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第一章集合与简易逻辑(教案)

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高中数学第一册(上) 第一章 集合与简易逻辑

◇教材分析
【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(可看做集合的化简) 、简易逻辑三部分:

【知识点与学习目标】

【高考评析】 集合知识作为整个数学知识的基础, 在高考中重点考察的是集合的化简, 以及利用集合与简易逻辑 的

知识来指导我们思维,寻求解决其他问题的方法.

◇学习指导
【学法指导】本章的基本概念较多,要力求在理解的基础上进行记忆. 【数学思想】1.等价转化的数学思想; 3.分类思想; 2.求补集的思想; 4.数形结合思想.

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【解题规律】 1. 如何解决与集合的运算有关的问题? 1) 对所给的集合进行尽可能的化简; 2) 有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系; 3) 有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素. 2. 如何解决与简易逻辑有关的问题? 1) 力求寻找构成此复合命题的简单命题; 2) 利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题. 引言 通过一个实际问题,目的是为了引出本章的内容。 1、 分析这个问题,要用数学语言描述它,就是把它数学化,这就需要集合与逻辑的知识; 2、 要解决问题,也需要集合与逻辑的知识. 在教学时,主要是把这个问题本身讲清楚,点出为什么“回答有 20 名同学参赛”不一定对.而要 进一步认识、讨论这个问题,就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了. §1.1 集合 〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求: (1)初步理解集合的概念,知道常用数集及其记法; (3)初步了解有限集、无限集、空集的意义. 〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法;难点是运用集合的两种常用表示方 法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合. 〖教学过程〗 ☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合 实例对集合的概念作了说明.然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画 图表示集合的例子. 1、 集合的概念: 在初中代数里学习数的分类时,就用到“正数的集合”“负数的集合”等此外,对于一元一次不 , 等式 2x 一 1>3,所有大于 2 的实数都是它的解.我们也可以说,这些数组成这个不等式的解的集合, 简称为这个不等式的解集. 在初中几何里学习圆时,说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集 合. 一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.这句话,只是对集合概念的描述 性说明.集合则是集合论中原始的、不定义的概念.在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例, 对概念有一个初步认识. 例如, “我校篮球队的队员”组成一个集合; “太平洋、大西洋、印度 (2)初步了解“属于”关系的意义;

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洋、北冰洋”也组成一个集合.我们一般用大括号表示集合,上面的两个集合就可以分别表示成 4 我 校篮球队的队员)与 4 太平洋。大西洋,印度洋,北冰洋).为了方便起见,我们还经常用大写的拉丁字 母表示集合.例如,A={太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} ,B={1,2,3,4,5} . 集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如, “地球上的四大洋”这一集合的元素是:太平洋、 大西洋、印度洋、北冰洋.集合的元素常用小写的拉丁字母表示。 2、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性: 集合中的元素必须是确定的。这就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也 就确定 7。例如,给出集合(地球上的四大洋),它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四个元素.其 他对象都不是它的元素.又如。 “我国的小河流”就不能组成一个集合,因为组成它的对象是不确定 的。 集合中的元素是互异的。这就是说,集合中的元素是没有重复现象的,任何两个相同的对象在同 一个集合中时,只能算作这个集合的一个元素. 集合中的元素是无序的。这就是说,集合中的元素排列与顺序无关。 3、常用的数集及其记法: 全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作 N,非负整数集内排除 0 的集, 也称正整数集,表示成 N 或 N ? ; 全体整数的集合通常简称整数集,记作 Z; 全体有理数的集合通常简称有理数集,记作 Q; 全体实数的集合通常简称实数集,记作 R. ★(教科书中给出的常用数集的记法,是新的国家标准,与原教科书不尽相同,应该注意以下两 点: (1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数 0; (2)非负整数集内排除 0 的集,表示成 N 或 N ? 。 新的国家标准定义自然数集 N 含元素 O. 这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定 的国 际标准,以便与之早日相衔接;另一方面,o 还是十进位数{0,1,2,?,9}中最小的数,有 4、 集合的表示方法,常用的有列举法和描述法: 列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法. 例如,由方程 了 0,减法运算 a—a 仍属于 N,其中 a∈N. )
*

*

x 2 —1=0 的所有的解组成的集合,可以表示为{-1,1} ;

又如,由所有大于 0 巳小于 10 的奇数组成的集合,可以表示为{1,3,5,7,9} 。 描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法. 例如,不等式 x-3>2 的解集可以表示为{x ∈R|x-3>2}; ★(列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,

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不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素一一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定. ) 5、集合的分类: 一般地,含有有限个元素的集合叫做有限集. 一般地,含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含任何一个元素的集合叫做空集.记作φ 。 6、 素与集合之间的关系: 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a∈A;如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a?A(或 a∈A). 例如,设 B={1,2,3,4,5} ,那么 5∈B,8?B. 7、练习:①P5 与 P6 练习。②P7 习题 1.1 第 1 题、第 2 题的⑴、⑵。 8、 小结: (略) 。 9、作业:①P7 习题 1.1 第 2 题的⑶、⑷。②练习册:§1.1 集合的内容。 §1.2 子集、全集、补集 〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求: (1)了解集合的包含、相等关系的意义; (3)理解补集的概念; 区别。 〖教学过程〗 ☆本小节分为两部分:第一部分讲子集,第二部分讲全集与补集. 第一部分先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系,并引出于集的概念,然后,对比集 合的“包含”与“相等”关系,得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质. 第二部分是在子集概念的基础上讲述补集的概念,并介绍了全集的概念. 1、子集的定义: 先看集合与集合之间的“包含”关系设 A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} , ,集合 A 是集合 B 的一部分,我们就说集合 B 包含集合 A。 一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A,记作 A?B(或 B?A).这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集. 当集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A 时,则记作 A?B(或 B?A). 规定:空集是任何集台的子集。也就是说,对于任何一个集合 A,有φ ?A。 2、集合与集合的相等 : 一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素, 我们就说集合 A 等于集合 B。记作 3、真子集的定义: 对于两个集合 A 与 B, 如果 A?B,并且 A≠B,我们就说集合 A 是集合 B 的真子集, A=B。 (2)理解子集、真子集的概念;

(4)了解全集的意义.

