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2016年陕西省高中数学竞赛试题及参考答案


2016 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
(4 月 24 日上午 8:30—11:00)

第一试
一、选择题(每小题 6 分,共 48 分.给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

?, 10}, A 是 M 的子集,且 A 中各元素的和为 8 ,则满足条件的 1、已知集合 M ={1,2,3,

集 A 共有() A. 8 个 B. 7 个 C. 6 个 D. 5 个

? 3x ? y ? 0 ? ? 2、在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 表示的平面区域的面积是() ? y?0 ? ?
A.

3 B. 3 C. 2 D. 2 3 2

3、设 a, b , c 是同一平面内的三个单位向量,且 a ? b ,则 (c ? a) ? (c ? b ) 的最大值是() A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C.

? ? ?

?

?

? ?

? ?

2 ? 1 D. 1

4、从 1, 2,?, 20 这 20 个数中,任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成等差数列的概率为() A.

1 1 3 3 B. C. D. 5 10 19 38

2 5、 A, B 是抛物线 y ? 3 ? x 上关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点,则 | AB | 等于()

A. 3

B. 4 C. 3 2 D. 4 2

6、如图,在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,G 为 ?BCD 的重心, M 是线段 AG 的中点, 则三棱锥 M ? BCD 的外接球的表面积为() A A.

?

B.

3 ? C. 2
3

6 ? D. 4
2

6 ? 8
B

M D G C

7、设函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ( a, b, c 均为非零整数). 若 f (a) ? a , f (b) ? b ,则 c 的值是()
3 3

A. ?16 B. ?4 C. 4 D. 16 8、 设非负实数 a, b, c 满足 ab ? bc ? ca ? a ? b ? c ? 0 , 则 a b ?b c A. 2 B. 3 C.

c a ?

的最小值为 ()

3 D. 2 2

二、填空题(每小题 8 分,共 32 分) 9、 在数列 {an } 中, 且任意连续三项的和都是 15 , 则 a2016 ? _______________. a4 ? 1, a11 ? 9 , 10、设 m, n 均为正整数,且满足 24m ? n ,则 m 的最小值是_______________.
4

11、 设 f ( x)、g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 且 fx ( ) gx + () 2 ? 不等式 af ( x)+g (2 x) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是___________.

x

, 若对 x ? [1, 2] ,

12、 设 x? R, 则函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 3x ? 2 | ? | 4 x ? 3| ? | 5x ? 4 | 的最小值为_________.

第二试
x sin
一、 (本题满分 20 分)设 x, y 均为非零实数,且满足

5 ? tan 9? . ? ? 20 x cos ? y sin 5 5 5

?

? y cos

?

(1)求

y y 的值; (2)在 ?ABC 中,若 tan C ? ,求 sin 2 A ? 2 cos B 的最大值. x x

二、 (本题满分 20 分) 已知直线 l : y ? 3x ? 4 , 动圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 (1 ? r ? 2) , 菱形 ABCD 的一个内角为 60 0 , 顶点 A, B 在直线 l 上, 顶点 C , D 在圆 O 上, 当 r 变化时, 求菱形 ABCD 的面积 S 的取值范围.

三、 (本题满分 20 分)如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 P, Q 两点,圆 O1 的弦 PA 与圆 O2 相切, 圆 O2 的弦 PB 与圆 O1 相切, 直线 PQ 与 ?PAB 的外接圆 O 交于另一点 R . 求证: PQ ? QR .

P

O1?
A

?O 2

Q

?O
B

R

四、 (本题满分 30 分)设函数 f ( x) ? ln x ? a( ? 1), a ? R ,且 f ( x ) 的最小值为 0 , (1)求 ( 2 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) ? 2(n ? N? ) , 设 a 的值;

1 x

Sn ? ?a1 ? ? ?a2 ? ? ?a3 ? ??? ?an ? ,其中 [ m ] 表示不超过 m 的最大整数.求 Sn .

五、 (本题满分 30 分)设 a, b, c 为正实数,且满足 abc ? 1 ,对任意整数 n ? 2 ,证明:

n

a b c 3 ?n ?n ?n . b?c c?a a?b 2

参考答案: 第一试 一、CBADCBDA 二、 (9)5; (10)54; (11) [ ? 第 8 题提示: 法一:

17 , ?? ) ; (12)1. 6

法二:

第 12 题提示: f ( x) ? 2 x ? 当x?

1 2 3 4 ? 3 x ? ? 4 x ? ? 5 x ? ,根据绝对值的几何意义, 2 3 4 5

3 时, f ( x ) 最小. 4

第二试

y 9? ? tan ? tan 9 ? y 5 x ? tan 20 5 ? tan ? ? 1 . 一、 (1)依题意有 ,? ? y ? 20 x 1 ? tan 9? ? tan ? 4 1 ? tan x 5 20 5 ? 3? (2)? tan C ? 1,? C ? , A ? B ? , 4 4 tan

?

?

? sin 2 A ? 2cos B ? sin(
1 3 ? ?2(cos B ? ) 2 ? , 2 2
当 cos B ?

3? ? 2 B) ? 2cos B ? ? cos 2 B ? 2cos B ? ?2cos 2 B ? 2cos B ? 1 2

3 1 ? ,即 B ? 时, sin 2 A ? 2 cos B 的最大值为 . 2 2 3
b?4 , 2

二、设直线 CD 方程方程为 y ? 3x ? b ,则直线 AB 与 CD 间距离为

b?4 b?4 ? ?ABC ? 60? ,? BC ? 2 ? ? , sin 60 3

? 原点到直线 CD 的距离为

b b 2 2 2 2 ,? CD ? 2 r ? ( ) ? 4r ? b , 2 2

由 BC ? CD ,得

b?4 3

? 4r 2 ? b2 ,即 3r 2 ? b2 ? 2b ? 4 .

?1 ? r ? 2 ,?3 ? b2 ? 2b ? 4 ? 12 ,解得 ?2 ? b ? 4 且 b ? 1 .

?S ?

b?4 b?4 3 ? ? (b ? 4)2 , 2 6 3
3 3. 2
(1)

? S 的取值范围为 0 ? S ? 6 3 且 S ?
三、提示:由 ?APQ ? ?BPQ ,得

AQ AP ? , PQ PB

由 ?ARQ ? ?ABP ,得

AQ AP AQ QR ? ? ,即 , (2) AP PB QR PB
AQ AQ ? ,? PQ ? QR . PQ QR

由(1) 、 (2)两式,得

四、 (1) a ? 1 . (2) an ?1 ? ln an ?

1 ? 1, an
1 ? 1? x , x

? ln x ? x ? 1 ,?? ln x ? 1 ? x ,即 ln

? 当 n ? 2 时, an ? 1 ?

1 1 ? ?1 ? 2 , an?1 an?1

下面用数学归纳法证明:当 n ? 2 时, an ? 3 .

1 ? 1 在 (2,3) 上为单调增函数, x 1 4 4 ? ak ?1 ? ln 3 ? ? 1 ? ln 3 ? ,易证 ln 3 ? ? 3 ,?ak ?1 ? 3 . 3 3 3
设 ak ? 3 ,? f ( x) ? ln x ?

? 当 n ? 2 时, [an ] ? 2 , Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2n ?1 ,

? S1 ? 1 ,? 当 n ? N? 时, Sn ? 2n ? 1 .
五、法一:

法二:


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