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湖北省武汉武昌区2013届高三期末调研考试 数学(文)

时间:2013-02-06


武汉武昌 2013 届高三期末调研考试

数学(文)试题
本试题卷共 4 页,共 22 题。满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡指定位置,认真核 对与准考证号条形码上的信息是否一致,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位 置。 2.选择题的作答:选出答案后,用 2

B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。 3.非选择题的作答:用黑色墨水的签字笔直接答在答题卡上的每题所对应的答题区域内。答 在试题卷上或答题卡指定区域外无效。 4.考试结束,监考人员将答题卡收回,考生自己保管好试题卷,评讲时带来。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,集合 A={x|lg(x+1)≤0},B={x| 3x ≤1},则 ? u(A ? B)=( A. ?? ,0) ? (0,+ ? ) ( C. (-∞,-1] ? (0,+∞) B. (0,+∞) D. (-1,+∞) ) )

?1 3 ? 2.复数 ? ? ? 2 2 i ? (i 为虚数单位)的值是( ? ? ?

3

A.1 B.-1 C.-i D.i 3.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( ) A.所有奇数的立方都不是奇数 B.不存在一个奇数,它的立方是偶数 C.存在一个奇数,它的立方是偶数 D.不存在一个奇数,它的立方是奇数 4.某天清晨,小明同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常,但 是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面大致能反映出小明这 一天(0 时~ 24 时)体温的变化情况的图是 ( )

5.在△ABC 中,A= A.

? 4

? ,a=l,6= 2 ,则 B=( 6 3? B. 4

) C.

? 3? 若 4 4

D.

? 5? 若 4 6

6.已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,有下列命题: ①? ∥? ? l ⊥m; ②? ⊥ ? ? l ∥ m;③l ∥ ? ? ⊥ ? ; ④l ⊥m ? ? ∥? . m

其中正确的命题是( ) A.① 与② B.③ 与④ C.② 与④ D.① 与③ 7.若从区间(0,2)内随机取两个数,则这两个数的比不小于 4 的概率为( ) ... A.

1 8

B.

7 8

C.

1 4

D.

3 4

8.在平面直角坐标系中,函数 y= cosx 和函数 y=tanx 的定义域都是 ? ? 则点 P 的纵坐标为( A. ) B.

? ? ?? , ? ,它们的交点为 P, ? 2 2?

?1 ? 5 2

?1 ? 5 2

C.

2 2

D.

3 2

x2 y 2 9.已知双曲线 2 ? 2 (a>0,b>0)的离心率 e=2,过双曲线上一点 M 作直线 MA,MB 交双曲 a b
线于 A,B 两点,且斜率分别为 k1,k2.若直线 AB 过原点,则 k1·k2 的值为( A.2 B.3 C. 3 D. 6 ) )

10.若不等式 2x≥logax 对任意的 x>0 都成立,则正实数 a 的取值范围是 (
e A. ? e , ?? ? ?

? 21e ? B. ? e , ?? ? ? ?

2e C. ?e , ?? ? ?

? 1 ? D. ? e e , ?? ? ? ?

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 5 分, 35 分, 共 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答 错位置,书写不清,模棱两可垧不得分. 11.已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所 示,则该几何体的全面积为 .

12.阅读如图所示的程序框图,输出的 S 的值为 . o 13.已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60 ,则 a+b 在 a 方向上的投影为



14.已知某单位有 40 名职工,现要从中抽取 5 名职工,将全体职工随机按 l~40 编号,并按编号 顺序平均分成 5 组,按系统抽样方法在各组内抽取一个号码. (I)若第 1 组抽出的号码为 2,则听有被抽出职工的号码为 ; (Ⅱ )分别统计这 5 名职工的体重(单位:公斤) ,获得体重数据的茎叶图 如图所示,则该样本的方差为 . 2 2 15.已知圆 x +y =4 上恰好有 3 个点到直线/:y =x +b 的距离都等于 l,则 b= 。 16.在等差数列{an}中,a1 =2,a3 =6,若将 a1,a4,a5 都加上同一个数,所得的三个数依次成等 比数列,则所加的这个数为 . 17. 进制的四位自然数的反序数是指千位与个位位置对调, 10 百位与十位位置对调的数, 例如 4 852 的反序数就是 2 584.1955 年,卡普耶卡(D.R.Kaprekar)研究了对四位自然数的一种变 换:任给出四位数 ao,用 ao 的四个数字由大到小重新排列成一个四位数 m,再减去它的反序 ............ 数 n,得出数 a1=m-n,然后继续对 a1 重复上述变换,得数 a2,…,如此进行下去,卡普耶 卡发现,无论 ao 是多大的四位数,只要四个数字不全相同,最多进行 k 次上述变换,就会出现 变 换 前 后 相 同 的 四 位 数 t . 请 你 研 究 两 个 10 进 制 四 位 数 5 298 和 4 852 , 可 得 k= ;四位数 t= 。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) . 已知函数 g (x)= Asin( ? x ? ? ) (A>0,? >0,0< ? < ? )的图象如图所示, 其中点 A( 2) B( 、

11? , 0 )分别是函数的最大值点和零点. 6

? , 3

(I)求函数 y=g(x)的解析式; (Ⅱ )若函数 f(x)= 2g(x)cosx+m 在[0, 小值及相应的 x 值的集合.

