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【导数理科带答案】北京历年高考题及模考题

时间:2013-12-12


北京历年高考题及模考题(理) 【导数】
【2006 年北京】 (16) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极大值 5 ,其导函数 y ? f '( x) 的图象经过点
3 2

(1, 0) , (2, 0) ,如图所示.求:
(Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a,

b, c 的值.

【2008 年北京】 (18) (本小题共 13 分) 已知函数 f(x)=

2x ? b ,求导函数 f1 (x),并确定 f(x)的单调区间. 2 ( x ? 1)

【2009 年北京】 11. f ( x) 是偶函数, 设 若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 1, 则该曲线在点 (?1, f (?1)) 处 的切线的斜率为______________。 18. (本小题共 13 分) 设函数 f ( x) ? xe (k ? 0)
kx

(I)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围。

【2010 年北京】 18、 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? (I) (II)

k 2 x (k ? 0) . 2 当 k ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; 求 f ( x) 的单调区间.

1

【2011 年 1 月西城区期末】 19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x (a ? R) . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范
2

围. 解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

2 ( x ? 0) . x

………………2 分

(Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ?

2 (ax ? 1)( x ? 2) . (Ⅱ) f ?( x) ? ( x ? 0) . 3 x

………5 分

①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ?1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . ②当 0 ? a ? ………………6 分

1 1 1 1 时, ? 2 , 在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , 2 a a a 1 a 1 a

故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . …………7 分 ③当 a ? ④当 a ?

( x ? 2)2 1 时, f ?( x) ? , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) . ………8 分 2x 2

1 1 1 1 时, 0 ? ? 2 , 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , 2 a a a 1 a 1 a
………9 分

故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) .

(Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x) max ? g ( x) max . 由已知, g ( x) max ? 0 ,由(Ⅱ)可知, ①当 a ?

1 时, f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?

1 . ……………11 分 2

1 1 1 时, f ( x) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 a 1 ? 2ln a . 2a

故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? 由a ?

1 1 1 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2ln a ? ?2 , ?2ln a ? 2 , 2 2 e
综上所述, a ? ln 2 ? 1.
2

所以, ?2 ? 2ln a ? 0 , f ( x) max ? 0 ,

……14 分

【2011 年 1 月东城区期末】 18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x. (I)求函数 f ( x) 在[1,3]上的最小值; (II)若存在 x ? [ , e] (e 为自然对数的底数,且 e ? 2.718 )使不等式

1 e

2 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 成立,求实数 a 的取值范围。

故 a ? ?2 ?

1 ? 3e e
3

【2011 年 1 月丰台区期末】 19.(本小题共 14 分) 设函数 f ( x) ? (1 ? x) ? 2ln(1 ? x) .
2

(I)求 f ( x) 的单调区间; (II)当 0<a<2 时,求函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax ? 1 在区间 [0, 上的最小值. 3]
2

解: (I)定义域为 (?1, ??) .

1 2 x( x ? 2) . ? x ?1 x ?1 2 x( x ? 2) 令 f ?( x) ? 0 ,则 ? 0 ,所以 x ? ?2 或 x ? 0 . x ?1 f ?( x) ? 2(1 ? x) ?
因为定义域为 (?1, ??) ,所以 x ? 0 . 令 f ?( x) ? 0 ,则

2 x( x ? 2) ? 0 ,所以 ?2 ? x ? 0 . x ?1

因为定义域为 (?1, ??) ,所以 ?1 ? x ? 0 . 所以函数的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (?1,0) ………………7 分 (II) g ( x) ? (2 ? a) x ? 2ln(1 ? x) ( x ? ?1 ) .

2 (2 ? a) x ? a . ? 1? x 1? x a 因为 0<a<2,所以 2 ? a ? 0 , ? 0. 2?a a 令 g ?( x) ? 0 可得 x ? . 2?a a a 所以函数 g ( x) 在 (0, ) 上为减函数,在 ( , ??) 上为增函数. 2?a 2?a a 3 ①当 0 ? ? 3 ,即 0 ? a ? 时, 2?a 2 a a 在区间 [0, 上, g ( x) 在 (0, 3] ) 上为减函数,在 ( ,3) 上为增函数. 2?a 2?a a 2 所以 g ( x)min ? g ( . ) ? a ? 2ln 2?a 2?a a 3 ②当 ? 3 ,即 ? a ? 2 时, g ( x) 在区间 (0, 上为减函数. 3) 2?a 2 g ?( x) ? (2 ? a) x ?
所以 g ( x)min ? g (3) ? 6 ? 3a ? 2ln 4 . 综上所述,当 0 ? a ? 当

3 2 时, g ( x)min ? a ? 2ln ; 2 2?a

3 ? a ? 2 时, g ( x)min ? 6 ? 3a ? 2ln 4 . ………………14 分 2
4

【2011 年 1 月昌平区期末】 4. 函数 f (x) 的定义域为(a,b) ,导函数 f ( x) 在(a,b)内的图像如图所示,则函数 f (x) 在(a,b)内 有极小值点的个数为 A 4个 C. 2 个 B. 3 个 D. 1 个 a 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2 ln( x ? 1) ,其中 a 为实数.
2 '

y

y ? f ' ( x)

o

b

x

(1)若 f ( x) 在 x ? 1处有极值,求 a 的值; (2)若 f ( x) 在 [ 2, 上是增函数,求 a 的取值范围。 3] 解: (1)由已知得 f ( x) 的定义域为 (?1 ? ?) , 又 f ( x) ? 2ax ?
'

2 x ?1

?由题意得 f ' (1) ? 2a ? 1 ? 0 ? a ? ?

1 2

……5 分

(2)解法一:依题意得

2 ……7 分 ?0 x ?1 2 1 1 ……9 分 ? 2ax ? ? ,a ? ? 2 1 2 1 1? x ?x ?x ? (x ? ) ? 2 4 1 2 1 1 2 1 ? x ? [2,, ?( x ? ) ? 的最小值为 ? (3 ? ) ? ? ?12 3] ? 2 4 2 4 1 1 1 1 的最大值为 ? 又因 a ? ? 时符合题意? a ? ? 为所求。…14 分 ? 1 2 1 12 12 12 ? (x ? ) ? 2 4
f '( x) ? 0 对 x ? [2, 恒成立,? ?ax ? 3]
【2011 年 1 月房山区期末】 19. (本小题共 14 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? a ln ? 2 ? x ? . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的定义域及其导数 f '( x) ; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;

1? (Ⅲ)当 a ? 1 时,令 g ( x) ? f ? x ? ? mx(m ? 0) ,若 g ( x) 在 ? 0, 上的最大值为
解: (Ⅰ)由 ?

1 ,求实数 m 的值. 2
---------------------2 分

?x ? 0 得 0 ? x ? 2 ,即函数的定义域为(0,2) ; ?2 ? x ? 0
1 a . ? x 2? x

f ?( x) ?

---------------------4 分

(Ⅱ)当 a ? ?1 时, f '( x) ?

1 a 2 ? (a ? 1) x ? ? x 2? x x(2 ? x)
5

(1)当 a ? ?1 时, f '( x) ?

