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迎初赛苦练本领系列训练天天练057答案


迎初赛苦练本领系列训练天天练 057 答案
(2013 年 4 月 16 日) 姓名 ____________ 得分 ____________ 一、填空题( 4?10' ? 40' ) 337.对正整数 k ,方程 (a 2 ? k )(b2 ? k ) ? c 2 ? k 的整数解组 (a, b, c) 有 ________ 个. 解:取 a ? b

? 1 , c ? ab ? k ; 验证:左边 ? (a 2 ? k )(b2 ? k ) ? a 2b2 ? k (a 2 ? b2 ) ? k 2 ; 因为 a2 ? b2 ? (b ? 1)2 ? b2 ? 2b(b ? 1) ? 1 ? 2ab ? 1 ; 所以, (a 2 ? k )(b2 ? k ) ? a 2b2 ? k (2ab ? 1) ? k 2 ? (ab ? k )2 ? k ? c 2 ? k ? 右边,满足等式; 因此,由 b 的任意性知,方程有无数个解. (方法不唯一,只要能说明清楚即可;比如取 k ? 1 ,求出通解,有无数个; 本题采用的是构造法,有一定难度;关键是不定方程求通解的思想. ) 338.已知 A ? 172012n ? 4 ?174n ? 7 ?197 n (n ? N ) 可以表示成 k (k ? N , k ? 1) 个连续整数的乘积, 则 n ? k ? ________ 解:若 k ? 4 ,则 8 | A ; 但是 A ? 172012n ? 4 ?174n ? 7 ?197 n ? 1 ? 4 ? 37 n ? 5 ? 3n ? 0(mod8) ,矛盾; 若 k ? 3 ,设 A ? (m ? 1)m(m ? 1) ? m(m2 ? 1) (m ? Z ) ; 但是 A ? 22012n ? 24n ? 2 ? (?1)7 n ? 2 ? (?1)n ? ?2(mod 5) ,这与 m(m2 ? 1) ? 0 或 ?1(mod 5) 矛盾; 若 k ? 2 ,设 A ? m(m ? 1) ,则 (2m ? 1)2 ? 4 A ? 1 ; 但是 (2 ?171006n )2 ? 4 A ? 1 ? (2 ?171006n ? 1)2 ,矛盾; 所以,只能 n ? 0 ,此时有: A ? 12 ? 3? 4 满足条件; 从而, (n, k ) ? (0, 2) ,故 n ? k ? 2 . (本题真正地解答,却是很困难的;若是特殊值猜测,倒是很可能碰对,竞赛题也考验各人 的胆识诶,或许说胆大的人充满“运气” 敢为人所不敢为者,常胜也!! , !) 339.一名摄影师在一次聚会中给八个人拍了一些照片,任意两个人(有 28 种可能的组合)恰出现 在一张照片上,每张照片可以是两人合影,也可以是三个合影;则摄影师至少要拍 ________ 张照片. 解:设三人合影 x 张,两人合影 y 张,则 3x ? y ? 28 ;
1

从而,当 x 最大时,所拍照片总数最小;当 x ? 8 时,由

3x ? 3 可知, 8

有一人 A 出现 4 次,在 A 出现的 4 张三人合影中有其他人共八次, 所以必有一人 B 与 A 在两张三人合影中同时出现,矛盾; (抽屉原理) 当 x ? 8 时, y ? 4 ,可以办到!! ! 将八个人编号为:0,1,2,3,4,5,6,7;所拍的 12 张照片为: { 012,034,045,713,745,726,146,235,07,15,24,36 }. (此类试题好下手却比较粘手,故通常放到最后完成,否则后面的会的题没有时间做! ) 340.如右图所示,给定由

n(n ? 1) 个点组成的正三角形点阵, 2

在其中任意取三个点,以这三点为顶点构成的正三角形 的概率是 ________ 解:设正三角形点阵的凸包为正 ?ABC ,边长为 n ?1; 首先,计算正 ?DEF 的个数,其中 D、E、F 为上述正三角形点阵内的点; 如图,将 AB、AC 分别延长到点 B '、C ' , 使得 BB ' ? CC ' ? 1 ;将 BB ' 分成 n 等份; 对正三角形点阵内任一点 X ,过点 X 作