? ]上的最大值为 6,求函数 f(x)在 R 上的最 2

19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0,S5 =4a3 +5,且 a1;a2;a5 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )当 n≥2,n∈ *时,求 N

?S
i?2

n

1 。 n ?1

20. (本小题满分 13 分) 如图,已知四棱锥 S-A BCD 是由直角梯形沿着 CD 折叠而成,其中 SD=DA=AB=BC=l, AS∥ BC,AB⊥AD,且二面角 S-CD-A 的大小为 120o. (Ⅰ)求证:平面 ASD⊥平面 ABCD; (Ⅱ )设侧棱 SC 和底面 ABCD 所成角为 ? ,求 ? 的正弦值.

21. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点_P 到定点 F(-1,0)的距离的两倍和它到定直线 x= -4 的距离 相等. (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程,并说明轨迹 C 是什么图形; (Ⅱ )已知点 Q(l,1) ,直线 l:y=x+m(m∈ R)和轨迹 C 相交于 A、B 两点,是否存在实 数 m,使△ABQ 的面积 S 最大?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=

1nx ? k (k 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数) ,曲线 y=f(x)在 ex

点(l,f(l) )处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ )求 f(x)的单调区间; (Ⅲ )设 g(x)=xf′(x) ,其中 f′(x)为 f(x)的导函数.证明:对任意 0<x<1,g(x) -2 <1 +e

参考答案
一、选择题: 1.C 2.B 二、填空题: 11. 26? 15. ? 3.C 12. 4.C 5.C 13. 2 6.D 7.C 8.A 9.B 10.B

3

14.(Ⅰ) 2,10,18,26,34; (Ⅱ) 62

2

16. ? 11

17. k ? 7 ; t ? 6174

三、解答题: 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)根据图象可知 T ?

所以 ? ? 1. 又 A=2,所以 g ?x ? ? 2 sin?x ? ? ? .

3 4

11 ? ? ? ,解得 T ? 2? . 6 3

将点 A 点的坐标代入函数 y ? g ?x ? ,得 sin( 所以

?
3

? ? ) ? 1,

?
3

? ? ? 2k? ?

?
?
2
.

.

依题意 k ? 0 , ? ?

6

所以, g ? x ? ? 2 sin( x ?

?
6

) .………………………………………………(6 分)

(Ⅱ) f ? x ? ? 2 g ? x ? cos x ? m ? 4 sin( x ?

?
6

) cos x ? m

? cos x sin ) cos x ? m 6 6 2 ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? m

? 4(sin x cos

?

?

? 3 sin 2x ? cos2x ? 1 ? m ? ? 2 sin( 2 x ? ) ? m ? 1 . ………………………………………………(9 分) 6 ? ? ? 7? ], 由 x ? [0, ] ,得 2 x ? ? [ , 2 6 6 6 于是函数 f ?x ? 的最大值为 2 ? m ? 1 ? 6 ,解得 m ? 3 . ? 所以 f ? x ? ? 2 sin( 2 x ? ) ? 4 . 6

当 x ? R 时,最小值为 ? 2 ? 4 ? 2 ,此时 x 满足 2 x ?

?
6

? 2k? ?

3? ?k ? Z? 2

2? ? ? 相应的 x 值的集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z? . 3 ? ?
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 S5 = 4a3 + 6 , 所以, 5a1 ?

……………………(12 分)

5? 4 d ? 4?a1 ? 2d ? ? 5 . 2

① ………………………………(2 分)

因为 a1 , a2 , a5 成等比数列, 所以, a1 ?a1 ? 4d ? ? ?a1 ? d ? .
2



………………………………(4 分)

由①,②及 d ? 0 ,得 a1 ? 1, d ? 2 . 所以 an ? 2n ? 1 . ………………………………………………(6 分)

(Ⅱ)由 an ? 2n ? 1 ,可知 S n ?
? 所以当 n ? 2 , n ? N 时,

?1 ? 2n ? 1? ? n ? n 2 .
2

1 1 . ? 2 Sn ?1 n ?1
…………………………………(9 分)



1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?. S n ? 1 ?n ? 1??n ? 1? 2 ? n ? 1 n ? 1 ?
1 1 1 ? ??? S 2 ? 1 S3 ? 1 Sn ?1

所以,

?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1? ? 1 1 ?? ? 1 ?? 1 ? 3 ? ? ? 2 ? 4 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? n ? 2 ? n ? ? ? n ? 1 ? n ? 1 ?? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
2n ? 1 1? 1 1 1 ? 3 ?1 ? 2 ? n ? n ? 1? ? 4 ? 2n?n ? 1? . 2? ?

