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教师版函数奇偶性(含答案)

时间:2011-10-02


函数奇偶性
一、奇偶函数的概念 1.奇函数:对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) 〔或 f (x)+ f(-x)=0〕 ,则称 f(x)为奇函数. 2.偶函数:对于函数 f( x)的定义域内任意一个 x,都有 f(- x)=f( x)〔或 f ( x)- f(-x)=0〕,则称 f(x)为偶函数 3、函数奇偶性定义的几点说明 (1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x) ± f (? x) = 0 , f ( x) = ±1 f (? x)

是奇函数或偶函数, (2)如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性 (3) 偶函数(奇函数)的定义中 “对 D 内任意一个 x, 都有-x∈D, f(-x)=f(x)(f(- 且 x)=-f(x))”,这表明 f(-x)与 f(x)都有意义,即 x、-x 同时属于定义域.因此偶 (奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的.也就是说,定义域关于坐标原点对称是函 数具有奇偶性的前提条件. (4)存在既是奇函数又是偶函数的函数,即 f(x)=0,x∈D,这里定义域 D 是关于坐 标原点对称的非空数集. (5)函数按奇偶性可以分为四类:奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,既不是 奇函数又不是偶函数. 【经典习题解答】 1、下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原 点;③偶函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x ∈R),其中正确命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误 奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确 若 y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但不一定 x∈R,如例 1 中的(3),故④错误,选 A 说明:既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零 2.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是 3、若奇函数 f(x)的定义域为{x||x+2-a|<a,a>0},则 a 的值为……( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析: 解析:|x+2-a|<a ? -a<x+2-a<a ? -2<x<2a-2,
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函数奇偶性
又 f(x)为奇函数,∴-2+2a-2=0. ∴a=2. 答案: 答案:B 4. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 是偶函数的条件是___________答案: b = 0 二、判定奇偶的方法 函数奇偶性证明的步骤 (1) 首先确定函数的定义域,并判其定义域是否关于原点对称; (2)确定 f(-x)与 f(x)的关系; (3)作出相应结论: 【经典习题解析】 1、判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) = ( x ? 1)
? x2 + x ( x < 0) 1+ x ? ;(2) f ( x) = ? 2 1? x ( x > 0) ?? x + x ?

(3) f ( x) = x +

1? x2 1 (4) f ( x) = 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 (5) f ( x) = x x+3 ?3 1+ x ≥ 0 ,得定义域为[?1,1) ,关于原点不对称,∴ f ( x) 为非奇非偶函数 1? x

解:(1)由

(2)当 x < 0 时, ? x > 0 ,则 f (? x) = ?(? x)2 ? x = ?( x 2 + x) = ? f ( x) , 当 x > 0 时, ? x < 0 ,则 f (? x) = (? x)2 ? x = ?(? x 2 + x) = ? f ( x) , 综上所述,对任意的 x ∈ (?∞, +∞) ,都有 f (? x) = ? f ( x) ,∴ f ( x) 为奇函数 (3)奇函数 (4)∴f(x)是偶函数.事实上函数的定义域为{-1,1},将 f ( x) = 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 f(x)是偶函数.事实上函数的定义域为{ 1}, 是偶函数 化简得 f(x)=0.∴f(x)既是偶函数,又是奇函数. (5)奇函数 2.已知函数 f(x)在 R 上同时满足条件:①对于任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y);② R 当 x>0 时,f(x)<0,则函数 f(x)在 R 上( ) A.是奇函数且是减函数 B.是奇函数且是增函数 C.是奇函数且不具有单调性 D.是偶函数且不具有单 调性 解析: 解析:∵x、y∈R,有 f(x+y)=f(x)+f(y), R 令 y=-x, ∴f(x-x)=f(x)+f(-x). ∴f(x)+f(-x)=f(0).
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又 f(0+0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. ∴f(x)=-f(-x). 取 x1<x2,则 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0, ∴f(x2)<f(x1). ∴f(x)在 R 上是奇函数且是减函数.
答案:A

