nbhkdz.com冰点文库

导数知识点

时间:2015-04-21


导数及其应用 1、函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率:

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1
0

2、导数定义: f ? x ? 在点 x0 处的导数记作 y ? x ? x ? f ?( x0 ) ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; . ?x ?0 3、函数

y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 处的切线的斜率. 4、常见函数的导数公式: ① C ' ? 0 ;② ( x n ) ' ? nxn?1 ; ③ (sin x) ' ? cos x ;④ (cosx) ' ? ? sin x ; ⑦ (log a x) ' ?
1 1 ;⑧ (ln x ) ' ? x ln a x

y ? f ? x?

在点

? ? x0 , f ? x0 ??

?x

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ; 5、导数运算法则: ? ?1? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x ? ? g? ? x ? ;

? 2?

? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? ;

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? g ? x ? ? 0? ? ? ? 2 g x ? ? ? ? ? 3? ? g ? x ? ? ? ?



6、在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增; 若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减. 7、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
8、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的
一个是最大值,最小的一个是最小值. 9、导数在实际问题中的应用:最优化问题。

课堂练习:
1.下列各式正确的是( ) A.(sina)′=cosa(a 为常数) B.(cosx)′=sinx C.(sinx)′=cosx 1 D.(x-5)′=-5x-6 x 2.曲线 y= 在点(-1,-1)处的切线方程为( x+2 A.y=2x+1 C.y=-2x-3 B.y=2x-1 D.y=-2x-2 )

3.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).且 x>0 时,f′(x)>0,g′(x)>0,则 x<0 时( A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 ) B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0

4.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 处取得极值, 则 a=( A.2 ) B.3 C.4 D.5

5.对任意的 x∈R,函数 f(x)=x3+ax2+7ax 不存在极值点的充 要条件是( ) B.a=0 或 a=7 D.a=0 或 a=21

A.0≤a≤21 C.a<0 或 a>21

6.如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,则下列结论正 确的是( )

A.在区间(-2,1)内 f(x)是增函数 B.在区间(1,3)内 f(x)是减函数 C.在区间(4,5)内 f(x)是增函数 D.在 x=2 时,f(x)取极小值 7.若函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a 在区间[-2,-1]上的最大值 为 2,则它在该区间上的最小值为( A.-5 C.10 ) B.7 D.-19 )

8.曲线 y=x2-1 与 x 轴围成图形的面积等于( 1 A.3 C.1 2 B.3 4 D.3
2

?x ,x∈[0,1], 9.设 f(x)=?1 ?x,x∈?1,e],
4 A.3 6 C.5

则?e f(x)dx 等于(
?0

)

5 B.4 7 D.6

10.若函数 f(x)在 R 上可导,且 f(x)>f′(x),则当 a>b 时,下列 不等式成立的是( )

A.eaf(a)>ebf(b) B.ebf(a)>eaf(b)

C.ebf(b)>eaf(a) D.eaf(b)>ebf(a) 第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 如果函数 f(x)=x3-6bx+3b 在区间(0,1)内存在与 x 轴平行的 切线,则实数 b 的取值范围是________. 12. 函数 y=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10, 则 a=________. 13.如果圆柱的轴截面周长为定值 4,则圆柱体积的最大值为 ________. 14.一动点 P 从原点出发,沿 x 轴运动,其速度 v(t)=2-t(速度 的正方向与 x 轴的正方向一致),则 t=3 时,动点 P 移动的路程为 ________. 三、解答题:本大题共 4 小题,满分 50 分. 1 4 15.(12 分)已知曲线 y=3x3+3. (1)求曲线在 x=2 处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程.

1 16.(12 分)设函数 f(x)=aex+aex+b(a>0). (1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值; 3 (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=2x,求 a,b 的值.

4 17.(12 分)若函数 f(x)=ax2+2x-3lnx 在 x=1 处取得极值. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间及极值.

18.(14 分)已知两个函数 f(x)=7x2-28x-c,g(x)=2x3+4x2- 40x. (1)若对任意 x∈[-3,3],都有 f(x)≤g(x)成立,求实数 c 的取值 范围; (2)若对任意 x1∈[-3,3],x2∈[-3,3],都有 f(x1)≤g(x2)成立,求 实数 c 的取值范围.

课后练习:
1. (2007 年广东文)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是____________. 2. (2009 福建卷理)若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 取值范围
3

是_____________.