〖教学重点与难点〗本小节的重点是子集、补集的概念,难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的

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记作 A?B(或 B?A)。 ★(关于子集与真子集的记法,教科书中采用的是新的国家标准,与原教科书不尽相同,应该注 意;在开始接触子集与真子集的符号时,要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错. ) 4、性质: ①A?A(任何一个集台是它本身的子集) ; ②空集是任何非空集合的真子集; ③对于集合 A,B,C,如果 A?B,B?C,那么 A?C. 同样可知,如果 A?B,B?C,那么 A?C. ④对于集合 A,B,如果 A?B,同时 B?A,那么 A=B. 5、一些容易混淆的符号的区分: ① ∈与?的区别:∈是表示元素与集合之间关系的,因此,有 1∈N, 示集合与集合之间关系的,因此,有 N?R,φ ?R 等. ②a 与{a}的区别:一般地,a 表示一个元素,而{a}表示只有一个元素的一个集合.因此, 有 1∈{1,2,3},0∈{0},{1}?{1,2,3}等,不能写成 0={0},{1}∈{1,2,3} . ③{0}与φ 的区别: {0}是含有一个元素的集合,φ 是不含任何元素的集合,因此,有φ ?{0} ,不能写成φ ={0} φ ∈{0} 、 . ④{φ }与φ 的区别: φ }是含有一个元素φ 的集合,φ 是不含任何元素的集合,因此, { 有φ ?{φ } φ ?{φ } φ ∈{φ } 、 、 ,不能写成φ ={φ } . 6、补集和全集的定义: 一般地,设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A?S),由 S 中所有不属于 A 的元素组成的 集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)。记作 C S A ,即 —1∈N 等;?是表

C S A ={x|x∈S,且 x?A}.
如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集通常 用 U 表示.例如.在实数范围内讨论问题时,可以把实数集 R 看作全集。 有理数集 Q 的补集 CU Q 是全体无理数的集合。 ★ (关于补集,新的国家标准规定。 与补集相关的概念是集合的差,教科书中没有这个概念.集合 A 与集合 B 之差或集合 A 减 集合 B 记作 A\B,即 A\B={x|x∈A,且 x?A}. 要注意,上式等号右边与补集定义中的式 子类似,但意义不同.在 C A B 中,要求 B 是 A 的子集; B 是 A 的子集的时候,也可以写成 C A B =A\B. ) 7、 补集性质: A\B 中,B 可以不是 A 的子集.当

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CUU=φ ,CUφ =U,CU (CUA)=A。 8、例题: 例 ⑴写出集合{a、b}{a、b、c}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集.并总结出 、 集合中的元素个数与它的子集数、真子集数之间的关系。 解: (略) 。 例⑵解不等式 x-3>2,并把结果用集合表示. 解: x>5, 原不等式的解集是{x|x>5} . 9、练习:①P9 与 P10 练习。②P10 习题 1.2 第 1 题、第 2 题。 10、小结: (略) 。 11、作业:①P10 习题 1.2 第 3 题、第 4 题、第 5 题。②练习册:§1.2 集合的内容。

§1.3 交集、并集 〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求: (1)理解交集与并集的概念; 的集合. 〖教学重点与难点〗本小节的重点是交集与并集的概念,难点是弄清交集与并集的概念、符号之间的区 别与联系.习本小节,关键是要能达到会正确表示一些简单集合的目标. 〖教学过程〗 ★本小节首先结合表示两个集合的图,引出交集与并集的概念,然后在完成一些练习的基础上, 介绍了交集与并集的简单性质. 1、交集、并集的概念: 一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的交集,记作 A∩ B(读作“A 交 B”),即 A∩B= (2)掌握有关集合的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单

?x | x ? A 且 x ? B? .

由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做 A 与 B 的并集, 记作 A∪B(读作 “A 并 B”),即 A∪B=

?x | x ? A 或 x ? B? .
? x ? A, x ? B ? —→ ? x ? B, x ? A ? x ? A, x ? B ?

“x∈A 或 x∈B”

2、交集、并集的性质: ① A∩A=A,A∩φ =φ ,A∩B=B∩A; ② A∪A=A,A∪φ =A,A∪B=B∪A;