2 ,所以在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 , x(2 ? x)
---------------------5 分

故函数 f ? x ? 的单调递增区间是 (0, 2) ; (2)当 a ? ?1 时,令 f ?( x) ? ①当

2 2 ? (a ? 1) x , ? 0 ,解得 x ? x(2 ? x) a ?1

2 ? 2 时,即 ?1 ? a ? 0 时,在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 , a ?1 故函数 f ? x ? 的单调递增区间是 (0, 2) ; ---------------------7 分

②当 0 ?

2 2 ? 2 时,即 a ? 0 时,在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 , a ?1 a ?1 2 在区间 ( , 2) 上, f ?( x) ? 0 ,故函数 f ? x ? 的单调递增区间是 a ?1 2 2 ---------------------9 分 (0, ) ,单调递减区间是 ( , 2) . a ?1 a ?1

1? (Ⅲ) 当 x ? ? 0, 且 m ? 0 时, g ?( x) ?

1 1 2(1 ? x) ? ?m? ?m?0, x 2? x x(2 ? x)

1? 1? 即函数在区间 ? 0, 上是增函数,故函数 g ( x) 在 ? 0, 上的最大值为 g (1) ,
--------------------12 分 所以 g (1) ? m ? 【2011 年石景山区期末】 13.

1 1 ,即 m ? . 2 2


?

1 0

( x ? x2 )dx ?

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? ln x ( a ? R) . x

(Ⅰ)若 a ? 4 ,求曲线 f (x) 在点 (e, f (e)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f (x) 的极值; (Ⅲ)若函数 f (x) 的图象与函数 g ( x) ? 1的图象在区间 (0, e 2 ] 上有公共点,求实数 a 的取值范围. 【2010 年 11 月海淀区期中】 9.

?

?

3 0

cos x dx ?

3 2

19. (本小题共 14 分)

x 2 ? a(a ? 2) x ( a ? 0 ). x ?1 (I)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在点 (3, f (3)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [0, 2] 上的最小值.
已知函数 f ( x) ? 解: (I) 当 a ? 1 时, f ( x) ?

x 2 ? 3x , x ?1
6

………………1 分

f ?( x) ?

x2 ? 2 x ? 3 , x ? ?1 ( x ? 1) 2

………………3 分

所以 f ( x) 在点 (3, f (3)) 处的切线方程为 y ? (II)

x ? ?1
f ?( x) ?

3 ( x ? 3) ,即 3x ? 4 y ? 9 ? 0 ………………5 分 4 ………..…………6 分
………..…………8 分

x 2 ? 2 x ? a(a ? 2) [ x ? (a ? 2)]( x ? a) , ? ( x ? 1)2 ( x ? 1) 2

①当 a ? 0 时,在 (0, 2] 上导函数 f ?( x) ?

x2 ? 2x ? 0 ,所以 f ( x) 在 [0, 2] 上递增,可得 f ( x) 的最小值为 ( x ? 1) 2

f (0) ? 0 ;……10 分
②当 0 ? a ? 2 时,导函数 f ?( x) 的符号如下表所示

x
f ?( x)

[0, a)


a
0 极小

(a, 2]


f ( x)
所以 f ( x) 的最小值为 f (a) ?

a 2 ? a 2 (a ? 2) ? ?a 2 ; a ?1

………………..………12 分

③ 当 a ? 2 时 , 在 [0, 2) 上 导 函 数 f ?( x) ? 0 , 所 以 f ( x) 在 [0, 2] 上 递 减 , 所 以 f ( x) 的 最 小 值 为

4 ? 2a(a ? 2) 2 4 4 ? ? a2 ? a ? 3 3 3 3 【2010 年 4 月朝阳一模】 18. (本小题满分 13 分) f (2) ?
已知函数 f ( x) ?

…………………..………14 分

mx 3 ? ax 2 ? (1 ? b 2 ) x, m, a, b ? R 3

(1)求函数 f (x) 的导函数 f ?(x) ; (2)当 m ? 1 时,若函数 f (x) 是 R 上的增函数,求 z ? a ? b 的最小值; (3)当 a ? 1, b ?

2 时,函数 f (x) 在(2,+∞)上存在单调递增区间,求 m 的取值范围.
2 2

(I)解: f ?( x) ? mx ? 2ax ? (1 ? b ). ……3 分 (II)因为函数 f ( x) 是 R 上的增函数,所以 f ?( x) ? 0 在 R 上恒成立, 则有 ? ? 4a ? 4(1 ? b ) ? 0, 即a ? b ? 1. 设 ?
2 2 2 2

?a ? r cos ? , (? 为参数, 0 ? r ? 1). ?b ? r sin ?

则 z ? a ? b ? r (cos? ? sin ? ) ?

2r sin(? ?

?
4
7

)

当 sin(? ?

?
4

) ? ?1, 且 r=1 时, z ? a ? b 取得最小值 ? 2 .

(可用圆面的几何意义解得 z ? a ? b 的最小值 ? 2 )…………………………8 分 (Ⅲ)①当 m ? 0 时 f ?(m) ? mx ? 2 x ? 1 是开口向上的抛物线,显然 f ?(x) 在(2,+∞)上存在子
2

区间使得 f ?( x) ? 0 ,所以 m 的取值范围是(0,+∞). ②当 m=0 时,显然成立. ③当 m ? 0 时, f ?(m) ? mx ? 2 x ? 1 是开口向下的抛物线,要使 f ?(x) 在(2,+∞)上存在子区
2

? ?m ? 0 ?m ? 0, ? ? 1 ? ? 1 ? 2, 间使 f ?( x) ? 0 ,应满足 ?? 或 ?? ? 2, ? m ? m ? f ?( 2) ? 0. 1 ? ? ? f ?( ? m ) ? 0, ?

1 3 1 3 ? m ? 0, 或 ? ? m ? ,所以 m 的取值范围是 (? ,0). 2 4 2 4 3 则 m 的取值范围是 (? ,??). ……………………………………………………13 分 4
解得 ? 【2010 年 4 月崇文区一模】 (18)(本小题共 14 分) 已知 f ( x) ? x ? 6ax ? 9a x ( a ?R ) .
3 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若对 ?x ? ? 0,3? 有 f ( x) ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f '( x) ? 3x ? 12ax ? 9a ? 3( x ? a)( x ? 3a) ? 0
2 2

(1)当 a ? 3a ,即 a ? 0 时, f '( x) ? 3x ? 0 ,不成立.
2

(2)当 a ? 3a ,即 a ? 0 时,单调减区间为 (3a, a) . (3)当 a ? 3a ,即 a ? 0 时,单调减区间为 (a,3a) .-------------------5 分 (Ⅱ) f '( x) ? 3x ? 12ax ? 9a ? 3( x ? a)( x ? 3a) ,
2 2

f ( x) 在 (0, a) 上递增,在 (a,3a) 上递减,在 (3a, ??) 上递 增.
(1)当 a ? 3 时,函数 f ( x) 在 [0,3] 上递增,所以函数 f ( x) 在 [0,3] 上的最大值是 f (3) , 若对 ?x ? ? 0,3? 有 f ( x) ? 4 恒成立,需要有 ?

