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【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:第十二章 概率


第十二章





2014高考导航
考纲解读
1.了解随机抽样、分层抽样的意义.会用它们对简单实际 问题进行抽样. 2.会用样本频率分布估计总体分布. 3.会用样本的数字特征等估计总体.

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本节目录

教 材 回 顾 夯 实

双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理

1.抽样方法的辨析
(1)简单随机抽样 逐个 一般地,设一个总体的个体数为N.如果通过_______抽取的方

法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率 相等 _____,就称这样的抽样为简单随机抽样.
(2)分层抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时,为了使样本更充分 地反映总体的情况,常将总体分成几部分,然后按照各部分 所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.其中所分成的 各部分叫做层.
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2.频率分布 (1)频率分布 样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比,就是该 频率 数据的________.所有数据(或者数据组)的频率分布变化规律 样本频率分布 叫做______________,可以用样本频率分布表、样本频率分 布条形图或者频率分布直方图等来表示.

(2)总体分布
在数理统计中,通常把被研究的对象的全体叫做总体,而把 组成总体的每一个单位叫做个体.总体分布反映了总体在各

个范围内取值的概率.

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3.利用样本的特征数估计总体 (1)总体平均数的估计 1 对于一个总体的平均数,可用样本平均数x= (x1+x2+x3+? n +xn)对它进行估计. 总体平均数(又称总体期望值)反映了一个总体的平均水平,由 于它不易求得,常用样本平均数进行估计. (2)总体方差(标准差)的估计
- - 1 2 对于一个总体的方差,可用样本方差 s = [(x1-x) +(x2-x )2 n -

2



+?+(xn-x)2]对它进行估计;对于一个总体的标准差,可用 样本标准差 s 对它进行估计.
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思考探究

1.分层抽样的抽样比如何确定?
n 提示:抽样比可用样本容量 n 与总体容量 N 的比 ,也可以用 N n1 某一层的被抽取的个体数 n1 与该层的总数 N1 之比 . N1

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思考探究
2.若数据 x1、x2、?、xn 的平均数为 x ,方差为 s2,那么数 据 x1+a、x2+a、?、xn+a 的平均数、方差各有什么变化? 提示:x1+a、x2+a、?、xn+a 的平均数变为 x +a,而方差 不变,仍为 s2.

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课前热身
1.(教材改编)一组观察值为4、3、5、6,出现的次数分别为3、 2、4、2,则样本平均值为( A.4.55 C.12.5 答案:A B.4 D.1.64 )

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2.一个容量为50的样本,已知某组的频率为0.12,则该组样 本的频数为( A.5 C.7 ) B.6 D.8

答案:B

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3.(2012· 高考山东卷)在某次测量中得到的A样本数据如下: 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每 个都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同

的是(
A.众数

)
B.平均数 D.标准差

C.中位数

解析:选D.只有标准差不变,其中众数、平均数和中位数 都加2.

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4.对总体为N的一批零件抽取一个容量为30的样本,若每个 零件被抽取的概率为0.25,则N等于________. 答案:120

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5.(2012· 高考江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人
数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级 的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取

________名学生.
3 解析:由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的 , 10 3 利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取 50× =15 10 名学生.

答案:15

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 抽样方法

对于简单随机抽样和分层抽样的实施, 都要首先清楚总体数 与样本数.总体个数较少时,一般采取简单随机抽样,总体 较多,且差异性明显,则采用分层抽样,按比例从各层中分 别抽取.甚至两种方法并用.

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例1

某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、

三分厂的产量之比为1∶2∶1,用分层抽样方法(每个分厂的产 品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿 命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出

的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h,则抽
取的100件产品的使用寿命的平均值为__________h.

【思路分析】
求平均值.

根据分层抽样求出各分厂抽取的产品数,再

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【解析】 由分层抽样知,从 3 个分厂抽出的 100 件电子产品 中,每个分厂抽取的个数比也为 1∶2∶1,故分别有 25,50,25 件.由 3 个分厂算出的使用寿命的平均值可得抽取的 100 件产 品的平均使用寿命为 980×25+1 020×50+1 032×25 =1 013 h. 100

【答案】

1 013
使用分层抽样,在各层中抽样时,应按同一

【名师点评】 抽样比抽取.

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考点2

用样本的频率分布估计总体分布

对于样本数据呈现在某范围内的概率分布问题,可利用频率 分布直方图来估计总体分布.

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例2

在某中学举行的电脑知识竞赛中,将其中两个班的参

赛学生的成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组,绘制出如 下的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第 四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频 数是40.求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图.

【思路分析】

求出第二小组的频率进而求出相应小矩形的

高即可补全直方图.
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【解】

各个小直方图频率之和为 1.

∴第二小组的频率为 1.00-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40. 频率 0.40 ∴落在 59.5~69.5 的第二小组的小长方形的高= = = 10 组距 0.04,由此可补全直方图,补全的频率分布直方图如图所示.

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【思维总结】 解决直方图有关问题要注意使用以下结论或公 频数 式:①频率= ;②小矩形面积等于该组的频率;③各小 样本容量 矩形面积之和(即频率之和)为 1;④小矩形的高与频数成正比.