3、函数 f(x),x∈R,若对于任意实数 x1,x2 都有 f(x1+x2)+f(x1-x2)= R 2f(x1)f(x2).试判断函数 y=f(x)的奇偶性 ? 解:∵对于任意实数 x1,x2 都有 ? f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2), ? ∴令 x1=0,x2=x,得 ? f(x)+f(-x)=2f(0)f(x) ① ? 令 x1=x,x2=0,得 ? f(x)+f(x)=2f(0)f(x) ② ? 由①②得,f(-x)=f(x), ? ∴y=f(x)为偶函数. 三、奇偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称 (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. (3)若奇函数的定义域包含数 0,则 f(0)=0. (4)定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个 偶函数之和. 奇函数对称区间上的单调性相同, (5)奇函数对称区间上的单调性相同,偶函数对称区间上的单调性相反 【经典练习】 1、设函数 f ( x) 为定义在 R 上的偶函数,且 f ( x) 在 [0, +∞) 为减函数,则
f (?2), f (?π ), f (3) 的大小顺序

2.若奇函数 f(x)在 x=0 处有意义,则 f(0)是什么? 【提示】 由奇函数定义,f(-x)=-f(x),则 f(-0)=-f(0),∴f(0)=0. 2.已知 f(x)是偶函数,且其图象与 x 轴有 4 个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和 为…( ) A.4 B.2 C.1 D.0 解析: 解析:∵f(x)是偶函数, ∴其图象关于 y 轴(x=0)对称. ∵f(x)的图象与 x 轴有 4 个交点, ∴若 x1 为 f(x)=0 的一个根,则-x1 也必为方程的一个根,即方程的四个根两两互为相反 数,故四根之和为零.答案:D 答案: 答案 f ( x) ? f (? x) 3. 设奇函数 f ( x) 在 (0, ∞) 上为增函数,且 f (1) = 0 ,则不等式 + < 0 的解 x 集为( )
0) + A. (?1, ∪ (1, ∞)
B. (?∞, 1) ∪ (0, ? 1)
3

C. (?∞, 1) ∪ (1, ∞) D. (?1, ∪ (0, ? + 0) 1)
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函数奇偶性
答案:D 四、奇偶函数的运用 (1)利用奇偶求解析式 1、已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ∈ (0, +∞) 时, f ( x) = x(1 + 3 x ) , ? x(1 + 3 x ), x ≥ 0 ? 则 f ( x) 的解析式为 f ( x) = ? ? x(1 ? 3 x ), x < 0 ? 2、已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,当 x>0 时,f(x)=x(x-2),求 x<0 时,f(x) 的解析式. 3.已知奇函数 f(x)在 x>0 时的表达式为 f(x)=2x-1/2, 则当 x<-1/4 时, 有( (B)f(x)<0 (A)f(x)>0 (C)f(x)+f(-x)<0 (D)f(x)+f(-x)>0 (2) 利用奇偶性求函数值 、 【例 1】已知 f ( x) = x 5 + ax 3 + bx ? 8 且 f ( ?2) = 10 ,那么 f ( 2) = 【解析】设 F ( x) = f ( x) + 8 ,则 F ( x) = x 5 + ax 3 + bx 为奇函数, 于是有 F (? x) = ? F ( x) ,从而有 f (? x) + 8 = ?[ f ( x) + 8] , 即: f (? x) + f ( x) = ?16 。 令 x = 2 ,得 f (?2) + f (2) = ?16 ,又 f ( ?2) = 10 , 故 f ( 2) = ?16 ? 10 = ?26 。 设 f (x) 是 (?∞,+∞) 上的奇函数, f ( x + 2) = ? f ( x) ,当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x) = x , 则 f (47.5) 等于 ( A . 答案:B 0.5 ) B. ? 0.5 C. 1.5 D. ? 1.5 。 )

变式训练 2:(06 安徽)函数 f ( x ) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x + 2 ) = 则 f ( f ( 5 ) ) = __________。 解:由 f ( x + 2 ) =

f (1) = ?5,

1 ,若 f ( x)

1 1 得 f ( x + 4) = = f ( x) ,所以 f (5) = f (1) = ?5 , f ( x) f ( x + 2)
1 1 =? 。 f (?1 + 2) 5
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则 f ( f ( 5 ) ) = f (?5) = f (?1) =
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函数奇偶性
8. (2010 山东理)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= 2 x +2x+b(b 为 山东理) 常数),则 f(-1)=( ) (A) 3 (B) 1 答案:D (C)-1 (D)-3

(3)、利用奇偶性比较大小 )、利用奇偶性比较大小 【例 2】已知偶函数 f (x) 在 (? ∞,0) 上为减函数,比较 f (?5) , f (1) , f (3) 的大小。 【解析】∵ 偶函数 f (x) 在 (? ∞,0) 上为减函数,
∴ f (x) 在 (0,+∞ ) 上为增函数,又∵ 5 > 3 > 1 ,∴ f (5) > f (3) > f (1)