? f (3) ? 4, 解得 a ?? . ? a ? 3,

(2)当 1 ? a ? 3 时,有 a ? 3 ? 3a ,此时函数 f ( x) 在 [0, a] 上递增 ,在 [a,3] 上递减,所以函 数 f ( x) 在 [0,3] 上的最大值是 f (a ) ,
8

若对 ?x ? ? 0,3? 有 f ( x) ? 4 恒成立,需要有 ?

? f ( a ) ? 4, 解得 a ? 1 . ?1 ? a ? 3,

(3)当 a ? 1 时,有 3 ? 3a ,此时函数 f ( x) 在 [a,3a] 上递减,在 [3a,3] 上递增, 所以函数 f ( x) 在 [0,3] 上的最大值是 f (a ) 或者是 f (3) . 由 f (a) ? f (3) ? (a ? 3) (4a ? 3) ,
2

①0 ? a ?

3 时, f (a) ? f (3) , 4

? f (3) ? 4, 2 3 3 ? 若对 ?x ? ? 0,3? 有 f ( x) ? 4 恒成立,需要有 ? , ]. 3 解得 a ? [1 ? 9 4 0?a? , ? ? 4


3 ? a ? 1 时, f (a) ? f (3) , 4

? f ( a ) ? 4, 3 ? 若对 ?x ? ? 0,3? 有 f ( x) ? 4 恒成立,需要有 ? 3 解得 a ? ( ,1) . 4 ? 4 ? a ? 1, ?
综上所述, a ? [1 ?

2 3 ,1] . 9

-------------14 分

【2010 年 4 月丰台区一模】 18. (13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a . x

(I)当 a<0 时,求函数 f (x) 的单调区间; (II)若函数 f(x)在[1,e]上的最小值是 解:函数 f ( x) ? ln x ?

3 , 求 a 的值. 2

a 的定义域为 (0,??) …………1 分 x 1 a x?a f ' ( x) ? ? 2 ? 2 x x x

…………3 分

(1)? a ? 0,? f ' ( x) ? 0. 故函数在其定义域 (0,??) 上是单调递增的. (II)在[1,e]上,发如下情况讨论: ①当 a<1 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f (x) 单调递增, 其最小值为 f (1) ? a ? 1, 这与函数在[1,e]上的最小值是 …………5 分

3 相矛盾; 2

…………6 分

②当 a=1 时,函数 f ( x)在?1, e?单调递增,其最小值为 f (1) ? 1, 同样与最小值是

3 相矛盾; 2
9

…………7 分

③当 1 ? a ? e 时,函数 f ( x)在?1, a ? 上有 f ' ( x) ? 0 ,单调递减, 在 ?a, e? 上有 f ' ( x) ? 0, 单调递增,所以,函数 f (x) 满足最小值为 f (a) ? ln a ? 1 由 ln a ? 1 ?

3 , 得a ? e , 2

…………9 分

④当 a=e 时,函数 f ( x)在?1, e?上有f ' ( x) ? 0, 单调递减, 其最小值为 f (e) ? 2, 还与最小值是

3 相矛盾; 2

…………10 分

⑤当 a>e 时,显然函数 f ( x)在[1, e] 上单调递减, 其最小值为 f (e) ? 1 ?

a 3 ? 2, 仍与最小值是 相矛盾; 综上所述,a 的值为 e . ……13 分 e 2

【2010 年 4 月海淀区一模】 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, 其中 a 为常数,且 a ? ?1 . (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 在 [e, e 2 ] (e=2.718 28…)上的值域; (Ⅱ)若 f ( x) ? e?1 对任意 x ? [e,e2 ] 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? ln x, 令 f ?( x) ? 0 ,即 1 ?
1 得 f ?( x) ? 1 ? , ………………2 分 x

1 ? 0 ,解得 x ? 1 ,所以函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数, x

据此,函数 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上为增函数,

………………4 分

而 f (e) ? e? 1 , f (e2 ) ? e2 ? 2 , 所以函数 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上的值域为 [e? 1,e2 ? 2] ………………6 分
a a (Ⅱ)由 f ?( x) ? 1 ? , 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? ? 0, 即 x ? ?a, x x 当 x ? (0, ?a) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ?a) 上单调递减; 当 x ? (?a, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (?a, ??) 上单调递增; ……………7 分

若 1 ? ?a ? e ,即 ? e ? a ? ?1 ,易得函数 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上为增函数, 此时, f ( x)max ? f (e2 ) ,要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立,只需 f (e2 ) ? e? 1 即可, 所以有 e2 ? 2a ? e? 1,即 a ? 而
? e 2 ? e? 1 2

? e 2 ? e? 1 ?(e2 ? 3e? 1) ? e 2 ? e? 1 ? (? e) ? ? 0 ,即 ? ? e ,所以此时无解. 2 2 2 ………………8 分

若 e ? ?a ? e2 ,即 ? e ? a ? ? e2 ,易知函数 f ( x) 在 [e, ?a] 上为减函数,在 [?a,e2 ] 上为增函数,

10

a ? ?1 ? ? f (e) ? e? 1 ? 要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e ] 恒成立,只需 ? ,即 ? ? e 2 ? e? 1 , 2 a? ? f (e ) ? e? 1 ? ? 2
2



? e 2 ? e? 1 ? e 2 ? e? 1 ? e 2 ? e? 1 e 2 ? e? 1 ? (?1) ? ?0和 ? (? e2 ) ? ?0 2 2 2 2

得 ? e2 ? a ?

? e 2 ? e? 1 . 2

………………10 分

若 ?a ? e2 ,即 a ? ? e2 ,易得函数 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上为减函数, 此时, f ( x)max ? f (e) ,要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立,只需 f (e) ? e? 1 即可, 所以有 e? a ? e? 1 ,即 a ? ?1 ,又因为 a ? ? e2 ,所以 a ? ? e2 . 综合上述,实数 a 的取值范围是 (??, 【2010 年 4 月石景山区一模】 20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? px ?
? e ? e? 1 ]. 2
2

……………12 分 ……………13 分

p ? 2 ln x. x

(1)若 p ? 2 ,求曲线 f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线; (2)若函数 f ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 p 的取值范围; (3)设函数 g ( x) ? 范围。 解: (1)当 p ? 2 时, 函数 f ( x) ? 2 x ?

2e , 若在[1, e] 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 p 的取值 x

2 2 2 ? 2ln x, f (1) ? 2 ? 2 ? 2ln1 ? 0 。 f ( x) ? 2 ? 2 ? x x x

曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f ??(1) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2. 1 分 从而曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1), 即 y ? 2 x ? 2 (2) f ?( x) ? p ? 内是增函数

p 2 px 2 ? 2 x ? p ? ? . 令 h( x) ? px 2 ? 2 x ? p ,要使 f ( x) 在定义域(0,∞) x2 x x2
,只需 h( x) ? 0 在(0,+∞)内恒成立
2

4分

由题意 p ? 0, h( x) ? px ? 2 x ? p 的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为

x?