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③ A∩B?A?A∪B、A∩B?A?A∪B; ④ A ? B? A∩B=A?A∪B=B; ⑤ CUA∩A=φ ,CUA∪A=U; ⑥ CU(A∩B)=( CUA)∪( CUB) U(A∪B)=( CUA)∩( CUB) ,C ; ⑦ A∩(B ∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ;A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ; 3、 例题: 例 1、设 A={x | x > -2} ,B={x | x < 3} ,求 A∩B. 解:A∩B={x | x > -2} ∩{x | x < 3} ={x | -2 < x < 3} . ★(解决有数集的运算问题,往往借助数轴进行数形结合。 ) 例 2、设 A={x | x 是等腰三角形} ,B={x | x 是直角三角} ,求 A∩B. 解:A∩B={x | x 是等腰三角形}∩{x | x 是直角三角}={x | x 是等腰直角三角形} . 例 3、设 A={4,5,6,8} ,B={3,5,7,8} ,求 A∪B. A∪B={4,5,6,8} ,∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8} 。 ★( 集合中的元素是没有重复现象的,在两个集合的并集中,原两个集合的公共元素只能出现一 次。 ) 例 4、设 A={x | x 是锐角三角形} ,B={x | x 是钝角三角形} ,求 A∪B. 解: A∪B ={x | x 是锐角三角形}∪{x | x 是钝角三角}={x | x 是斜三角形} 。 例 5、设 A=

?

x | -1<x<2

? ,B= ?

x | 1<x<3

? ,求 A∪B. ?= ?
x | -1<x<3

解: A∪B=

?

x | -1<x<2

?∪ ?

x | 1<x<3

?。

★(解决有数集的运算问题,往往借助数轴进行数形结合。 ) 例 6、设 A= 解: A∩B=

? ?

(x,y) |y=-4x +6

? ,B= ? ?∩ ?

(x,y) |y=5x-3

? ,求 A∩B.

(x,y) |y=-4x +6

((x,y) |y=5x-3

?

=

?

((x,y) |

? y ? ?4 x ? 6 ? ? y ? 5x ? 3

?= ?

(1,2)

?。

★(本题中,(z,y)可以看作直线上的点的坐标,也可以看作二元一次方程的一个解. ) 例 7、 已知 A 为奇数集,B 为偶数集,Z 为整数集,求 A∩B,A∩Z,B∩Z,A∪B,A∪Z,B ∪Z。 解: A∩B={奇数}∩{偶数}=, B∩Z={偶数}∩Z={偶数}=B, A∪Z={奇数}∪Z=Z, A∩Z={奇数}∩Z={偶数}=A, A∪B={奇数}∪{偶数}=z, B∪Z={偶数}∪Z=Z。

★(学习有关集合的初步知识,其目的主要在于应用.具体地说,就是在学习其他知识时,能

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读懂其 中的简单的集合概念和符号; 在处理简单的实际问题时, 能根据需要, 运用集合语言进行表述. 在 安排训 练时,要把握一定的分寸,不要搞偏题、怪题. ) 8、练习:①P12 与 P13 练习。②P13 习题 1.3 第 1 题—第 6 题。 9、小结: (略) 。 9、 作业:①P13 习题 1.3 第 7 题、第 8 题。②练习册:§1.3 交集、并集的内容。 §1.4 含绝对值的不等式解法 〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到掌握|ax+b|<c 与|ax+b|>c (c>0)型的不等式的解 法. 〖教学重点与难点〗重点是|x|<a 与|x|>a (a>0)型的不等式的解法,关键是对绝对值意义的理 解. 〖教学过程〗 ☆本小节首先由实际问题引出含绝对值的不等式,然后由易到难,顺次介绍了|x|<a 与|x| >a (a>0)型、|ax+b|<c 与|ax+b|>c (c>0)型的不等式的解法.本小节开始讲了一个有关商品质 量的例子,这是为了说明含绝对值的不等式是解决实际问题所需要的,教学时,还可以适当补充学生 熟悉的实例. ☆在学习含绝对值的不等式的解法时,可以先复习初中数学学过的不等式的三条基本性质: (1)如果 a>b,那么 a+c >b+c ; (2) 如果 a>b, c>0,那么 ac>bc; 不等式的基本性质是解不等式的基础. (3) 如果 a>b, c<O,那么 ac<bc. 1、不等式|x|<a (a>0)解集是 不等式|x|>a (a>0)解集是

?

x |-a<x<a

?; ?。

?

x |x<-a,或 x>a

★(|x|<a 与|x|>a (a>0)型不等式的解法,教科书是从具体例子人手讲述的.先考虑含绝 对值的方程|x|=2 的解,由此出发,根据绝对值的意义,结合数轴表示,就得到了含绝对值的不等 式|x|<2 与|x|>2 的解。 对这个结论,应根据绝对值的意义,结合数轴表示进行讲解.注意, 从数轴上看,|x|<a (a>0)的解集是-a 与 a 之间的部分,|x|>a (a>0)的解集是-a 左侧与 a 右 侧两部分。= 2、 把不等式|x|<a 与|x|>a (a>0)中的 x 替换成 ax+b, 就可以得到|ax+b|<c 与|ax+b| >c (c>0)型的不等式的解法了. 在具体求解时,可以先直接在|x|<a 与|x|>a (a>0)型不等式的解集中进行替换,这时,原 不等式化成了一元一次不等式,然后就可以根据不等式的基本性质求解. ★ (教学时,要注意对-c<ax+b<c (c>0) 型不等式的化简做必要的说明.初学解这类不等