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是 2 4 3 4. 若函数 y ? ? x ? bx 有三个单调区间,则 b 的取值范围是 3
3. 若 f ( x) ? ?
2 5. (2007 年江苏 9)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于

任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,则

f (1) 的最小值为________ f '(0)
3

6. (2007 年江苏 13)已知函数 f ( x) ? x ?12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别 为 M , m ,则 M ? m ? 7. 函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值 10,则 a=
3 2 2 3 2 2

,b=

8.已知函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值为 10,则 f(2)=___________ 9.(06 福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度

1 3 x3 ? x?8 80 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y= 128000 (0<x≤120).已知甲、
乙两地相距 100 千米。 (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

10.设函数 f ? x ? ? ax ? ln x , g ? x ? ? a x .
2 2

⑴当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ? x ? 图象上的点到直线 x ? y ? 3 ? 0 距离的最小值; ⑵是否存在正实数 a ,使 f ? x ? ? g ? x ? 对一切正实数 x 都成立?若存在,求出 a 的取值范 围;若不存在,请说明理由.

答案

, ?? ? , 1. ? ?e ?
5.

?1

?

2.

(??, 0) , 3. b ? ?1 ,
7. a=4,b=-11,

4. (0, ??) , 8. 11 或 18,

2



6. 32,

解: (I)当 x 要耗没 (

? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了

100 ? 2.5 小时, 40

1 3 ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升) 。 128000 80

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。

100 小时,设耗油量为 h( x) 升, x 1 3 100 1 2 800 15 x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 依题意得 h( x) ? ( 128000 80 x 1280 x 4
(II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了

h '( x) ?

x 800 x3 ? 803 ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2
? 80.

令 h '( x) ? 0, 得 x

当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。

? 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25.
因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。

⑴ 由 f ? x ? ? ?x ? ln x 得 f ? ? x ? ? ?1 ?

1 1 ,令 f ? ? x ? ? 1 得 x ? x 2

∴所求距离的最小值即为 P ? , f ? ? ? 到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离

?1 ?2

? 1 ?? ? 2 ??

d?

1 ? 1 ? ? ? ? ? ln 2 ? ? 3 2 ? 2 ? 2

?

1 ? 4 ? ln 2 ? 2 2

⑵假设存在正数 a ,令 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?

? x ? 0? 则 F ? x ?max ? 0

由 F?? x? ? a ?

1 1 ? 2a 2 x ? 0 得: x ? x a

∵当 x ?

1 时, F ? ? x ? ? 0 ,∴ F ? x ? 为减函数; a 1 时, F ? ? x ? ? 0 ,∴ F ? x ? 为增函数. a

当0 ? x ?

∴ F ? x ?max ? F ?

1 ?1? ? ? ln a ?a?

∴ ln

1 ?0 a

∴a ? e

∴ a 的取值范围为 ?e, ?? ?


导数知识点归纳及应用

导数知识点归纳及应用_理学_高等教育_教育专区。导数知识点归纳及应用●知识点归纳 知识点归纳 一、相关概念 1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x ...

导数知识点归纳和练习

导数知识点归纳和练习_数学_高中教育_教育专区。一、相关概念 1.导数的概念: f(x 0 )= lim 注意: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时...

高中数学导数知识点归纳总结

高中数学导数知识点归纳总结_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中导数知识点归纳一、基本概念 1. 导数的定义: 设 x 0 是函数 y ? f ( x) 定义域的一点...

高中文科导数知识点汇总

高中文科导数知识点汇总_高三数学_数学_高中教育_教育专区。导数公式及知识点 1、函数的单调性 (1)设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么 f ( x1 ) ?...

导数知识点总结

导数知识点总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。导数 知识要点导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数 导数的运算 导数的运算法则 函数的单调...

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案_理化生_高中教育_教育专区。导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,...

导数高考知识点总结(最全)

导数知识点归纳及应用 ●知识点归纳 一、相关概念 1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y =f (...

高中数学导数及其应用知识点

高中数学导数及其应用知识点_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中导数复习专用,很好的家教资料~~ 导数知识点归纳及其应用●知识点归纳一、相关概念 1.导数的概念...

导数微分知识点

导数微分知识点_理学_高等教育_教育专区。第二章 导数与微分一、导数定义 名称 函数 定义记号 设函数 f ( x ) 在 U ( xo ) 点有定义 f ?( x0 ) ? ...

高中导数经典知识点及例题讲解

高中导数经典知识点及例题讲解_高二数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中导数经典知识点及例题讲解_高二数学_数学_高中教育_教育...