1 1 1 ? (0, ??) ,? h( x) min ? p ? , 只需 p ? ? 0,即p ? 1 时, h( x) ? 0, f ?( x) ? 0 p p p
6分

? f ( x) 在 (0,+∞)内为增函数,正实数 p 的取值范围是 ?1, ?? ?

11

(3)? g ( x) ?

2e 在[1, e] 上是减函数,?x ? e 时, g ( x)min ? 2; x ? 1时, g ( x)min ? 2e , x
1分
2

即 g ( x) ?[2, 2e]

①当 p ? 0 时, h( x) ? px ? 2 x ? p 其图象为开口向下的抛物线,对称轴 x ?

1 在 y 车的左侧, p

且 h(0) ? 0 ,所以 f ( x)在x ?[1, e] 内是减函数。当 p ? 0 时,在 h( x) ? ?2 x 因为 x ? [1, e] , 所以 h( x) ? 0, f ?( x) ? ?

2x ? 0. 此时, f ( x)在x ?[1, e] 内是减函数。 x2

故当 p ? 0 时, f ( x)在x ?[1, e] 上单调递减 ? f ( x)max ? f (1) ? 0 ? 2 ,不合题意; ②当 0 ? p ? 1 时,由 x ? [1, e] ? x ? 所以 f ( x) ? p( x ? ) ? 2ln x ? x ?

1 ?0 x

1 x

1 ? 2ln x. x

又由(2)知当 p ? 1 时, f ( x)在x ?[1, e] 上是增函数,

1 1 1 ? x ? ? 2ln xe ? ? 2ln e ? e ? ? 2 ? 2 ,不合题意; x e e

11 分

③当 p ? 1 时,由(2)知 f ( x)在x ?[1, e] 上是增函数, f (1) ? 0 ? 2 又 g ( x)在x ?[1, e] 上是减函数,故只需 f ( x) max ? g ( x) min , x ? [1, e] 而 f ( x) max ? f (e) ? p(e ? ) ? 2ln e, g ( x) min ? 2 解得 p ?

1 e

即 P(e ? ) ? 2 ln e ? 2, e ,

1

4e 4e ,所以实数 p 的取值范围是 ( 2 , ??) 。 13 分 e ?1 e ?1
2

【2010 年 4 月西城区一模】 19. (本小题满分 14 分) 已知 函数,其中 f ( x) ? (1 ? )e ,其中 a ? 0
x

a x

(I)求函数 f ( x) 的零点; (II)讨论 y ? f ( x) 在区间 (??,0) 上的单调性; (III)在区间 (??, ? ] 上, f ( x) 是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存 在,请说明理由.

a 2

12

13

【2010 年 4 月宣武一模】 18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? b(a, b ? R). 3

(I)若 x=1 为 f (x) 的极值点,求 a 的值; (II)若 y ? f (x) 的图象在点(1, f (1) )处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , (i)求 f (x) 在区间[-2,4]上的最大值; (ii)求函数 G( x) ? [ f ' ( x) ? (m ? 2) x ? m]e (m ? R) 的单调区间。 解: (1) f ?( x) ? x ? 2ax ? a ? 1. ? x ? 1 是极值点
2 2 ?x

? f ?(1) ? 0 ,即 a 2 ? 2a ? 0 ? x ? 0 或 2.…………………3 分
(2)? (1, f (1)) 在 x ? y ? 3 ? 0 上. ? f (1) ? 2 ∵(1,2)在 y ? f (x) 上 又 f ?(1) ? k ? ?1

?2 ?

1 ? a ? a2 ?1? b 3

?1 ? 2a ? a 2 ? 1 ? ?1

? a 2 ? 2a ? 1 ? 0

a ? 1, b ?

8 1 8 ? f ( x) ? x 2 ? x 2 ? , f ?( x) ? x 2 ? 2 x. 3 3 3
[来源:Zxxk.Com]

(i)由 f ?( x) ? 0 可知 x=0 和 x=2 是 f (x) 的极值点.

8 4 ? f (0) ? , f (2) ? , f (?2) ? ?4, f (4) ? 8, ? f (x) 在区间[-2,4]上的最大值为 8。 3 3
(ii) G( x) ? ( x ? mx ? m)e
2 ?x

G ?( x) ? (2 x ? m)e ? x ? e ? x ( x 2 ? mx ? m) ? e ? x [? x 2 ? (2 ? m) x]
令 G?( x) ? 0 ,得 x ? 0, x ? 2 ? m 当 m=2 时, G?( x) ? 0 ,此时 G (x) 在 (??,??) 单调递减,当 m ? 2 时: x G′ (x) G(x) (-∞, 2,- m) - 减 2-m 0 (2-m,0) + 增 0 0 (0,+∞) - 减

当时 G(x)在(-∞,2,-m)(0,+∞)单调递减,在(2-m,0)单调递增. , 当 m ? 2 时: x G′ (x) G(x) (-∞,0) - 减 0 0 (0,2-m) + 增
14

2-m 0

(2-m+∞) - 减

此时 G(x)在(-∞,0)(2-m+∞)单调递减,在(0,2-m)单调递增,综上所述:当 m=2 , 时,G(x)在(-∞,+∞)单调递减; , m ? 2 时,G(x)在(-∞,2-m)(0,+∞)单调递减,在(2-m,0)单调递增; , m ? 2 时,G(x)在(-∞,0)(2-m,+∞)单调递减,在(0,2-m)单调递增. ………………………………………………………………13 分 【2010 年 5 月朝阳二模】 (18)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x 2 ?

2ax , a ? R, e 为自然对数的底数) ( . e

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的递增区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,过点 P(0, t ) (t ?R) 作曲线 y ? f ( x) 的两条切线,设两切点为

P ( x1 , f ( x1 )) , P2 ( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ,求证: x1 + x2 = 0 . 1
解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域是 (??, 0) ? (0, ? ?) .

2 2a 2(e ? ax) . ? ? x e ex 2 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? ? 0 ,解得 x ? 0 ; x 2(e ? ax) e 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? ? 0 ,解得 0 ? x ? ; ex a 2(e ? ax) e 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? ? 0 ,解得 x ? 0 ,或 x ? . ex a f ?( x) ?
所以当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的递增区间是 (0, ? ?) ;

e ); a e 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的递增区间是 (??, ) , (0, ? ?) . a 2 2 2(e ? x) (Ⅱ)因为 f ?( x) ? ? ? , x e ex
当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的递增区间是 (0, 所以以 P ( x1 , f ( x1 )) 为切点的切线的斜率为 1

…………8 分

2(e ? x1 ) ; ex1

以 P ( x2 , f ( x2 )) 为切点的切线的斜率为 2

2(e ? x2 ) . ex2
2 x1 2(e ? x1 ) ? (0 ? x1 ) ; e ex1

又因为切线过点 P(0, t ) ,所以 t ? ln x1 ?
2

t ? ln x2 2 ?
2

2 x2 2(e ? x2 ) ? (0 ? x2 ) . e ex2
t ?2

解得, x1 ? e

, x2 ? e
2

t ?2

. 则 x1 ? x2 ,由已知 x1 ? x2 所以, x1 + x2 = 0 .
2 2

…13 分

15

【2010 年 5 月崇文二模】 (18)(本小题共 14 分) 设函数 f ( x) ? (a ? 2) ln(? x) ?

