 DEF; ②SE⊥面 DEF; ③DF⊥SE; ④EF⊥面 SED,其中成立的有: .
1

A1 D

B1 C B

10.如图,ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体, 下面结论错误的序号 .. 是 . ① BD ∥平面 CB1 D1 ; ② AC1 ? BD ; ③ AC1 ⊥平面 CB1 D1 ; ④ 异面直线 AD 与 CB1 所成角为 60
0

11.边长为 2 的正方形 ABCD 在平面α 内的射影是 EFCD, 如果 AB 与平面α 的距离为 2 ,则 AC 与平面α 所成角的大小是 。

12.一个圆柱和一个圆锥的母线相等,底面半径也相等,则侧面积之比是_________. 13.在侧棱长为 1 的正三棱锥 P-ABC 中,∠APB=∠BPC=∠CPA=40°过点 A 作截面 AEF 与 PB、 PC 侧棱分别交于 E、F 两点,则截面的周长最小值为 . 14.α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线, 给出四个论断: ① m ? n ②α ?β ③ m ?β ④ n ?α 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为 正确的一个命题:______________________________________.

二、解答题(本大题共 5 题,合计 70 分,请在题后的空白处,写出相应的解答过程)
15、如图,在四边形 ABCD 中, , , , ,

AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

16.如图,已知 ?BAC 在平面 ? 内, P ?? , ?PAB ? ?PAC , 求证:点 P 在平面 ? 上的射影在 ?BAC 的平分线上.

P

E ? A F O

B C

2

17.如图, 在直三棱柱 ABC

? A1B1C1 中,E,F 分别是 A1B,AC 的中点, D 在 B1C1 上, 点 1

A1D ? B1C
求证: (1) EF ∥ 平面ABC (2) 平面A FD ? 平面BB1C1C 1 F B1 A1 D C1

E A C

B

18、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点.

D1
求证: (1)C1O∥面 AB1D1 ;

C1 B1

A1
(2 )面 BDC1∥面 AB1D1 .

D O A B

C

3

19. (本题满分 16 分)如图, E 、 F 分别为直角三角形 ABC 的直角边 AC 和斜 边 AB 的中点, EF 将 ?AEF 折起到 ?A ' EF 的位置, 沿 连结 A ' B 、A ' C ,P 为 A ' C 的中点. (1)求证: EP // 平面 A ' FB ; (2)求证:平面 A ' EC ? 平面 A ' BC ; (3)求证: AA ' ? 平面 A ' BC .
A' P E A C

F

B

20.如图,已知 ABCD ? A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体, 点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE ? FC1 ? 1 , (1)求证: E , B, F , D1 四点共面; (2)若点 G 在 BC 上, BG ?

D1

A1 B1

C1

F D
C G

E M

2 ,点 M 在 BB1 上, 3

H

A

GM ? BF ,垂足为 H ,求证: EM ? 面 BCC1 B1 ;

B

(3)用 ? 表示截面 EBFD1 和面 BCC1 B1 所成锐二面角大小,求 tan ? 。

4

高中数学必修 2《立体几何初步》单元测试一参考答案
一、填空题 1.4 2.3 3. (4) (1) 4. (2) (1) 5. 12? cm2 6.
0
w.w.w. k.s .

3 2

7.30 8. 90° 9.①与③ 10. ④ 11. 30? 12. 2:1 13.

3

14.若②③④则① 二、解答题

8? 148? = 3 3 16. 证明:作 PO ? ? , PE ? AB, PF ? AC ,垂足分别为 O, E , F ,连结 OE, OF , OA , P ? PE ? AB, PF ? AC ? ? Rt ?PAE ? Rt ?PAF ? AE ? AF , ∵ ??PAE ? ?PAF ? PA ? PA ? B E ? PO ? ? ?? ? AB ? PO ,又∵ AB ? PE ,∴ AB ? 平面 PEO , A O ? AB ? ? F ? C ∴ AB ? OE .同理 AC ? OF . 在 Rt ?AOE 和 Rt ?AOF , AE ? AF , OA ? OA , ∴ Rt ?AOE ? Rt ?AOF ,∴ ?EAO ? ?FAO , 即点 P 在平面 ? 上的射影在 ?BAC 的平分线上.
15. S=60 ? +4 2? ;V=52 ? 17. 证 明 : 1 ) 因 为 (