又∵ f (5) = f (?5) ,∴ f (?5) > f (3) > f (1) 。 (4)、利用奇偶性讨论函数的单调性 )、利用奇偶性讨论函数的单调性 【例 4】若 f ( x) = (k ? 2) x 2 + (k ? 3) x + 3 是偶函数,讨论函数 f ( x) 的单调区间。 【解析】∵ f ( x) 是偶函数,∴ f (? x) = f ( x) ,即 解析】
(k ? 2) x 2 ? (k ? 3) x + 3 = (k ? 2) x 2 + (k ? 3) x + 3 ,

∴ k = 3 ,∴ f ( x) = x 2 + 3 ,∴ f ( x) 在 [0, +∞) 上为增函数,在 ( ?∞, 0 ) 上为减函数。 (5)、利用奇偶性求参数的值 利用奇偶性求参数的值 【例 5】定义在 R 上的偶函数 f (x) 在 (?∞,0) 是单调递减,若
f (2a 2 + a + 1) < f (3a 2 ? 2a + 1) ,则 a 的取值范围是如何?

【解析】∵ 偶函数 f (x) 在 (?∞,0) 是单调递减,∴函数 f (x) 在 (0, +∞) 上单调递增,
1 7 ∵ 2 a 2 + 2 a + 1 = 2( a + ) 2 + > 0 , 4 8 1 2 又∵ 3a 2 ? 2a + 1 = 3(a ? ) 2 + > 0 , f (2a 2 + a + 1) < f (3a 2 ? 2a + 1) , 3 3 ∴ 2a 2 + a + 1 < 3a 2 ? 2a + 1 ,解得 a > 3 或 a < 0 。

(6)、利用奇偶性求代数式的值 )、利用奇偶性求代数式的值 利用奇偶
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函数奇偶性
【例 6】已知 ( x + 2 y ) 5 + x 5 + 2 x + 2 y = 0 ,求 x + y 的值 【解析】已知条件可变形为 ( x + 2 y ) 5 + ( x + 2 y ) = ?( x 5 + x) ………(1) 根据(1)式的结构特征,可构造函数 f (t ) = t 5 + t
∵ f (?t ) = f (t ) ,∴ f (t ) 是奇函数。
∵ (1)式可写成 f ( x + 2 y ) = ? f ( x) = f (? x) ………(2)

又∵ f (t ) 是增函数,由(2)式有 x + 2 y = ? x ,∴ 2 x + 2 y = 0 ,∴ x + y = 0 。 (7)、利用奇偶性解方程 )、利用奇偶性解方程 【例 7】在实数范围内解方程 3 x + 1 + 3 2 x + 1 + 3 x + 4 = 0 【解析】原方程可化为: 3 x + 1 + ( x + 1) + 3 2 x + 3 + 2 x + 3 = 0 ………(1) 令 x + 1 = t ,则(1)式变形为 3 t + t + 3 2t + 1 + (2t + 1) = 0 ………(2) 设 f (t ) = 3 t + t ,则(2)式可变形为 f (t ) + f (2t + 1) = 0 ,∴ f (2t + 1) = ? f (t ) ,
∵ 函数 f (t ) 是奇函数,∴ f (2t + 1) = f (?t ) ,

1 1 4 又∵ f (t ) 是增函数,∴ 2t + 1 = ?t ,∴ t = ? ,∴ x = t ? 1 = ? ? 1 = ? 。 3 3 3 4 原方程的解为 x = ? 。 3

五、函数奇偶的综合运用于 1.已知函数 f ( x) 对一切 x, y ∈ R ,都有 f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) , (1)求证: f ( x) 是奇函数;(2)若 f (?3) = a ,用 a 表示 f (12) 解:(1)显然 f ( x) 的定义域是 R ,它关于原点对称在 f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) 中, 令 y = ? x ,得 f (0) = f ( x) + f (? x) ,令 x = y = 0 ,得 f (0) = f (0) + f (0) , ∴ f (0) = 0 ,∴ f ( x) + f (? x) = 0 ,即 f (? x) = ? f ( x) , ∴ f ( x) 是奇函数 (2)由 f (?3) = a , f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) 及 f ( x) 是奇函数, 得 f (12) = 2 f (6) = 4 f (3) = ?4 f (?3) = ?4a 2.设 a 为实数,函数 f ( x) = x 2 + | x ? a | +1 , x ∈ R
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函数奇偶性
(1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 的最小值