1 . ? 2ax ( a ?R ) x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间. 解: (Ⅰ)依题意,知 f ( x) 的定义域为 (??,0) . 当 a ? 0 时, f ( x) ? ?2ln(? x) ? 令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? ?
'

1 ?2 1 ?(2 x ? 1) , f ' ( x) ? . ? 2 ? x x x x2

1 . 2

当 x 变化时, f ( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

'

x
f ' ( x)
f ( x)

1 (??, ? ) 2

?

1 2

1 (? , 0) 2
?
单调递减

?
单调递增

0 极大值

由上表知:当 x ? ? 故当 x ? ?

1 1 ' ' 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ( x) ? 0 . 2 2

1 时, f ( x) 取得极大 值为 2ln 2 ? 2 .-------------------5 分 2
1 a(2 x ? 1)( x ? ) a 2 x

(a ? 2) x ? 1 ? 2ax 2 a?2 1 ' (Ⅱ) f ( x) ? ? 2 ? 2a ? ? x2 x x
若 a ? 0 ,令 f ( x) ? 0 ,解得: x ? ?
'

1 1 ' ;令 f ( x) ? 0 ,解得: ? ? x ? 0 . 2 2

若 a ? 0 ,①当 ?2 ? a ? 0 时, ? 令 f ( x) ? 0 ,解得:
' '

1 1 ? 2 a

1 1 ?x?? ; a 2 1 1 或 ? ? x ? 0. a 2

令 f ( x) ? 0 ,解得: x ? ②当 a ? ?2 时, ? ③当 a ? ?2 时, ?

?(2 x ? 1) 2 1 1 ?0 ? , f ' ( x) ? x2 2 a

1 1 ? 2 a
16

令 f ( x) ? 0 ,解得: ?
' '

1 1 ?x? ; 2 a 1 1 或 ? x?0. 2 a 1 , 0) ; 2 1 a 1 , 0) ; 2

令 f ( x) ? 0 ,解得: x ? ?

综上,当 a ? 0 时, f ( x) 的增区间为 (??, ? ) ,减区间为 ( ?

1 2

当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x) 的增区间为 ( , ? ) ,减区间为 ( ??, ) , ( ? 当 a ? ?2 时, f ( x) 的减区间为 (??,0) ,无增区间; 当 a ? ?2 时, f ( x) 的增区间为 (?

1 a

1 2

1 1 1 1 , ) ,减区间为 (??, ? ) , ( , 0) . 2 a 2 a
-------------14 分

【2010 年 5 月东城二模】 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a( x ? 1) . x ?1

(Ⅰ) 若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ) 设 m , n ?R ,且 m ? n ,求证: 解:(Ⅰ) f ( x) ?
'

?

m?n m?n . ? ln m ? ln n 2

1 a( x ? 1) ? a( x ? 1) ? x ( x ? 1)2

?

( x ? 1) 2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? .………………………………………3 分 x( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2
'

因为 f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数,所以 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立. 即 x ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上恒成立.当 x ? (0, ??) 时,由 x ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0 ,
2 2

得 2a ? 2 ? x ?

1 1 1 1 .设 g ( x) ? x ? , x ? (0, ??) . g ( x) ? x ? ? 2 x ? ? 2 . x x x x

所以当且仅当 x ?

1 ,即 x ? 1 时, g ( x) 有最小值 2 .所以 2a ? 2 ? 2 .所以 a ? 2 . x

所以 a 的取值范围是 (??, 2] .…………………………………………………………7 分 (Ⅱ)不妨设 m ? n ? 0 ,则

m ? 1. n

m m m ?1 ?1 2( ? 1) m?n m?n m n 要证 ,只需证 n ,即证 ln ? . ? ? n m m ln m ? ln n 2 2 n ln ?1 n n
17

m 2( ? 1) 2( x ? 1) m 只需证 ln ? n .由(Ⅰ)知 h( x ) 在 (1, ??) 上是单调增函数,又 ? 0 .设 h( x) ? ln x ? m x ?1 n ?1 n m 2( ? 1) m m?n m?n m m .……14 分 ? ? 1 ,所以 h( ) ? h(1) ? 0 .即 ln ? n ? 0 成立.所以 m n ln m ? ln n 2 n n ?1 n
【2010 年 5 月丰台二模】 18. (14 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2)e , ( x, a ? R) .
2 x

(Ⅰ)当 a=0 时,求函数 f(x)的图像在点 A(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若 f(x)在 R 上单调,求 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? ?
x

5 时,求函数 f(x)的极小值。 2
2

解: f ?( x) ? e [ x ? (a ? 2) x ? a ? 2] (Ⅰ)当 a=0 时, f ( x) ? ( x ? 2)e , f ?( x) ? e ( x ? 2 x ? 2) ,………………2 分
2 x x 2

f (1) ? 3e , f ?(1) ? 5e ,

∴函数 f(x)的图像在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-3e=5e(x-1),即 5ex-y-2e=0 ………4 分
(Ⅱ) f ?( x) ? e [ x ? (a ? 2) x ? a ? 2] ,
x 2

考虑到 e ? 0 恒成立且 x 系数为正,∴f(x)在 R 上单调等价于 x ? (a ? 2) x ? a ? 2 ? 0 恒成立.
x 2
2

∴(a+2)2-4(a+2)?0∴-2?a?2 ,

即 a 的取值范围是[-2,2],………………8 分

(若得 a 的取值范围是(-2,2) ,可扣 1 分)
(Ⅲ)当 a ? ?

5 5 1 1 2 x x 2 时, f ( x) ? ( x ? x ? 2)e , f ?( x) ? e ( x ? x ? ) ,……10 分 2 2 2 2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? ,或 x??,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? ,或 x??,? 2 2 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? ? x ? 1???????????????????? ?? 2

x, f ?( x) ,f(x)的变化情况如下表 X

1 (??, ? ) 2
+

?
0

1 2

1 (? ,1) 2
-

1 0 极小值

(1, ?? )
+

f ?( x)
f(x)

?

极大值

?

?

所以,函数 f(x)的极小值为 f(1)=

1 e 2

……………………………………14 分
18

【2010 年 5 月海淀二模】 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (2ax ? x 2 )eax ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值点; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 ( 2, 2) 上单调递减,求实数 a 的取值范围. 解法一: (Ⅰ)依题意得 f ( x) ? (2 x ? x2 )e x ,所以 f ?( x) ? (2 ? x2 )e x , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? 2 ,
f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况入下表:
x

.………………………1 分 .………………………2 分

(??, ? 2)


? 2
0 极小值

(? 2, 2)
+

2
0 极大值

( 2, ??)


f ?( x) f ( x)

?

?

?