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式时,为了方便,如果所解|ax+b|<c 与|ax+b|>c (c>0)型的不等式中的 a 是负数,可以先把 a 化成正数,例如要解不等式|2 -x |<5,可以先把它变形成|x -2 |<5,再求解.= ★(教学时,要注意控制教学要求.本小节的练习、习题所解的不等式,只限于绝对值号内为一 元一次的代数式,并且是数字系数,只在习题 1.4 的最后,编排了|x -a |<b (b>0)这样的简单的 带有字母常数的题目.= 3、例题: 例 1、解不等式|x -500| ? 5。 例 2、解不等式|2x +5|>7。 例 3、解不等式|x|+|x -2| ? 5。 ★(根据绝对值的定义,采用“零点区分法”) 。 4、练习:①P16 练习。②P16 习题 1.4 第 1 题、第 2 题、第 3 题⑵⑷⑹。 5、小结: (略) 。 6、作业:①P16 习题 1.4 第 3 题⑴⑶⑸、第 4 题。②练习册:§1.4 含绝对值的不等式解法的内 容。 §1.5 一元二次不等式的解法 〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求: (1)掌握一元二次不等式的解法; (2)知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组 s (3)了解简单的分式不等式的解法. 〖教学重点与难点〗 重点是一元二次不等式的解法,关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 〖教学过程〗 ☆本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系,利用二次 函数的图象,找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,进而得到利用二次函数图象求 解一元二次不等式的方法.然后,说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组,由此又引出了 简单的分式不等式的解法. 1、引入新课: 首先利用一次函数的图象,讨论一无一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系,进而导 出一元一次不等式的解集.这些基本内容学生都比较熟悉,但是,初中数学并没有专门讲述这种解法, 安排这些内容,既可以复习、巩固初中的知识,也为接下来讨论二次的问题做了铺垫. 直线与 x 轴交点的横坐标,就是对应的一元一次方程的根,进一步,结合直线的位置,就可以确 定对应的一元一次不等式的解集了. 2、通过一个具体实例,开始对一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间关系进行讨论的. 先给出二次函数 y= x 2 -x-6 的对应值表与图象,然后,由对应值表与图象得出:

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当 x=-2,或 x=3 时,y=0,即 x 2 -x-6=0; 当 x<-2,或 x>3 时,y>0,即 x 2 -x-6>0; 当-2<x<3 时,y<0,即 x 2 -x-6<0. 教科书中不但给出了函数的图象,还给出了函数的对应值表,这是因为结合函数的对应值表才能 确定函数的图象与 x 轴交点的坐标,进而确定对应的一元二次方程 x2 -x-6=0 的根. 要确定一元二次不等式 x 物线的开口向下类型的问题。 3、结合图象指出,抛物线 y = ax 2 + bx + c(a>0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一 元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的判别式△=b 2 -4 a c 的三种取值情况(△>0、 △=0、 △<0=来确定. 因 此, 要分三种情况讨论, 以寻求对应的一元二次不等式 ax 2 + bx + c>0 与 ax 2 + bx + c<0 (a>0)的解集. 在讨论了 a>0 的情况以后,再提出 a<0 的情况,由学生完成. 4、 可以结合例题,指出解一无二次不等式的步骤: ① 先把二次项系数化成正数; ② 解对应的一元二次方程; ③ 根据一元二次方程的根,结合不等号的方向,写出不等式的解集. 例 1、解不等式 2x 2 -3x-2 >0; 例 2、解不等式-3 x 2 + 6x >2; 例 3、解不等式 4x 2 -4x + 1>0; 例 4、解不等式-x 2 + 2x -3>0。 5、关于( x-a ) ( x-b ) > 0、( x-a ) ( x-b ) < 0 ( a <b =型的不等式,有简便的解法,由
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-x-6>0 与 x2 -x-6 < 0 的解集,既要考虑一元二次方程 x2 -x

-6=0 的根,还要考虑抛物线的开口方向.在讲本例时,可以只就本例的具体情形考虑,暂不讨论抛

( x-a ) ( x-b ) = 0 的根是 a 与 b,结合“不等号的方向”可直接写出解集. 教科书是为了介绍一种更一般的解法,即把二次或二次以上的不等式化成一次不等式组的方 法.一方面,这种解法可以为以后解比较复杂的不等式打基础;另一方面,这种方法也涉及了集合知 识的应用. 6、对分式不等式的基本要求,仅限于可以化成一元二次不等式的类型.在全章最后的复习参考题 一的 B 组题中,有两个简单的、相当于三次不等式的小题,它们不属于基本要求,但可以用简便的方 法求解. 7、练习:①P20 及 P21 练习。②P21 习题 1.5 第 1 题—第 4 题。 8、小结: (略) 。 9、作业:①P22 习题 1.5 第 5 题—第 8 题。②练习册:§1.5 一元二次不等式的解法的内容。

集合的元素个数

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1. 本阅读材料介绍了有关集合的元素个数的初步概念及简单的性质. 编排这个阅读材料是为了扩 展学生的知识,提高学生的兴趣,在关于中学生数学课外活动的材料中,常常会遇到与之有关的问题. 2.阅读这撂材料,可以与本章章头的引言结合起来.顺便指出,由于章头引言的问题比较简单, 不用有关集合元素个数的公式也可以处理(用文氏图) ,另外,复习参考题一的 B 组题的第 1 题,同样 可以用有关集合元紊个数的公式. §1.6 逻辑联结词 〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求: (1)了解含有“或”“且”“非”的复合命题的构成; 、 、 (2)理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。 、 、 〖教学重点与难点〗本小节的重点是判断复合命题真假的方法,难点是对“或”的含义的理解. 〖教学过程〗 ☆初中数学中已经有了一些关于命题的初步知识,在此基础上,本小节首先由简单命题出发,给 出含有“或”“且”“非”的复合命题的概念,然后借助真值表,给出判断复合命题真假的方法. 、 、 1、命题的定义: 判断一件事情的句子,叫做命题(初中) . 可以判断真假的语句叫做命题(高中) . 虽然说法不同,但实质是一样的。语句是不是命题,关键在于能不能判断其真假,也就是判断其 是否成立.不能判断真假的语句,就不能叫命题.例如, ⑴“这是一棵大树” ;⑵“x<2” . 都不能叫命题.由于“大树”没有界定,就不能判 断“这是一棵大树”的真假.由于 x 是未知数,也不能判断“x<2”是否成立. 在教学时,不要在判断一个语句是不是命题上下功夫,因为这个工作过于复杂,要求学生能够从 正面的例子了解命题的概念就可以了. 2、 、逻辑联结词、简单命题与复合命题: “或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题 、 、 与逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题。 、 、 构成复合命题的形式: ① ② ③ p 或 q(记作“p∨q” ); p 且 q(记作“p∨q” ); 非 p(记作“┑q” ) 。