AB、AC 的平行线与 B ' C ' 的相交,交点
分别记为 X c、X b ; 下面讨论两种情形: (1)正 ?DEF 与正 ?ABC 对应边平行,
3 则正 ?DEF 与边 B ' C ' 上有序三点组 ( Ec , Fc , Fb ) 一一对应,有 Cn ?1 个正三角形;

(2)正 ?D ' E ' F ' 不与正 ?ABC 对应边平行,作正 ?D ' E ' F ' 的外接正 ?DEF ,使得正 ?DEF 与正 ?ABC 的对应边平行,则正 ?D ' E ' F ' 与边 B ' C ' 上有序四点组 ( Ec , D 'c , D 'b , Fb ) 一一 对应,有 Cn4?1 个正三角形;
3 4 4 综合上述,共有 Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? 2 个正三角形,故所求概率为:
4 Cn ? 2 2 ? 2 . 3 C n ( n ?1) n ? n ? 4 2

( “一一对应法” 在计数问题里是常用的方法,比较巧妙,十分考验人的思维想像力) , 二、解答题( 2? 30' ? 60' ) 341.已知抛物线 y 2 ? 4 x 上的动点 P ,及焦点 F (1,0) ,求 ?OPF 的内切圆半径 r 的最大值.

2

解:由对称性,不妨设 P(

y2 , y) ( y ? 0) , 4

易知: S?OPF ?

y y 2 ? 16 y y2 ,且 OF ? 1 , PF ? ; ? 1 , OP ? 4 2 4

所以,

1 OF ? PF ? OP 2 y ? ? ? ? r 2S?OPF y 4

y 2 ? 16 ? f ( y) ; 4

1 8 则有: f ?( y) ? (1 ? 2 ? 4 y

1 1 8 ) ? (1 ? t ? ) (t ? 2 ? 0) ; 4 y 8 1 ? 2t 1? 2? 2 y
4 3 3 ,此时, y ? ; 3 2

1

由 1? t ?

1 1 ? 2t

? 0 ,解得: t ?

从而, f ?(

4 3 ) ? 0 ,且 f ?( y ) 在 (0, ? ?) 上单调递增; 3 4 3 2 3 3 3 时,取最小值 ,所以, rmax ? . 9 3 2

故 f ( y) 在 y ?

342.如图,有两种类型的纸片(可翻转) :

求证:当 n ? 2(mod 4) 时, n ? n 的纸板不能分割成若干个Ⅰ型、Ⅱ型的纸片. 证明: 【反证法】 假设 n ? n 纸板可以分割成 u 个Ⅰ型、 v 个Ⅱ型纸片; 将 n ? n 纸板的各方格按右图方式从左上向右下标号; 接下来,将填有 1、2、3、4 的单元依次记为: 1、2、3、4;则每个Ⅰ型纸片包含 1、2、3、4 各 1 个, 每个Ⅱ型纸片包含 1、2、3、4 各一个,或包含 1、2,或 2、3,或 3、4,或 4、1 各 2 个; 设上述Ⅱ型纸片各有 k、l、m、s、t 个,则所有纸片共包含: 1 有 u ? k ? 2l ? 2t 个,2 有 u ? k ? 2l ? 2m 个,3 有 u ? k ? 2m ? 2 s 个,4 有 u ? k ? 2 s ? 2t 个; 其奇偶性相同; 但是当 n ? 2(mod 4) 时, n ? n 纸板上 1、3 各有 其奇偶性不同,因此产生矛盾; 故不能分割成若干个Ⅰ型和Ⅱ型,原题得证.

n2 n2 n2 个,2 有 ? 1 个,4 有 ? 1 个; 4 4 4

3

(本题属于奇偶分析题,构思也是很精巧的,此类技巧需要多积累,才能有收获的)

4


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