………………………4 分 由上表可知, x ? ? 2 是 函数 f ( x) 的极小值点, x ? 2 是函数 f ( x) 的极大值点. ………………………5 分 (Ⅱ)
f ?( x) ? [?ax2 ? (2a 2 ? 2) x ? 2a]eax ,

.………………………6 分

由函数 f ( x) 在区间 ( 2, 2) 上单调递减可知: f ?( x) ? 0 对任意 x ? ( 2, 2) 恒成立, .………………………7 分 当 a ? 0 时, f ?( x) ? ?2 x ,显然 f ?( x) ? 0 对任意 x ? ( 2, 2) 恒成立; .…………………8 分 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 等价于 ax2 ? (2a 2 ? 2) x ? 2a ? 0 , 因为 x ? ( 2, 2) ,不等式 ax2 ? (2a 2 ? 2) x ? 2a ? 0 等价于 x ?
2 2a 2 ? 2 , ? x a .………………………9 分

2 令 g ( x) ? x ? , x ? [ 2, 2] , x

则 g ?( x) ? 1 ?

2 ,在 [ 2, 2] 上显然有 g ?( x) ? 0 恒成立,所以函数 g ( x) 在 [ 2, 2] 单调递增, x2

所以 g ( x) 在 [ 2, 2] 上的最小值为 g ( 2) ? 0 , 由于 f ?( x) ? 0 对任意 x ? ( 2, 2) 恒成立等价于 x ? 需且只需 g ( x)min ?

.………………………11 分
2 2a 2 ? 2 对任意 x ? ( 2, 2) 恒成立, ? x a

2a 2 ? 2 2a 2 ? 2 ,即 0 ? ,解得 ?1 ? a ? 1 ,因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? 1 . a a

综合上述,若函数 f ( x) 在区间 ( 2, 2) 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 0 ? a ? 1 .
19

.………………………13 分 【2010 年 5 月西城二模】 18. (本小题满分 13 分) 已知 a ? 0 , 函数 f ( x) ? x 2 ? ax.设x1 ? (??,? ) , 记曲线 y ? f (x) 在点 M ( x1 , f ( x1 )) 处切线为

a 2

l, l 与 x 轴的交点是 N ( x 2 ,0) ,O 为坐标原点。
(I)证明: x2 ?

x12 ; 2 x1 ? a

(II)若对于任意的 x1 ? (??,? ) ,都 有 OM ? ON ?

a 2

9a 成立,求 a 的取值范围。 16

解: (I)对 f (x) 求导数,得 f ' ( x) ? 2 x ? a, 故切线 l 的斜率为 2 x1 ? a, …………2 分 由此得切线 l 的方程为 y ? ( x1 ? ax1 ) ? (2 x1 ? a)( x ? x1 )
2

令 y ? 0, 得x2 ? ?

x12 ? ax1 x12 ? x1 ? 2 x1 ? a 2 x1 ? a

…………5 分

(II)由 M ( x1 , x1 ? ax1 ), N (
2

???? ???? ? x12 x13 , 0) ,得 OM ? ON ? . 2 x1 ? a 2 x1 ? a

…………6 分

x13 a , x1 ? (??, ? ). 记 g ( x1 ) ? 2 x1 ? a 2
对 g ( x1 )求导数, 得g ?( x1 ) ? 令 g ?( x1 ) ? 0, 得x1 ? ?

x12 (4 x1 ? 3a) , (2 x1 ? a) 2

…………8 分

3a a ? (??, ? ). 4 2

当 x1 ? (??, ? )时, g ?( x1 ) 的变化情况如下表:

a 2

x1 g ?( x1 )

(??, ?


3a ) 4

?
0

3a 4

(?
+

3a a ,? ) 4 2

所以,函数 g ( x1 )在(??, ? 在 (?

3a ) 上单调递减, 4
…………10 分

3a a , ? ) 上单调递增, 4 2 3a 27 2 )? a . 4 32

从而函数 g ( x1 )的最小值为g (? 依题意

…………11 分 …………12 分 …………13 分

27 2 9a a ? , 32 16 2 2 解得 a ? ,即a的取值范围是( ,+?). 3 3
20

【2010 年 5 月宣武二模】 19. (本小题共 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

ln x . x

(I)判断函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)若 y ? xf ? x ? +

1 的图像总在直线 y ? a 的上方,求实数 a 的取值范围; x 1 m 2 (Ⅲ)若函数 f ? x ? 与 g ?x ? ? x ? ? 的图像有公共点,且在公共点处的切线相同,求实数 m 的值. 6 x 3
解: (Ⅰ)可得 f ' ( x) ?

1 ? ln x . x2
' '

当 0 ? x ? e 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 为增函数;当 e ? x 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 为减函数.……4 分 (Ⅱ)依题意, 转化为不等式 a ? ln x ? 令 g ( x) ? ln x ?

1 对于 x ? 0 恒成立 x

1 , x

则 g ?( x) ?

1 1 1? 1? ? ? ?1 ? ? x x2 x ? x ?

当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ?

1? 1? ? ?1 ? ? ? 0 , g ( x) 是 (1, ?) 上的增函数, x? x?

当 x ? ?0, 1? 时, g ??x ? ? 0 , g ( x) 是 ?0, 1? 上的减函数, 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 , 从而 a 的取值范围是 ?? ?, 1? . …………………8 分

(Ⅲ)转化为 ln x ?

1 2 2 1 2 x ? x ? m , y ? ln x 与 y ? x 2 ? x ? m 在公共点 ( x0 , y0 ) 处的切线相同 6 3 6 3

1 2 2 ? ?ln x0 ? 6 x0 ? 3 x0 ? m ? 由题意知 ? ? 1 ? 1 x0 ? 2 ? x0 3 3 ?
∴ 解得: x0 ? 1 ,或 x0 ? ?3 (舍去) ,代人第一式,即有 m ?

5 . 6

……………14 分

21

【2011 年 4 月海淀一模】 14.如图,线段 AB =8,点 C 在线段 AB 上,且 AC =2, P 为线段 CB 上一动点,点 A 绕点 C 旋转后与 点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP = x , △ CPD 的面积为 f ( x) .则

D

f ( x) 的定义域为
18. (本小题共 13 分)

; f ( x) 的零点是

'

.

A
1? a , (a ? R). x

C

P

B

已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值;

(Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若在 ?1, e ? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , ………………………1 分

当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 , ? x x

………………………2 分

x
f ?( x) f ( x)

(0,1)


1 0 极小

(1, ??)
+

………………………3 分

所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 1. (Ⅱ) h( x) ? x ?
h?( x) ? 1 ?