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跟踪训练 求本例中两个班参赛的学生人数是多少?
解:设参赛的人数为 n,根据第二组的频数及频率, 40 可得 =0.40,∴n=100. n ∴共有 100 人参赛.

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考点3

用样本的平均数、方差估计总体

对不同的总体进行性能等方面的优势比较时,就采用平均数

或方差估计总体.

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例3

某高校运动会开幕之前,为了从甲、乙二人中选出一

人参加运动会,教练将两人近期的五次训练测试成绩得分情 况绘成了下图. (1)分别求出两人得分的平均数与方差;

(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.
【思路分析】 (1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩;

(2)利用公式求出平均数、方差,再分析两人的成绩,
作出评价.
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【解】 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲:10 分,13 分,12 分,14 分,16 分; 乙:13 分,14 分,12 分,12 分,14 分. 10+13+12+14+16 x 甲= =13, 5 13+14+12+12+14 x 乙= =13, 5 1 s2 = [(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+ 甲 5 (16-13)2]=4, 1 s乙= [(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+ 5
2

(14-13)2]=0.8.
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(2)由 s2 >s2 可知乙的成绩较稳定. 甲 乙 从折线图看, 甲的成绩基本呈上升状态, 而乙的成绩上下波动, 可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.

【名师点评】

平均数与方差都是重要的数字特征,是对总

体的一种简明的描述,当两组数据的平均数相同或相近时, 用方差或标准差比较它们的波动大小.样本方差或标准差越 大,样本数据的波动越大,稳定性越差;反之,样本数据波 动越小,稳定性越好.
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方法感悟
方法技巧

1.两种抽样方法的比较
类别 简单随机 抽样 分层抽样 共同点 抽样过程 中每个个 体被抽取 的概率相 等 不同点 从总体中 逐个抽取 将总体分 成几层, 分层进行 抽取 适用范围 总体中的个 各层抽样 体数较少 时采用简 总体由差异 单随机抽 明显的几部 样 分组成 相互联系

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nk 2.在分层抽样时,若某层中 · 不是整数,则需先剔除几个个 n N 体,在剔除时要随机剔除以保证每个个体被抽取的机会相等. 3. 在分层抽样中,根据“分层抽样中各层抽取个数依各层个体 数之比来分配”这一特点,可构造方程来进行有关计算. 4.频率分布直方图的绘制步骤

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失误防范
1.不要把直方图错以为条形图,两者的区别在于条形图是离 散随机变量,纵坐标刻度为频数或频率,直方图是连续随机变 量,纵坐标刻度为频率/组距,这是密度.连续随机变量在某一 点上是没有频率的. 2.在用这两种抽样方法抽取样本的过程中,总体中每个个体 n 被抽到的概率均相等,且为 ,n、N 分别为样本容量、总体的 N 个体数.

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频率 频数 3.(1)频率分布直方图中纵轴表示 ,频率= ; 组距 样本容量 (2)频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频 率,各小长方形的面积之和等于 1.

(3)在频率分布直方图中,组距是一个固定值,所以长方形的高 的比也就是频率之比.

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考向瞭望把脉高考
命题预测 从近两年的高考试题来看,主要以选择题或填空题的形式考 查:(1)分层抽样的各层所抽取的容量.(2)频率分布直方图, 某范围内的频数或频率,或者将这两者结合起来,属于较容

易的题目.有时在解答题中以条件的形式出现.
在2012年的高考中,福建卷、山东卷、江苏卷等考查了抽样 方法,安徽卷考查了频率分布表,江西卷考查了样本分布估

计整体分布与不等式的结合.
预测2014年高考仍会以选择题、填空题形式考查本节内 容.题目以中低档为主,也可能融合概率问题.
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规范解答
例 (本题满分13分)(2012· 高考安徽卷)若某产品的直径长

与标准值的差的绝对值不超过1 mm时,则视为合格品,否则 视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的 此种产品中,随机抽取5 000件进行检测,结果发现有50件不 合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位: mm), 将所得数据分组,得到如下频率分布表:

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分组 [-3,-2) [-2,-1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计

频数
8

频率 0.10 0.50

10 50 1.00

(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置;
(2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值 的差落在区间(1,3]内的概率; (3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件 不合格品.据此估算这批产品中的合格品的件数.
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【解】

(1)如下表所示.

频率分布表 分组 [-3,-2) [-2,-1) 频数 5 8 频率 0.10 0.16

(1,2]
(2,3] (3,4] 合计

25
10 2 50

0.50
0.20 0.04 1.00 (5分)

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(2)由频率分布表知,该厂生产的此种产品中,不合格品的直径 长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为 0.50+0.20=0.70.(9 分) (3)设这批产品中的合格品数为 x 件, 50 20 依题意有 = , 5 000 x+20 5 000×20 解得 x= -20=1 980. 50 所以该批产品的合格品件数估计是 1 980 件.(13 分)

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【名师点评】

本题主要考查频率分布直方图、频数、概率

等基本概念,总体分布的估计和数据处理能力,难度较

小.解题的关键是读懂图表.第(3)问实际上是由频率求总
数.本题虽然是解答题,但考查的仍是统计的基本知识和基 本方法.

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知能演练轻松闯关

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