◇(开语句:语句中含有变量 x 或 y,在没有给定这些变量的值之前,是无法确定语句真假的.这 种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题).也可以把简单的开语句用逻辑联结词 “或”“且”“非”连结起来,构成复合的开语句(有的逻辑书也称之为复合条件命题),这里的“或” 、 、 、 “且”“非”与复合命题中的“或”“且”“非”符号与意义相同.在进行命题教学时,要注意命题 、 、 、 与开语句的区别,特别在举有关逻辑联结词“或”“且”“非”的例子时,容易把两者混淆. 、 、 )

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3、了解含有“或” 、

“且” 、

“非”的复合命题的构成,指的是:给一个含有“或”“且” 、 、

“非”的复合命题,能说出构成它的简单命题与逻辑联结词“或”“且”“非” 、 、 ;给出两个简单命题, 能由它们构成含有逻辑联结词“或”“且”“非”的复合命题。 、 、 4.在讲述逻辑联结词“或”“且”“非”时,可以适当联系集合与不等式的有关知识.集合中的 、 、 “井”“交”“补” 、 、 ,与逻辑联结词“或”“且”“非”密切相关。 、 、 5. 对逻辑联结词 “或” “且” “非” 、 、 的理解, 与判断复合命题真假分不开的. 逻辑中的 “或” 、 “且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”的意义是不尽相同的,要直接讲清楚它们的意义, 、 、 、 比较困难,开始时,不必深讲,可以在学习了有关复合命题的真值表之后,再要求学生根据复合命题 的真值表,对“或”“且”“非”加以理解. 、 、 6. “或” 、 “且” 、 “非”的真值表 先讲“非 P”形式复合命题的真假,再讲“p 且 q”形式复合命题的真假, 或 q”形式复合命题 “P 的真假理解起来最困难,放后面讲。 在真值表中,是根据简单命题的真假,判断由这些简单命题构成的复合命题的真假,而不涉及简 单命题的具体内容. 对于三个真值表,可做如下说明: (1)“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反; (2)“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真,其他情况时为假; (3)“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况时为真. 7.在给出真值表之后,教科书又通过实例说明逻辑中的“或”与日常用语中的“或”的区别. “苹 果是长在树上或长在地里”这句话按真值表判断,其为真,但在日常生活中,我们认为这句话是不妥 的。 在教学中,应告诉学生逻辑中的“或”与日常用语中的“或”是不同的,可以结合教科书下面给 出的两个日常生活中和“或”“且”有关的例子,进一步体会学习逻辑联结词“或”“且”的意义. 、 、 ◇ (为什么要学习逻辑呢?一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明, 另一方面是因为计算机离不 开数学逻辑,教科书中介绍的“或门电路”“与门电路”就是两个在这方面应用的实例.可以说计算 、 机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的.让学生找出这样的例子,可以结合日常生活中电 器的自动控制功能考虑,更可以充分发挥他们的想象力。由此,也就明确学习逻辑联结词“或”“且” 、 的意义了. ) 8.逻辑符号: “或”的符号是“∨” ,例如“P 或 q”可以记作“P ∨q” ; “且”的符号是“∧” ,例如, 且 g”可以记作“P∧q”; “P “非”的符号是“┑” ,例如, “非 P”可以记作“┑P” . ◇(不增加学生负担,这部分没有使用这些符号,只是在后面讲否命题时,使用了符号“┑”) . 9、练习:①P26 及 P28 练习。②P29 习题 1.6 第 1 题—第 4 题。 10、小结: (略) 。 11、作业:①补充题(略) 。②练习册:§1.6 一元二次不等式的解法的内容。

13

§1.7 四种命题 〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求: (1)初步理解四种命题及其关系; (2)初步掌握反证法. 〖教学重点与难点〗本小节的重点是四种命题的关系. 〖教学过程〗 ☆从初中数学的命题知识出发,给出四种命题的概念,接着,讲述四种命题的关系,最后,介绍 反证法.教学时,要注意控制教学要求。本小节的内容,只涉及比较简单的命题,不研究含有逻辑联 结词“或”“且”“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题。 、 、 1、在初中数学中,只学习了原命题与逆命题的初步知识,否命题与逆否命题已经从初中数学中删 除了。否命题所用的符号“┑” ,与过去不同。这么是新内国家标准规定了的.符号“┑”叫做否定符 号。 “┑P”表示 P 的否定;不是 P;非 P。 2、逆命题、否命题与逆否命题: 如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条 件(或题设) ,那么这两个命题叫做互逆命题;如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做 逆命题。 如果第一个命题的条件和的结论,分别是另一个命题的条件的否定和结论否定,那么这两个命题 叫做互否命题;如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做否命题。 如果第一个命题的条件和的结论,分别是另一个命题的的结论的否定和条件的否定,那么这两个 命题叫做互为逆否命题;如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做逆否命题。 即: (1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题: (2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题; (3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题. 四种命题的形式: 原命题:若 P 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若┑P 则┑q; 逆否命题:若┑q 则┑p。 3、四种命题之间的相互关系:

