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大一上学期高数试题


高数期末考试 一、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
已知 cos x 是 f ( x ) 的一个原函数 , x . 则? f ( x ) ? cos x dx ? x

1. 2.

n??
1 2

lim

?
n

(c

os 2

?
n

? cos 2
dx ?

2? n ?1 ? ? ? cos 2 ?) ? n n

.

3. . 二、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)
1? x ,? ( x ) ? 3 ? 33 x,则当x ? 1时(   ) 1? x 4. . (A) ? ( x)与? ( x) 是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B) ? ( x)与? ( x) 是等价无穷小; (C) ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的无穷小; (D) ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的 设? ( x ) ?
无穷小. 5. 设f ( x ) ? cos x( x ? sin x ), 则在x ? 0处有( (A) f ?(0) ? 2 (B) f ?(0) ? 1 (C) f ?(0) ? 0
  ). (D) f ( x ) 不可导.

1 - 2

?

x 2 arcsin x ? 1 1 ? x2

6. 若

F ( x) ? ? (2t ? x) f (t )dt
0

x

, 其 中 f ( x ) 在 区 间 上 (?1,1) 二 阶 可 导 且

f ?( x ) ? 0 ,则(

). (A)函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极大值; (B)函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极小值; (C)函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值,但点 (0, F (0)) 为曲线 y ? F ( x) 的拐点; (D) 函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值, 点 (0, F (0)) 也不是曲线 y ? F ( x) 的拐点。

7.

设f ( x )是连续函数,且 f ( x ) ? x ? 2? f (t )dt , 则 f ( x ) ? (
0

1

)

x2 (A) 2

x2 ?2 ( B) 2 (C) x ? 1

(D) x ? 2 .

8. 三、解答题(本大题有 5 小题,每小题 8 分,共 40 分) x? y 9. 设函数 y ? y( x ) 由方程 e ? sin( xy ) ? 1 确定,求 y?( x ) 以及 y?(0) .
1 ? x7 求? dx. x (1 ? x 7 ) 10.

?x ? 1 ? xe ,  x ? 0 设f ( x ) ? ?  求 ? f ( x )dx . ?3 2 ? 2 x ? x , 0 ? x ? 1 ? 11.

0 12. 设函数 f ( x ) 连续, , 且 x ?0 g?( x ) 并讨论 g?( x ) 在 x ? 0 处的连续性.

g ( x ) ? ? f ( xt )dt

1

lim

f ( x) ?A x ,A 为常数. 求

13. 求微分方程 xy? ? 2 y ? x ln x 满足

y(1) ? ?

1 9 的解.

四、 解答题(本大题 10 分) 14. 已知上半平面内一曲线 y ? y( x) ( x ? 0) ,过点 (0,1) ,且曲线上任一点
M ( x 0 , y0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x ? x0 所围成 面积的 2 倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题 10 分)

15. 过坐标原点作曲线 y ? ln x 的切线,该切线与曲线 y ? ln x 及 x 轴围
成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A;(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 8 分)

16. 设 函 数 f ( x ) 在 ? 0,1? 上 连 续 且 单 调 递 减 , 证 明 对 任 意 的 q ?[0, 1] ,

?
0

q

f ( x ) d x ? q ? f ( x )dx
0

1

.

17. 设函数 f ( x ) 在 ?0, ? ? 上连续, 且

?
0

?

f ( x) d x ? 0

,0

?

?

f ( x ) cos x dx ? 0
.

证明: 在 ?0, ? ? 内至少存在两个不同的点 ? 1 , ? 2 ,使 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0.(提

F ( x) ?
示:设

?
0

x

f ( x )dx


解答
一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) ? ? 1 cos x 2  ( ) ?c 6 e 3 2 . 8. 5. . 6. 2 x .7. 三、解答题(本大题有 5 小题,每小题 8 分,共 40 分) 9. 解:方程两边求导 ?? e x ? y ( 1? y? ? ) c oxy s ( xy) (y ? ) 0

.

e x ? y ? y cos( xy ) e x ? y ? x cos( xy ) x ? 0, y ? 0 , y?(0) ? ?1 y ?( x ) ? ?
7 7 x 6dx ? du 10. 解: u ? x    1 (1 ? u) 1 1 2 原式 ? ? du ? ? ( ? )du 7 u(1 ? u) 7 u u?1 1 ? (ln | u | ?2ln | u ? 1 |) ? c 7 1 2 ? ln | x 7 | ? ln | 1 ? x 7 | ? C 7 7

11.