………………………4 分

1? a ? a ln x , x
………………………6 分

1 ? a a x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? ? ? x2 x x2 x2

①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a) 上 h?( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增; ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以,函数 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增. ………………………8 分 ………………………7 分

(III)在 ?1, e ? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,即 在 ?1, e ? 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即 函数 h( x) ? x ? 由(Ⅱ)可知
22

1? a ? a ln x 在 ?1, e ? 上的最小值小于零. ………………………9 分 x

①即 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1时, h( x) 在 ?1, e ? 上单调递减, 所以 h( x ) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ? 因为
e2 ? 1 e2 ? 1 ; ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1 e2 ? 1 1? a , ? a ? 0 可得 a ? e ?1 e

………………………10 分

②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在 ?1, e ? 上单调递增, 所以 h( x ) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ………………………11 分 ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1时, 可得 h( x ) 最小值为 h(1 ? a) , 因为 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a) ? a 故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时, h(1 ? a) ? 0 不成立. 综上讨论可得所求 a 的范围是: a ?
e2 ? 1 或 a ? ?2 . e ?1

…………13 分

【2011 年 4 月西城一模】 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

a( x ? 1) ,其中 a ? 0 . x2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ( x) 的切线,求实数 a 的值; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ln x ? x f ( x) ,求 g ( x) 在区间 [1, e ] 上的最大值.(其中 e 为自然对数的底数)
2

解: (Ⅰ) f ?( x) ?

a(2 ? x) , x ? 0) ( , x3

……………3 分

在区间 (??,0) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 . 所以, f ( x) 的单调递减区间是 (??,0) 和 (2, ??) ,单调递增区间是 (0, 2) . ………4 分

a ( x0 ? 1) ? ? y0 ? x 2 0 ? ? (Ⅱ)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ? x0 ? y0 ? 1 ? 0 ? a (2 ? x ) 0 ? ?1 3 ? x0 ?
解得 x0 ? 1 , a ? 1 . (Ⅲ) g ( x) ? x ln x ? a( x ? 1) ,则 g ?( x) ? ln x ? 1 ? a , 解 g ?( x) ? 0 ,得 x ? e 在区间 ( e 当e
a?1
a?1

……………7 分(1 个方程 1 分)

……………8 分 …………………9 分

a ?1

,所以,在区间 ( 0, e

a?1

) 上, g ( x) 为递减函数,
……………10 分

, ? ?) 上, g ( x) 为递增函数.

? 1 ,即 0 ? a ? 1时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递增函数,
23

所以 g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae . 当 e a?1 ? e ,即 a ? 2 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递减函数, 所以 g ( x) 最大值为 g (1) ? 0 . 当1 < e
a?1

………………11 分

………………12 分

< e ,即 1 ? a ? 2 时, g ( x) 的最大值为 g (e) 和 g (1) 中较大者; e , g (e) ? g (1) ? a ? e ? ae ? 0 ,解得 a ? e ?1 e 所以, 1 ? a ? 时, g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae , …………………13 分 e ?1 e …………………14 分 ? a ? 2 时, g ( x) 最大值为 g (1) ? 0 . e ?1 e e 综上所述,当 0 ? a ? 时, g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae ,当 a ? 时, g ( x) 的最大值 e ?1 e ?1
为 g (1) ? 0 .

【2011 年 4 月东城一模】 18. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ?

x 2 ? . ex e

(I)求 f ( x) 在区间[1,3]上的最小值; (II)证明:对任意 m, n ? (0, ??), 都有f (m) ? g (n) 成立. (Ⅰ)解:由 f ( x) ? x ln x ,可得 f ?( x ) ? ln x ? 1 . 当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增. 所以函数 f ( x) 在区间 [1,3] 上单调递增,又 f (1) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在区间 [1,3] 上的最小值为 0 . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 在 x ? 又 f ( ) ? ? ,可知 f (m) ? ?

1 e

1 e

1 时取得最小值, e

1 . e x 2 1? x 由 g ( x) ? x ? ,可得 g '( x) ? x .所以当 x ? (0,1), g '( x) ? 0, g ( x) 单调递增, e e e
当 x ? (1, ??), g '( x) ? 0, g ( x) 单调递减.所以函数 g ( x)( x ? 0) 在 x ? 1 时取得最大值, 又 g (1) ? ?

1 e

1 e

1 1 ,可知 g ( n) ? ? , e e

所以对任意 m, n ? (0, ??) ,都有 f (m) ? g (n) 成立. 【2011 年 4 月朝阳一模】 18. (本小题满分 13 分)
24

已知函数 f ( x) ?

2 ? a ln x ? 2 (a ? 0) . x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若对于 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立,试求 a 的取值范围; (Ⅲ) g ( x) ? f ( x) ? x ? b (b ? R) .当 a ? 1 时, 记 函数 g ( x) 在区间 [e , e] 上有两个零点, 求实数 b 的 取值范围. 解: (I) 直线 y ? x ? 2 的斜率为 1.函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,
?1

2 a 2 a ? ,所以 f ?(1) ? ? 2 ? ? ?1 ,所以 a ? 1 . 2 x x 1 1 2 x?2 所以 f ( x) ? ? ln x ? 2 . f ?( x) ? 2 . x x
因为 f ?( x) ? ? 由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 2 ;由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 2 . 所以 f ( x) 的单调增区间是 (2, ??) ,单调减区间是 (0, 2) . (II) f ?( x) ? ? ……………………4 分

2 a ax ? 2 ? ? , x2 x x2 2 2 由 f ?( x) ? 0 解得 x ? ;由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? . a a 2 2 所以 f ( x) 在区间 ( , ? ?) 上单调递增,在区间 (0, ) 上单调递减. a a 2 2 所以当 x ? 时,函数 f ( x) 取得最小值, ymin ? f ( ) . a a
因为对于 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立, 所以 f ( ) ? 2(a ? 1) 即可.则

2 a

2 2 2 2 ? a ln ? 2 ? 2(a ? 1) . 由 a ln ? a 解得 0 ? a ? . 2 a e a a
………………………………8 分

所以 a 的取值范围是 (0, (III)依题得 g ( x) ?

2 ). e

x2 ? x ? 2 2 . ? ln x ? x ? 2 ? b ,则 g ?( x) ? x2 x

由 g ?( x) ? 0 解得 x ? 1 ;由 g ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 1 . 所以函数 g ( x) 在区间 (0, 1) 为减函数,在区间 (1, ? ?) 为增函数.

? g (e?1 ) ≥ 0, ? ?1 又因为函数 g ( x) 在区间 [e , e] 上有两个零点,所以 ? g (e) ≥ 0, ? g (1) ? 0. ? 2 2 ? e ? 1] . 解得 1 ? b ≤ ? e ? 1 .所以 b 的取值范围是 (1, ………………13 分 e e
25

【2011 年 4 月丰台一模】 18. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 ) ) x ? ax ? x ? b(a ? 0) , f ' ( x 为函数 f ( x的导函数。 3 2

(I)设函数 f ( x) 的图像与 x 轴的交点为 A,曲线 y ? f ( x) 在 A 点处的切线方程是 ? 3x ? 3, 求a, b 的值。 (II)若函数 g ( x) ? e
? ax

? f '( x) ,求函数 g ( x) 的单调区间。

26

【2011 年 4 月石景山一模】 8.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? 1, f ?( x)为f ( x) 的导函数,已知 y ? f ?( x) 的图象如图所示,若 两个正数 a, b 满足 f (2a ? b) ? 1, 则 A. ( , ) B. (??, ) ? (5, ??) C. ( ,5) D. (??,3) 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? ) x ? ln x, (a ? R).
2

b ?1 的取值范围是 a ?1





1 1 5 3

1 3

1 3

1 2

(Ⅰ)当 a ? 1时 ,求 f ( x 在区间 [ 1 e 上的最大值和最小值; ) , ] (Ⅱ)若在区间 ( 1, 下方,求 a 的取值范围. ?? 上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2 a x )

27

【2012 年 4 月朝阳一模】 18. (本小题满分 13 分)

eax ,a?R . 设函数 f ( x) ? 2 x ?1
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f (x) 单调区间.