14

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系: ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。 4、反证法: ◇(初中数学中有关反证法的内容,要求比较低,并且基本没有涉及代数命题。到高中数学学习 的需要,结合四种命题及其关系进行讲授。 学习反证法,一是要注意加强对有关代数命题的训练,二 是教学要求要适当,对反证法的掌握,还有待于随着学习的深入,逐步提高。教科书中反证法涉及代 数命题的例、习题,是属于初中范围的,比较简单.因此,这些题目都可以用直接的方法进行证明, 不一定用反证法,选取这些题,主要是为了让学生熟悉反证法。 ) 反证法在初中教科书中指出:从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题成立,这样的证 明方法叫做反证法。◇(对于反证法的概念,本小节未再给出,沿用初中的说法就可以了) 。 从逻辑角度看,命题“若 P 则 q”的否定,是“P 且非 q” ,由此进行推理,如果发生矛盾,那么 “p 且非 q”为假,因此可知“若 P 则 q”为真。像这样证明“若 P 则 q”为真的证明方法,叫做反证 法。 用反证法证明命题“若 P 则 q”时,可能出现以下三种情况: (1)导出非 p 为真,即与原命题的条件矛盾; (2)导出 q 为真,即与假设“非 q 为真”矛盾; (3)导出一个恒假命题。 ◇(考虑到教科书只安排了初步的逻辑知识,以上内容不必都向学生讲述. ) 5、例题: 例 1、把下列命题写成“若 P 则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题: ①负数的平方是正数; ②正方形的四条边相等。 (解略) ◇(例 1 中的第(1)小题,有两种解答,另一种解答如下: 原命题可以写成:若一个数是负数的平方,则这个数是正数。 逆命题:若一个数是正数,则它是负数的平方。 否命题:若一个数不是负数的平方,则这个数不是正数。 逆否命题:若—个数不是正数,则它不是负数的平方。 )

15

例 2、设原命题是“当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc” ,写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并判 断它们的真假。 (解略) 例 3、用反证法证明:如果 a>b>0,那么 (解略) 例 4、用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 (解略) 6、练习:①P30、P32 及 P33 练习。②P33 习题 1.7 第 1 题—第 4 题。 7、小结: (略) 。 8、作业:①补充题(略) 。②P34 习题 1.7 第 5 题。③练习册:§1.7 四种命题的内容。 §1.8 充分条件与必要条件 〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生初步掌握充要条件。 〖教学重点与难点〗本小节的重点与难点是关于充要条件的判断。 〖教学过程〗 ☆本节首先给出推断符号“ ? ” ,并引出充分条件与必要条件的意义,在此基础上讲述了充要条 件的初步知识。学习本小节,要注意与前面有关逻辑初步知识内容的联系。本小节所讲的充分条件、 必要条件与充要条件的知识,主要是与判断“若 P 则 q”形式命题的真假相关的。本小节“若 P 则 q” 形式命题中的 p 与 q, 基本都是简单的, 而不是复合的, 即, 一般不含有逻辑联结词 “或” 、 “且” 、 “非” , 并且,p 与 q 本身也不是“若 P 则 q”的形式。 1、符号“ ? ”叫做推断符号. ? q”表示“若 P 则 q”为真;也表示“p 蕴含 q”“p ? q” “p 。 也可写为“q ? p” ,有时也用“p ? q” 。 2、 符号 ? ” “ 叫做等价符号。 ? q” “p 表示 ? q 且 p ? q” 也表示 “p ; “p 等价于 q” ? q” 。 “p 有时也用“p ? q” 。 3、如果已知 p ? q 那么我们说,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。 例如: “两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件, “两三角形面积相等”是“两三 角形全等”的必要条件. 4、如果既有 p ? q,又有 q ? p,就记作 p ? q,这时,p 既是 q 的充分条件,又是 q 的必要条 件,我们就说 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件。 例如, “x 是 6 的倍数”是“x 是 2 的倍数”的充分而不必要的条件; “x 是 2 的倍数”是“x 是 6 的倍数”的必要而不充分的条件; “x 既是 2 的倍数也是 3 的倍数”是“x 是 6 的倍数”的充要条件; “x 是 4 的倍数”是“x 是 6 的倍数”的既不充分也不必要的条件。 5、例题: 例 1 指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件,q 是 p 的什么条件:

a> b。

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(1)p:x=y ;q:x2=y2; (2)p:三角形的三条边相等; q:三角形的三个角相等; 分析:可以根据“若 p 则 q”与“若 q 则 p”的真假进行判断。 (解略) 例2 指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件” 、 、 “充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种)? 、 (1)p: (x-2) (x-3)=0;q:x-2=0; (2)p:同位角相等;q:两直线平行; (3)p:x=3;q:x2=9; (4)p:四边形的对角线相等;q:四边形是平行四边形。 (解略) ◇(①数学上充分条件、必要条件的“充分”“必要”两词,与日常用语中的“充分” 、 、必要”意 义相近.不过,要推确理解它们,还是应该以数学定义为依据。 ②教科书是结合实例给出充分条件、必要条件与充要条件的概念的,要掌握它们,主要还得通过 对实例的考察和研究.因此,对学生的要求,要有一个随着学习的深入,逐步提高的过程。 ③在进行有关充分条件、必要条件与充要条件的判定时,既可能用到直接证法,也可能用到间接 证法.反证法就是一种间接证法,学习本小节,可以巩固上一节反证法的内容。 ) 6、练习:①P35、P36 练习。②P36 习题 1.8 第 1 题—第 3 题。 7、小结: (略) 。 8、作业:①补充题(略) 。②练习册:§1.8 充分条件与必要条件。