解:(1)当 a = 0 时, f (? x) = (? x 2 )+ | ? x | +1 = f ( x) ,此时 f ( x) 为偶函数; 当 a ≠ 0 时, f (a ) = a 2 + 1 , f (? a ) = a 2 + 2 | a | +1 , ∴ f (? a ) ≠ f (a ), f (? a ) ≠ ? f (a ), 此时函数 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数
1 3 (2)①当 x ≤ a 时,函数 f ( x) = x 2 ? x + a + 1 = ( x ? )2 + a + , 2 4 1 若 a ≤ ,则函数 f ( x) 在 (?∞, a ] 上单调递减,∴函数 f ( x) 在 (?∞, a ] 上的最小值为 2 f (a ) = a 2 + 1 ; 1 1 3 1 ,函数 f ( x) 在 (?∞, a ] 上的最小值为 f ( ) = + a ,且 f ( ) ≤ f (a ) 2 2 4 2 1 2 3 ②当 x ≥ a 时,函数 f ( x) = x 2 + x ? a + 1 = ( x + ) ? a + , 2 4 1 1 3 1 若 a ≤ ? ,则函数 f ( x) 在 [a, +∞) 上的最小值为 f (? ) = ? a ,且 f (? ) ≤ f (a ) ; 2 2 4 2 1 若 a > ? ,则函数 f ( x) 在 [a, +∞) 上单调递增,∴函数 f ( x) 在 [a, +∞) 上的最小值 2

若a >

f (a ) = a 2 + 1 1 3 1 1 综上,当 a ≤ ? 时,函数 f ( x) 的最小值是 ? a ,当 ? < a ≤ 时,函数 f ( x) 的最小 2 4 2 2

值是 a 2 + 1 ,
1 3 ,函数 f ( x) 的最小值是 a + 2 4 a 3. ( 07 上海)已知函数 f ( x) = x 2 + ( x ≠ 0 ,常数 a ∈ R ) . x

当a >

(1) 讨论函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由 ( 2 ) 若 f ( x) 在 x ∈ [ 2, +∞ ) 上是增函数,求 a 的取值范围.
解:(1)当 a = 0 时, f ( x ) = x 2 为偶函数;当 a ≠ 0 时, f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函 数. (2)设 x 2 > x1 ≥ 2 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = x12 +
a a 2 ? x2 ? x1 x2
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= x1 ? x 2 [x1 x2 (x1 + x2 ) ? a] , x1 x 2

由 x 2 > x1 ≥ 2 得 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) > 16 , x1 ? x 2 < 0, x1 x 2 > 0 要使 f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数只需 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 0 , 即 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) ? a > 0 恒成立,则 a ≤ 16 。 4、设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增, f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1) 求 a 的取值范围, 本题属于知识组合题类,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,通过本题会 解组合题类,掌握审题的一般技巧与方法 解 设 0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增, ∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1), ∴f(x2)<f(x1) ∴f(x)在(0,+∞)内单调递减
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1 7 1 2 又2a 2 + a + 1 = 2( a + ) 2 + > 0,3a 2 ? 2a + 1 = 3( a ? ) 2 + > 0. 4 8 3 3

由 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)得 2a2+a+1>3a2-2a+1 解之,得 0<a<3 2 5、已知奇函数 f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式 f(x-3)+f(x
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-3)<0,设不等式解集为 A, =A∪{x|1≤x≤ 5 },求函数 g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最 B 大值
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命题意图 本题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和 解决问题的能力 知识依托 主要依据函数的性质去解决问题 错解分析 题目不等式中的“f”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上 的最值问题时,学生容易漏掉定义域 技巧与方法 借助奇偶性脱去“f”号,转化为 x 的不等式,利用数形结合进行集 合运算和求最值
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由?

?0 < x < 6 得? 且 x≠0,故 0<x< 6 , 2 ?? 3 < x ? 3 < 3 ?? 6 < x < 6 ?? 3 < x ? 3 < 3

又∵f(x)是奇函数,∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2), 又 f(x)在(-3,3)上是减函数, ∴x-3>3-x2,即 x2+x-6>0,解得 x>2 或 x<-3, 综上得 2<x< 6 ,即 A={x|2<x< 6 }, ∴B=A∪{x|1≤x≤ 5 }={x|1≤x< 6 }, 又 g(x)=-3x2+3x-4=-3(x- )2- ∴g(x)max=g(1)=-4
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王
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1 2

13 知 g(x)在 B 上为减函数, 4

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