【2012 年 4 月石景山一模】 已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x .
2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为1 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 g ( x) ?

2 ? f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

28

解:(Ⅰ) f '( x) ? 2 x ?

2a 2 x 2 ? 2a ? x x

由已知 f '(2) ? 1 ,解得 a ? ?3 .

(II)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . (1)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ; ……5 分 (2)当 a ? 0 时 f '( x) ?

2( x ? ?a )( x ? ?a ) . x

当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下:

x
f '( x) f ( x)

(0, ?a )
-

?a

( ? a , ??)
+

0
极小值

由 上 表 可 知 , 函 数 f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 是 (0, ? a ) ; 单 调 递 增 区 间 是 ( ? a , ? ?). (II)由 g ( x) ?

2 2 2 2a ,…………9 分 ? x ? 2a ln x 得 g '( x) ? ? 2 ? 2 x ? x x x

由已知函数 g ( x) 为 [1, 2] 上的单调减函数,则 g '( x) ? 0 在 [1, 2] 上恒成立, 即?

2 2a 1 ? 2x ? ? 0 在 [1, 2] 上恒成立, 即 a ? ? x 2 在 [1, 2] 上恒成立. 2 x x x
…………11 分

1 1 1 2 ? x ,在 [1, 2] 上 h '( x) ? ? 2 ? 2 x ? ?( 2 ? 2 x) ? 0 , x x x 7 所以 h( x ) 在 [1, 2] 为减函数. h( x) min ? h(2) ? ? , 2
令 h( x ) ? 【2012 年 4 月丰台一模】 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x .
2

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)当 a>0 时,函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , x1 ? x2 ,且 f ( x1 )+2 x1 ? f ( x2 )+2 x2 恒成立,求 a 的取值范围.

29

【2012 年 4 月东城一模】 (18)(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ex ? 3e2 ln x ? b 在 ( x0 , 0) 处的切线斜率为零. 2

(Ⅰ)求 x0 和 b 的值; (Ⅱ)求证:在定义域内 f ( x) ≥ 0 恒成立; (Ⅲ) 若函数 F ( x) ? f ?( x) ? (Ⅰ)解: f ?( x) ? x ? 2e ?

a 有最小值 m ,且 m ? 2e ,求实数 a 的取值范围. x
…………2 分

3e 2 . x

由题意有 f ?( x0 ) ? 0 即 x0 ? 2e ? 得 f (e) ? 0 即

3e2 ? 0 ,解得 x0 ? e 或 x0 ? ?3e (舍去) .…………4 分 x0
…………5 分

1 2 1 e ? 2e2 ? 3e2 ln e ? b ? 0 ,解得 b ? ? e2 . 2 2
1 2 e2 x ? 2ex ? 3e 2 ln x ? ( x ? 0) , 2 2

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ( x) ?

f ?( x) ? x ? 2e ?

3e2 ( x ? e)( x ? 3e) ? ( x ? 0) .在区间 (0, e) 上,有 f ?( x) ? 0 ;在区间 (e, ??) 上,有 x x

f ?( x) ? 0 .故 f ( x) 在 (0, e) 单调递减,在 (e, ??) 单调递增,于是函数 f ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 f (e) ? 0 .
(Ⅲ)解: F ( x) ? f ?( x) ? 故当 x ? 0 时,有 f ( x) ≥ 0 恒成立.

a a ? 3e2 ? x? ? 2e ( x ? 0) . x x

当 a ? 3e2 时,则 F ( x) ? x ?

a ? 3e2 ? 2e ? 2 a ? 3e 2 ? 2e ,当且仅当 x ? a ? 3e2 时等号成立, x
2

故 F ( x) 的最小值 m ? 2 a ? 3e ? 2e ? 2e ,符合题意;

…………13 分

当 a ? 3e2 时,函数 F ( x) ? x ? 2e 在区间 (0, ??) 上是增函数,不存在最小值,不合题意;

a ? 3e2 ? 2e 在区间 (0, ??) 上是增函数,不存在最小值,不合题意. 当 a ? 3e 时,函数 F ( x) ? x ? x
2

综上,实数 a 的取值范围是 (3e , ??) .
2

…………14 分

30

【2012 年 4 月西城一模】

【2012 年 4 月海淀一模】 已知函数 f ( x ) ? e
? kx

1 ( x 2 ? x ? ) (k ? 0) . k

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得函数 f ( x ) 的极大值等于 3e ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明 理由. 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 R .
?2

1 f '( x) ? ?ke? kx ( x 2 ? x ? ) ? e? kx (2 x ? 1) ? e? kx [?kx 2 ? (2 ? k ) x ? 2] , k
即 f '( x) ? ?e
? kx

(kx ? 2)( x ? 1) (k ? 0) . 令 f '( x) ? 0 ,解得: x ? ?1 或 x ?
2x 2

2 . k

当 k ? ?2 时, f '( x) ? 2e ( x ? 1) ? 0 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (- ? , 当 ?2 ? k ? 0 时,
31

).

………………………………………3 分

f ( x ) , f '( x ) 随 x 的变化情况如下:
x
2 ( ??, ) k 2 k
0
极大值

2 ( , ?1) k
?

?1
0
极小值

( ?1, ??)
?

f '( x ) f ( x)

?

?

?
2 k

?
2 k

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ) 和 ( ?1, ??) ,单调递减区间是 ( , ?1) . ………………………………………5 分 当 k ? ?2 时,

f ( x ) , f '( x ) 随 x 的变化情况如下:
x

( ??, ?1)
?

?1
0
极大值

2 ( ?1, ) k
?

2 k
0
极小值

2 ( , ?? ) k

f '( x ) f ( x)

?

?

?
2 k

?
2 k

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ?1) 和 ( , ?? ) ,单调递减区间是 ( ?1, ) . (Ⅱ)当 k = - 1 时, f ( x ) 的极大值等于 3e . 理由如下: 当 k ? ?2 时, f ( x ) 无极大值. 当 ?2 ? k ? 0 时, f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? e (
?2

2 k

?2

4 1 ? ), k2 k

………………………………………8 分

1 4 1 4 ?2 4 ?2 令 e ( 2 ? ) ? 3e ,即 2 ? ? 3, 解得 k ? ?1 或 k ? (舍). 3 k k k k
ek 1 1 k ?2 . 因为 e ? e , 0 ? ? ? , k k 2

当 k ? ?2 时, f ( x ) 的极大值为 f (?1) ? ?

所以 ?

1 e k 1 ?2 ? e .因为 e?2 ? 3e ?2 ,所以 f ( x ) 的极大值不可能等于 3e?2 . k 2 2
?2

综上所述,当 k ? ?1 时, f ( x ) 的极大值等于 3e .

32


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