解: ?

1

?3 0

f ( x )dx ? ? xe ? x dx ? ?
?3 1 0

0

1

0

2 x ? x 2 dx

? ? xd (?e ? x ) ? ?
?3
0 ?3

1 ? ( x ? 1)2 dx
0 ? 2

?x ?x 2 ?? (令x ? 1 ? sin ? ) ? ? xe ? e ? ? ? ? ? cos ? d?  

4 12. 解:由 f (0) ? 0 ,知 g(0) ? 0 。

?

?

? 2e 3 ? 1

g ( x ) ? ? f ( xt )dt ?
0
x

1

xt ? u

? f ( u)du
0

x

x

(x ? 0 )

g ?( x ) ?

xf ( x ) ? ? f ( u)du x
x 0 0 2

( x ? 0)

g?(0) ? lim
x ?0

? f (u)du
x
2

? lim
x ?0 x

f ( x) A ? 2x 2 ? A? A A ? 2 2 , g?( x ) 在 x ? 0 处连续。

lim g ?( x ) ? lim
x ?0 x ?0

xf ( x ) ? ? f ( u)du x
0 2

dy 2 ? y ? ln x 13. 解: dx x

y?e
?

?

? x dx

2

(? e

? x dx

2

ln xdx ? C )

1 1 x ln x ? x ? Cx ?2 3 9 1 1 1 y( 1 ) ?? C , ? 0 y ? x ln x ? x 3 9 9 , 四、 解答题(本大题 10 分)

14. 解:由已知且

, 将此方程关于 x 求导得 y ?? ? 2 y ? y ?
0
2 特征方程: r ? r ? 2 ? 0

y? ? 2 ? y d x ? y

x

解出特征根: r1 ? ?1, r2 ? 2.

其通解为

y ? C1e ? x ? C 2 e 2 x

代入初始条件 y(0) ? y ?(0) ? 1 ,得 故所求曲线方程为: 五、解答题(本大题 10 分)

C1 ?

2 1 , C2 ? 3 3

y?

2 ?x 1 2x e ? e 3 3

1 y ? ln x 0 ? ( x ? x0 ) ( x , ln x ) x 0 0 0 15. 解: (1) 根据题意, 先设切点为 , 切线方程: 1 y ? x e 由于切线过原点,解出 x 0 ? e ,从而切线方程为:

则平面图形面积

A ? ? (e y ? ey)dy ?
0

1

1 e ?1 2

(2)三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1,则 曲线 y ? ln x 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积 为 V2
V 2 ? ? ? (e ? e y ) 2 dy
0 1

V1 ?

1 ? e2 3

D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 12 分)

V ? V1 ? V2 ?
q

?
6

(5e 2 ? 12e ? 3)

16. 证明: 0
q

?

q

f ( x) d x ? q ? f ( x)dx ? ? f ( x) d x ? q ( ? f ( x) d x ? ? f ( x)dx)
0
0 0 q 1

1

q

1

? (1 ? q ) ? f ( x) d x ? q ? f ( x)dx
0 q

?1?[0, q ]?2 ?[ q ,1]

?

q(1 ? q) f (?1 ) ? q(1 ? q) f (?2 )
1

f (?1 ) ? f (?2 )

?

0

故有:

?
0

q

f ( x ) d x ? q ? f ( x )dx
0
x

证毕。

17.
F ( x ) ? ? f ( t )dt , 0 ? x ? ? 0 证: 构造辅助函数: 。 其满足在 [0, ? ] 上连续, 在 (0, ? ) 上可导。 F ?( x ) ? f ( x ) ,且 F (0) ? F (? ) ? 0

0?

由题设,有
?

?
0

?

f ( x ) cos xdx ? ? cos xdF( x ) ? F ( x ) cos x | ? ? sin x ? F ( x )dx
0 0 0

?

?

?



有0 ,由积分中值定理,存在 ? ? (0, ? ) ,使 F (? ) sin? ? 0 即 F (? ) ? 0 综上可知 F (0) ? F (? ) ? F (? ) ? 0, ? ? (0, ? ) . 在区间 [0, ? ] , [? , ? ] 上分别应用罗 尔定理,知存在 ? 1 ? (0, ? ) 和 ? 2 ? (? , ? ) , 使 F ?(? 1 ) ? 0 及 F ?(? 2 ) ? 0 , 即 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0 .

? F ( x ) sin xdx ? 0


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