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2012-2013学年高二数学第一次月考试题新人教A版


沂水二中 2012-2013 学年高二第一次月考数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1. 若 a , b , c 成等比数列,则关于 x 的方程 ax 2 A.必有两个不等实根 C.必无实根
? bx ?

c ? 0

(

)

B.必有两个相等实根 D.以上三种情况均有可能

2. 在 ? A B C 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 依次成 等差数列,且 a ? 1, b ? A.
3 2

3 , 则 S ? A B C =(

) C.
2

B.

3

D.2 等于( D. 63 )

3.设 S n 是等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,已知 a 2 A.13 B.35

? 3 , a 6 ? 1 1 ,则 S 7

C.49

4.在△ABC 中,若 a ? 7 , b ? 3 , c ? 8 ,则其面积等于( A. 12
5.
1 1? 2 ? 1 2?3



B.
?

21 2

C. 2 8
?? ? 1 n ( n ? 1)
n n ?1

D. 6
?

3

1 3? 4

( C.
n ?1 n? 2

) D.
n ?1 n

A.

n ?1 n

B.

2 6. 等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a m ?1 ? a m ? 1 ? a m

? 0 , S 2 m ?1 ? 38

,则 m ?

A. 9 7.在△ABC 中, ? C

B. 10
? 90

C. 20
? A ? 45

D. 38 )

0

,00

0

,则下列各式中正确的是(

A. sin

A ? cos A

B. sin B

? cos A

C. sin A ? cos B

D. sin B ? cos B

1

8. 已知等比数列 ? a n ? 中,a 3 a1 1 等于 A. 16 9. 在 ? ABC 中,已知 B A
?
2

? 4 a 7 ,数列 ? b n ? 是等差数列,且 b7 ? a 7 ,则 b 5 ? b 9

B. 8
? 60
0

C. 4 且b
3? 4

D. 2 )

?

3

,则 ? ABC 外接圆的面积是( C
?

B

D )

2?

10. 在 ? A B C 中,若 co s A co s B A.等边三角形

? sin

2

C 2

,则 ? A B C 是 ( C.锐角三角形
1 2

B.等腰三角形

D.直角三角形

11.各项为正数的等比数列 ? a n ? 的公比 q ? 1 ,且 a 2 ,
a3 ? a4 a4 ? a5

a 3 , a1 成等差数列,则

的值是
5 ?1 2 5 ?1 2
? log

(
1? 2
n ?1
2

)
5 ?1 2

A.

B.

C.

5

D.
( n ? N *)

5 ?1 2



12. (理)已知数列 { a n } 的通项公式为 a n 则使 S n
? ? 5 成立的自然数

n?2

, 设其前 n 项和为 Sn, ( )

n C.有最大值 32
n

A.有最大值 63 B.有最小值 63

D.有最小值 32
2 2 2

(文)已知等比数列 { a n }的前 n 项和 S n ( ) A、 ( 2
n

? 2 ? 1 ,则 a 1 ? a 2 ? ? ? a n

等于

? 1)

2

n B、 ( 4 ? 1)

1

3

C、 4 ? 1
n

n D、 ( 2 ? 1)

1

3

2

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把各题答案填写在答题纸相 应位置. ) 13.设 a 1 ? 2 ,数列 {1 ? a n } 是以 3 为公比的等比数列,则 a 4 的值是 14. 已知两个等差数列 ? a n ? 、 ? b n ? 的前 n 项和分别为 S n 、 T n . 且 S n
Tn ? 7n ? 1 4n ? 27 (n ? N ? )





a1 ? a 5 2 b3

?

.

15.数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ? 3 n ? 2 n ? 1, 则它的通项公式是__________;

考号:

16. 在 ? A B C 中, A , B , C 的对边分别为 a , b , c , a , b , c 成等差数列,B ? 30 0 ,? A B C 角 若 的面积为
3 2

,则 b ?

三、解答题: 17. (本小题满分 12 分)设等差数列 ? a n ? 满足 a 3 ? 5 , a1 0 ? ? 9 . (1)求 ? a n ? 的通项公式 (2)求 ? a n ? 的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大时 n 的值.

班级:

姓名:

3

19. (本小题满分 12 分)在 △ A B C 中, co s B ? ? (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ A B C 的面积 S △ A B C ?
33 2

5 13

, co s C ?

4 5



,求 B C 的长.

4

5

20. 已知等差数列 { a n } 前三项的和为 ? 3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a 3 , a 1 成等比数列,求数列 {| a n |} 的前 n 项和.

21.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射 高度:在 C 处进行该仪器的垂直弹射,观察点 A、B 两地相距 100 米,∠BAC=60°, 2 在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒.A 地测得该仪器在 C 处时的俯角为 15°,A 17 地测得最高点 H 的仰角为 30°,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播速度为 340 米/秒)

6

22.(本小题满分 12 分) 已知 数列 ? b n ? 中, b1 ? 1 , 且点 ? b n ? 1 , b n ? 在直 线 y ? x ? 1 上. 数列 ? a n ? 中, a1 ? 1 ,
a n ?1 ? 2 a n ? 3 ,

(Ⅰ) 求数列 ? b n ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅲ)若 c n ? a n ? 3 ,求数列 ? b n c n ? 的前 n 项和 S n .

7

高二上学期第一次月考考试 数学试题参考答案 一、选择题 1-6:CACDBB DBCBBB 13.80 14.
36 47

15. a n ? ?

?2 ? 2 ?3
n ?1

n=1 ?2 n? 2

16.