E , F 分 别 是 A1B,AC 1

的中点,所以

, EF // BC 又

EF ? 面ABC , BC ? 面ABC ,所以 EF ∥ 平面ABC ;
(2)因为直三棱柱

ABC ? A1B1C1 , 所 以 B B ? 面 A B C, BB1 ? A1D , 又 1 1 1 1

A1D ? B1C

, 所 以

A1 D 面B ?

1

B 1 , C A1D ? 面A1FD C 又

, 所 以

5

平面A1FD ? 平面BB1C1C 。
18. 证明: (1)连结 A1C1 ,设 AC1 ? B1D1 ? O1 1 连结 AO1 ,? ABCD ? A1 B1C1 D1 是正方体

? A1 ACC1 是平行四边形

? A1C1 ? AC 且 A1C1 ? AC
又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,? O1C1 ? AO 且 O1C1 ? AO

? AOC1O1 是平行四边形

?C1O ? AO1 , AO1 ? 面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1

? C1O ? 面 AB1D1
(2)证明:

AB // DC // D ' C ' ? ? ? ABC ' D ' 是平行四边形 AB ? DC ? D ' C '? BC '// 平面AB ' D ' ? ? BC '// AD ' ? ? ? ? BC ' ? 平面AB ' D ' ? 同理,C ' D // 平面AB ' D '? ? BC '? C ' D ? C ' AD ' ? 平面AB ' D '? ? ?

? 平面 C ' DB // 平面 AB ' D ' .
19. (本小题满分 14 分) (1)证明:?E、P 分别为 AC、A′C 的中点, ? EP∥A′A,又 A′A ? 平面 AA′B, EP ? 平面 AA′B ∴即 EP∥平面 A′FB A (2) 证明:∵BC⊥AC,EF⊥A′E,EF∥BC ∴BC⊥A′E,∴BC⊥平面 A′EC BC ? 平面 A′BC ∴平面 A′BC⊥平面 A′EC (3)证明: 在△A′EC 中, 为 A′C 的中点, P ∴EP⊥A′C, 在△A′AC 中,EP∥A′A,∴A′A⊥A′C 由(2)知:BC⊥平面 A′EC 又 A′A ? 平面 A′EC ∴BC⊥AA′ ∴A′A⊥平面 A′BC
A' P E C

F

B

20. 解: (1)证明:在 DD 1 上取一点 N 使得 DN=1,连接 CN,EN,显然四边形 CFD 1 N 是 平行四边形,所以 D 1 F//CN,同理四边形 DNEA 是平行四边形,所以 EN//AD,且 EN=AD, 又
6

BC//AD,且 AD=BC,所以 EN//BC,EN=BC,所以四边形 CNEB 是平行四边形,所以 CN//BE,所以 D 1 F//BE,所以 E , B, F , D1 四点共面。

2 MB BG MB 3 (2)因为 GM ? BF 所以 ?BCF ∽ ? MBG,所以 ,即 ? ? ,所以 MB=1, BC CF 3 2
因为 AE=1,所以四边形 ABME 是矩形,所以 EM⊥BB 1 又平面 ABB 1 A 1 ⊥平面 BCC 1 B 1 ,且 EM 在平面 ABB 1 A 1 内,所以 EM ? 面 BCC1 B1 (3) EM ? 面 BCC1 B1 ,所以 EM ? BF, EM ? MH, GM ? BF ,所以∠MHE 就是截 面 EBFD1 和 面 BCC1 B1 所 成 锐 二 面 角 的 平 面 角 , ∠ EMH= 90? , 所 以 tan ? ?
2 2

ME , MH
3 13


ME=AB=3,?BCF ∽ ? MHB, 所以 3: MH=BF: BF= 2 ? 3 ? 13 , 1, 所以 MH= 所以 tan ? ?

ME = 13 MH

7


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