一、小结与复习 1.小结与复习分作三部分.第一部分概括了本章所学的集合与简易逻辑的主要内容.其中,有关 集合的知识包括集合的基本概念、集合与集合的关系、不等式解法等;有关简易逻辑的知识包括逻辑 联结词、四种命题、充要条件等.第二部分分别提出了关于集合的五条学习要求和关于简易逻辑的三 条学习要求,并指出了学习中需要注意的几个问题.第三部分给出了两道参考例题。 2.复习集合的初步知识,可以从两方面入手,一方面是集合的有关概念之间的联系与区别;另一 方面,也是更为主要的方面,是集合知识的应用。 关于集合的概念,主要是把握集合与元素、集合与集合这两个关系,弄清有关的术语和符号. 关于集合知识的应用、可以考虑下面几个内容: (1)本章章头引言中的例子,体现了可以利用集合语言表述问题,可以利用集合的思想、方法解 决问题; (2)有关不等式的解法,既涉及交集、并集的概念,又涉及集合的表示; (3)逻辑联结词“或”“且”“非” 、 、 ,是与集合中的“并”“交”“补”相关的,两者可以相互对 、 、

17

照、相互说明,从而加深对双方的认识和理解。 (4)中学数学的其他内容及日常生活中的应用.像代数中的方程与方程组的解集,几何中的点集, 等等。 3.本章只学习了一些简易的逻辑知识,在复习时,主要是要抓住所学的几个知识点,通过对以前 学过的数学知识的说明,及解决一些简单的问题,达到理解、掌握简易逻辑知识的目的 例如,可以利用几何中的主要定理复习四种命题及其关系;可以利用一无二次方程根的判别式的 有关内客复习充要条件的知识,等等。 二.重点提示与例析 (1)集合的表示法有哪几种? 如何理解集合的特征性质描述法? 【答案】① 集合的表示法主要有:列举法(主要用在有限集) 、描述法(主要用在无限集) 、还有字 母表示法(如:R,Z,Q,N,N+等) 、图形表示法(如维恩图、数轴等)等; ② 用特征性质描述法表示集合的常用形式为 后面的 P 指出元素 所具有的公共属性,集合 ,竖线前面的 表示集合的特征元素,竖线

表示:1)集合 A 是由所有具有性质 P

的那些元素组成的;2)不具有性质 P 的元素一定不是 A 中的元素. 用下列例题检验是否理解和掌握了: 例 1 指出下列几个集合之间的区别: ; 【解】集合 A 是由抛物线 集合 B 是由抛物线 上的所有点的坐标组成的; 上的所有横、纵坐标都为整数的点的坐标组成的; . ;

集合 C 是由所有不小于 2 的实数组成的. 例 2 若集合 (A) 【解】由集合 ,故选(A) . 【评析】在看一个用特征性质描述法表示的集合时,我们首先应该注意集合的特征元素,看它是图 形,坐标,还是数等等;其次我们再看它的特征性质,从而由特征性质来决定具体的元素. (2)如何判断两个集合 A 与 B 是否相等? (B) , (C) ,则集合 与 的关系是:

(D) ,所以

的含义我们很容易用列举法将 N 写出来即为:

18

【答案】① 两个集合相等是指这两个集合中所包含的元素完全相同;即:若 A=B;





② 判断两个有限集是否相等,常用的方法是将它们都用列举法表示出来,然后看它们的元素是 否完全相同; ③ 判断两个无穷集 , 是否相等,我们需要用逻辑的方法判断:⑴ 即:满足性质 q 的元素都满足性质 P.

即:满足性质 P 的元素都满足性质 q,⑵ 用下面的例题检验是否理解和掌握了:

例 3 集合 A={小于 5 的自然数}, 则下列各集合中与 A 相等的有?????????????? ( (A) (B) (C)



(D) 【答案】(A),(B),(D),(E).

(E)

【评析】① 0 是自然数;(在以前的教科书上,1 是最小的自然数,但从现代数学的观点看,将 0 作 为自然数要更合理一些,所以我们新的教材将 0 作为自然数提了出来,希望大家注意) ② 一个集合往往有多种不同的特征性质,在判断两个集合是否相等时,我们的注意力应放在特 征性质所决定的元素上,而不是特征性质本身. 例 4 若集合 【证明】证明:1)证 对任意的 x 属于 A, ∴ ∴ ∵ x 属于 A ∴ ∴ 存在着 m∈Z,有 x=2m-1 ,

,

求证:A=B.

x=2m-1=2(m-1)+1 x∈B ∴

存在着 n=m-1,有 n∈Z,且 x=2n+1 ,

2)证 对任意的 x 属于 B ∵ x 属于 B ∴ x=2n+1=2(n+1)-1 ∴ x∈A

∴ 存在着 n∈Z,有 x=2n+1 ∴ 存在着 m=n+1,有 m∈Z,且 x=2m-1 ∴ . 综上得 A=B.