3 ?1

17. 解: (1)由题意得
? a1 ? 2 d ? 5 ? a1 ? 9 ,解得 ? . ? ?d ? 2 ? a1 ? 9 d ? ? 9

∴ a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? 9 ? 2 ( n ? 1) ? 1 1 ? 2 n --------------------------------6 分 (2)由(1)知 S n ? n a1 ? ∴当 n ? 5 时, S n 取最大值 18.解:解: (Ⅰ)依题意有
a1 ? ( a1 ? a1 q ) ? 2 ( a1 ? a1 q ? a1 q )
2

n ( n ? 1) 2

d ? 1 0 n ? n ? ? ( n ? 5) ? 2 5
2 2

-----------12 分

--------------2 分

由于 a 1 ? 0 ,故
2q ? q ? 0
2

又 q ? 0 ,从而 q ? -

1 2 1
2

-------------3 分

2 (Ⅱ)由已知可得 a 1 ? a( ? ) ? 3 1

故 a1 ? 4
n ? ? 1? ? 4 ?1 ? ? ? ? ? n ? 2? ? 8? ? ? 1? ? ? 从而 S n ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 3? ? 1? ? 2? ? ? ? 1? ?? ? ? 2?

-------------12 分

19. 解: (Ⅰ)由 co s B ? ? 由 co s C ?
4 5

5 13

,得 sin B ?

12 13



???2 分 ???4 分
33 65

,得 sin C ?

3 5



所以 sin A ? sin ( B ? C ) ? sin B co s C ? co s B sin C ? (Ⅱ)由 S △ A B C ?
33 2 33 65
8

.???6 分

得 ? A B ? A C ? sin A ?
2

1

33 2

, ???8 分

由(Ⅰ)知 sin A ?

,故 A B ? A C ? 65 ,

又 AC ?

A B ? sin B sin C

?

20 13

AB

,故

20 13

AB ? 65 , AB ?
2

13 2

.??10 分


所以 ???12 分 20. (Ⅰ)设等差数列 { a n } 的公差为 d ,则 a 2
由题意得 ?
? 3 a 1 ? 3 d ? ? 3, ? a 1 ( a 1 ? d )( a 1 ? 2 d ) ? 8 .

? a1 ? d

, a3 或?

? a1 ? 2 d

解得 ?

? a1 ? 2 , ? d ? ? 3,

? a 1 ? ? 4, ?d ? 3.

所以由等差数列通项公式可得 a n ? 2 ? 3( n ? 1) ? ? 3 n ? 5 ,或 a n ? ? 4 ? 3( n ? 1) ? 3 n ? 7 . 故 a n ? ? 3 n ? 5 ,或 a n ? 3 n ? 7 . (Ⅱ)当 a n ? ? 3 n ? 5 时, a 2 , a 3 , a 1 分别为 ? 1 , ? 4 , 2 ,不成等比数列; 当 a n ? 3 n ? 7 时, a 2 , a 3 , a 1 分别为 ? 1 , 2 , ? 4 ,成等比数列,满足条件. 故 | an
? ?3n ? 7, |? | 3 n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 1, 2, n ? 3.

记数列 {| a n |} 的前 n 项和为 S n . 当 n ? 1 时, S 1 ? | a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S 2 当 n ? 3 时,
?5? ( n ? 2 )[ 2 ? (3 n ? 7 )] 2 ? 3 2 n ?
2

? | a1 | ? | a 2 | ? 5



S n ? S 2 ? | a 3 | ? | a 4 | ? ? ? | a n | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7 ) ? (3 ? 4 ? 7 ) ? ? ? (3 n ? 7 )

11 2

n ? 10

. 当n

? 2

时,满足此式.

n ? 1, ? 4, ? Sn ? ? 3 2 11 综上, n ? 10, n ? 1. ? n ? ?2 2

21.[解析]

2 由题意,设|AC|=x,则|BC|=x- ×340 17

=x-40, 2 2 2 在△ABC 内,由余弦定理:|BC| =|BA| +|CA| - 2|BA|·|CA|·cos∠BAC, 2 2 即(x-40) =x +10000-100x,解得 x=420. 在△ACH 中,|AC|=420,∠CAH=30°+15°=45°, ∠CHA=90°-30°=60°, |CH| |AC| 由正弦定理: = , sin∠CAH sin∠AHC sin∠CAH 可得|CH|=|AC|· =140 6. sin∠AHC
答:该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 6米.

22.解:(Ⅰ)由 a n ? 1 ? 2 a n ? 3 得 a n ? 1 ? 3 ? 2 ? a n ? 3 ? 所以 ? a n ? 3? 是首项为 a1 ? 3 ? 4 ,公比为 2 的等比数列. 所以 a n ? 3 ? 4 ? 2 n ?1 ? 2 n ? 1 ,故 a n ? 2 n ? 1 ? 3 (Ⅱ)因为 ? b n ? 1 , b n ? 在直线 y ? x ? 1 上,
9

所以 b n ? b n ? 1 ? 1 即 b n ? 1 ? b n ? 1 又 b1 ? 1 故数列 ? b n ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 所以 b n ? n (Ⅲ) c n ? a n ? 3 = 2 n ? 1 ? 3 ? 3 = 2 n ? 1 故 b n c n ? n ? 2 n ? 1 所以 S n ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? ? ? n ?2 n ? 1 故 2Sn ?
2

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? n ? 1 ? ?2
3 4

n ?1

? n ?2
n

n?2

相减得 ? S n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 4

n ?1

? n ?2

n?2

?

4 ? 2 ? 1? 2 ?1

? n ?2

n?2

? ?1 ? n ? 2

n?2

?4

所以 S n ? ? n ? 1 ? ?2 n ? 2 ? 4

10


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