?

所以,

?S
i ?2

n

3 2n ? 1 1 = ? . …………………………………(12 分) 4 2n?n ? 1? n ?1

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 SD ? DA ? AB ? BC ? 1, AS // BC , AB ? AD , 所以 CD ? SD, CD ? AD .
? 所以,二面角 S ? CD ? A 的平面角为 ?ADS ,所以 ?ADS ? 120 .

又 AD ? SD ? D , ∴ CD ? 平面 ADS . 又? CD ? 平面 ABCD , ∴平面 ASD ? 平面 ABCD . ………………………………………………(6 分) (Ⅱ)过点 S 作 SH ? AD ,交 AD 的延长线于 H 点. ∵平面 ASD ? 平面 ABCD ,平面 ASD ? 平面 ABCD ? AD , ∴ SH ? 平面 ABC . ∴ CH 为侧棱 SC 在底面 ABCD 内的射影. 所以, ?SCH 为侧棱 SC 和底面 ABC 所成的角 ? .………………………(10 分) 在 Rt ?SHD 中, ?SDH ? 180 ? ?ADS ? 180 ? 120 ? 60 ,
? ? ? ?

SD ? 1 , SH ? SD sin 60? ?
?

3 . 2

S

在 Rt ?SDC 中, ?SDC ? 90 , H

D

A B

SD ? AB ? DC ? 1 ,∴ SC ? 2 .
C 在 Rt ?SHC 中, sin ? ?

SH 3 6 . ? ? SC 2 2 4

即 ? 的正弦值为

6 .……………………………………………………(13 分) 4

21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设 d 是点 P 到定直线 x ? ?4 的距离, P( x, y) ,根据题意, 所求轨迹就是集合 M ? P 2 PF ? d . 由此,得 2

?

?

?x ? 1?2 ? y 2

? 4 ? x . ………………………………………(3 分)

x2 y2 ? ? 1. 4 3 所以,点 P 的轨迹是长轴、短轴长分别为 4 , 2 3 ,焦点在 x 轴上的椭圆.……(6 分) (Ⅱ)设直线 l : y ? x ? m ?m ? R ? 和轨迹 C 相交于 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? 两点. ? y ? x ? m, ? 联立方程得: ? x 2 y2 ? ? 1, ? 3 ?4 2 2 消去 y ,得 7 x ? 8mx ? 4m ? 12 ? 0 .
平方化简得 3x 2 ? 4 y 2 ? 12,即 上式有两个不同的实数根, ? ? 64m ? 4 ? 7 ? 4 m ? 3 ? 16? 3 ? 7 ? m
2 2

?

?

?

2

?? 0.

且 x1 ? x 2 ? ? 于是, AB ?

8m 4m ? 12 , x1 x 2 ? . 7 7
2

……………………………………(9 分)

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y 2 ?2

? 2 ?x1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ?
2

?

?

4 6 ? 7 ? m2 . 7

点 Q ?1,1? 到 l : y ? x ? m 的距离为 所以, ?ABQ 的面积 S ?

m 2

.

m 2 3 1 4 6 ? ? ? ? 7 ? m2 ? 7 2 7 2

?7 ? m ?m
2

2

?

2 3 7 ? m2 ? m2 ? ? 3. 7 2
2 2

当且仅当 7 ? m ? m ,即 m ? ?

14 时, ? ? 16? 3 ? 7 ? m 2 ? 0 , S 取得最大值,最大 2

?

?

值为 3 .……………………………………………………(14 分) 22. (本小题满分 14 分) 1 ? ln x ? k 解: (I) f ?( x) ? x , ex 1? k 由已知, f ?(1) ? ? 0 ,∴ k ? 1 .………………………………………………(4 分) e 1 ? ln x ? 1 (II)由(I)知, f ?( x) ? x . ex 1 1 1 设 k ( x) ? ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函数. x x x 由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) .………………(8 分) (III)由(II)可知当 0 ? x ? 1 时, xf ∴ g ( x) ?
/

?x ? ? 1 ? x lnx x ? x 中的分母 e
e

x

>1,且 g ( x) ? 0 ,

1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex 设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) .
当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 . 所以,当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 . 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 . 综上,对任意 0 ? x ? 1 , g ( x) ? 1 ? e?2 .……………………………………………………(14 分)
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