【评析】本题我们首先看到的是它们都表示奇数集,所以应该是相等的.但这不能作为一个严

19

谨的证明过程,对于两个无穷集合来说,我们没有办法用一一比较的方法来说明两个集合的元素完 全相同,所能借用的只能是抽象的逻辑推理. (3)元素、集合之间及集合与集合之间的关系: 【答案】① 元素与集合之间的关系用 示,用下面的例题来检验自己的掌握情况: 例 5 用符号“ 1) 0 N , 0 , 0 ”填空: {0}; 2) R, . 0 ∈ {0}; {0}, Q Z; 来表示; ② 两个集合之间的关系用 来表

3) A= 【答案】1) 0 ∈ N, ,

B=

0

2)

R,

{0},

Q

Z;

3) A=

B=

【评析】①首先应看清各题所反映的是哪类关系,是元素与集合之间的关系,还是两个集合之 间的关系; ②对于两个集合之间的包含关系,与集合相等的关系类似,我们所关注的仅是组成集合的元素, 而与描述集合的具体的特征性质无太大的关系.如第 3)题中,虽然 A 集合是一个二次方程的解集, B 是一个不等式的解集,但由于 A 集合中的所有元素都在 B 集合中,所以 A B. (4)集合元素的特性与集合的运算: 【答案】①作为集合的元素具有确定性、互异性、无序性; ②集合的运算包括交、并、补三种运算. 例 6 若集合 【答案】解:由题意得: 或 ,而 . ,求实数 的值. ,更准确的说是

1) 当

时,

解得



与集合元素的互异性矛盾,

故舍去.

2) 当

时,解得

.所以



20

例7 若 求:1) ,

, ; ,

. ,

2)

( 或

)

( ,

).

【答案】解: ,

1) ∴ 2) ∴ ( =

= , ( )=

, = .

= ,



)

【评析】有关集合的运算问题,若利用维恩图或数轴会取到事半功倍的效果. (5)集合与简易逻辑的知识交汇点: 【答案】①集合的特征性质描述法 中的 作为一个特征性质它本身是一个简单命题或是

构成命题的一个基本元件,这就是集合与简易逻辑的关联之处. ②集合间的包含关系与命题间推出关系: 设 所以 反之, 若 . , 则易知 . 是指若 具有性质 ,则 具有性质 ,

③ 集合间的相等关系与充要条件: 设 由②易知若 反之若 ,则 ,则 . ,

21

用下面例题来检验理解和掌握情况: 例 8 用所学的集合与简易逻辑的知识解释初中在解分式方程时产生增根的原因? 【解】初中解分式方程时,所采用的是推出关系,所以由上述讨论易知解集有可能扩大,但决不会 缩小;去掉增根的方法是采用代入检验法 例 9 甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丁是丙的充分条件,那么,甲是丁的?( (A) 充分而非必要条件 (B) 必要而非充分条件 (C) 充分且必要条件 )

(D) 以上答案都不对 ,

【解】 设甲、 丙、 解: 乙、 丁三个条件所确定的集合分别为 A、 C、 由已知条件得: B、 D, 易知 A 与 D 之间的关系不定,所以正确选项应为(D) 另解:用推出关系得:甲 乙 丙 丁,故甲、丁之间关系不定,选(D)

例 10 用



两种不同的方法解分式方程 原方程



【解】解 1:

所以原方程的解集为



解 2:原方程



经检验 x2=1 为增根.

22

所以原方程的解集为



【评析】对于一些集合的运算问题,依据定义和有关的运算律较难时,采用维恩图和数轴等表示会 使问题中所隐含的关系明朗化.

三.难点说明与突破 本章的难点之一在于:集合的运算及复合命题: 例 11 知集合 A,B 都是实数集 R 的子集,且 , ,求 【解】解: . 由维恩图得: 所以 . , . , ;

【评析】对于一些集合的运算问题,依据定义和有关的运算律较难时,采用维恩图和数轴等表示 会使问题中所隐含的关系明朗化. 例 12 用真值表来说明原命题与逆否命题是等价命题.

第三列与第六列完全相同,所对原命题与逆否命题是等价命题.

23

例 13 对一元二次不等式解法的理解: 【答案】对一元二次不等式的理解与认识,也就是二次函数与二次方程,二次不等式三者之间的 关系.

二次函数

是研究自变量 x 与变量 y 之间的对应关系,即研究变化过程中的变

化规律,显然二次方程与二次不等式是这一变化过程中的某种特殊情况,求二次方程的解就是求当 x 为何值时,y 的值为 0,求二次不等式的解集就是求当 x 为何值时,y 的值大于 0,或者小于 0 等.从 中我们可以看出,一元二次程 的两根即是函数值正负变化的分界点,又是不等式

解集的端点,这正是三者之间的交汇点.只有真正理解了这三者之间的联系,才能完全理解一元二次 不等式的解法.才能解决由此产生的各种变式问题.

四、误(疑)点辨析与解除 (1) 用描述法表示的集合对特征元素的关注不够:

例 14 若集合 于???( ) (A){(0,2),(1,1)} 【解】 解: (2) 复合命题的否定命题: 例 15 写出下列各命题的否定命题: 1) 直角都相等; (B) ,







(C){1,2} , ∴

(D) {0,1} .

【解】存在两个角,∠A、∠B 均为直角,但∠A≠∠B. 【评析】在写一个命题的否命题之前,我们应认真分析原命题的内容和形式. 直角都相等是一个全称性命题,即“任意直角都相等”它的否命题应是存在性,即:存在着两个 角,他们虽都是直角,但它们不相等.

24

2) 任意三角形中,一定有一个内角不小于 60 度. 【解】存在一个三角形,三个内角都小于 60 度.


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