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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第9章 第2节 用样本估计总体


第二节

用样本估计总体

[主干知识梳理] 一、作频率分布直方图的步骤

1.求极差(即一组数据中 最大值 与 最小值
2.确定 组距 与 组数 3.将数据 分组 4.列 频率分布表 . . . .

的差).

5.画 频率分布直方图

二、频

率分布折线图和总体密度曲线
1 . 频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上 端的 中点 ,就得频率分布折线图. 2.总体密度曲线:随着 样本容量的增加,作图时 所分的组数增加, 组距 减小,相应的频率折线图会越来 越接近于 一条光滑曲线 ,即总体密度曲线.

三、样本的数字特征 数字特征 众数 定 义 在一组数据中,出现次数 最多 做这组数据的众数. 的数据叫

将一组数据按大小依次排列,把处在
中位数 最中间 位置的一个数据(或最中间两个数 据的 平均数 )叫做这组数据的中位数. 在频率

分布直方图中,中位数左边和右边的直方图 的面积 相等 .

样本数据的算术平均数.即 平均数 1 x = (x1+x2+…+xn). n 1 s = [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2] . n
2

方差

其中 s 为标准差.

四、茎叶图 茎叶图的优点是可以保留原始数据,而且可以随时记录, 方便记录与表示.

[基础自测自评]

1.( 教材习题改编 ) 在如图所示的茎叶图表示的数据中,众数
和中位数分别是 ( A.23与26 B.31与26 )

C.24与30
D.26与30 B 26.] [ 观察茎叶图可知,这组数据的众数是 31 ,中位数是

2. (教材习题改编)把样本容量为 20 的数据分组, 分组区间与频数 如下:[10,20),2;[20,30),3;[30,40),4;[40,50),5; [50,60),4;[60,70],2,则在区间[10,50)上的数据的频率 是 ( A.0.05 C.0.5 B.0.25 D.0.7 )

D [由题知,在区间[10,50)上的数据的频数是 2+3+4+5= 14 14,故其频率为 =0.7.] 20

3.(2014·长春模拟)从某小学随机抽取100名同学,将他们的 身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图由图中数据

可知身高在[120,130]内的学生人数为
( )

A.20 C.30

B.25 D.35

C [由题意知a×10+0.35+0.2+0.1+0.05=1,
则a=0.03,故学生人数为0.3×100=30.]

4.(2014· 山西大同)将容量为 n 的样本中的数据分为 6 组,绘制频 率分布直方图, 若第一组至第六组的数据的频率之比为 2∶3∶ 4∶6∶4∶1, 且前三组数据的频数之和为 27, 则 n=________. 解析 依题意得,前三组的频率总和为 2+3+4 9 = , 2+3+4+6+4+1 20 27 9 因此有 = ,即 n=60. n 20 答案 60

5.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1、2、3、4、5的学
生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表: 学生编号 甲班 乙班 1 6 6 2 7 7 3 7 6 4 8 7 5 7 9

则以上两组数据的方差中较小的值为________.

解析 甲班学生投篮数据的平均值为 7,
2 2 2 2 2 ( 6 - 7 ) + 0 + 0 +( 8 - 7 ) + 0 2 2 方差 s甲= = ; 5 5

乙班学生投篮数据的平均值为 7,
2 2 2 2 2 ( 6 - 7 ) + 0 +( 6 - 7 ) + 0 +( 9 - 7 ) 方差 s2 乙= 5

6 = , 5 2 所以方差较小的值为 . 5 2 答案 5

[关键要点点拨] 1.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面

积相等,由此可以估计中位数的值,而平均数的估计值等
于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中 点的横坐标之和,众数是最高的矩形的中点的横坐标. 2.注意区分直方图与条形图,条形图中的纵坐标刻度为频 数或频率,直方图中的纵坐标刻度为频率/组距.

3.方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差
的程度,虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上 是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.

用样本的频率分布估计总体分布 [典题导入] (2012·广东高考)某校100名学生

期中考试语文成绩的频率分布直方图
如图所示,其中成绩分组区间是:[50, 60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100].

(1)求图中a的值; (2) 根据频率分布直方图,估计这100 名学生语文成绩的平均

分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数 (x)与数学成绩 相应分数段的人数 (y) 之比如下表所示,求数学成绩在 [50 , 90)之外的人数.

分数段
x∶y [听课记录]

[50,60)
1∶1

[60,70)
2∶1

[70,80)
3∶4

[80,90)
4∶5

(1) 由 频 率 分 布 直 方 图 知 (2a + 0.02 + 0.03 +

0.04)×10=1,解得a=0.005. (2) 由频率分布直方图知这 100 名学生语文成绩的平均分为

55×0.005×10



65×0.04×10



75×0.03×10



85×0.02×10+95×0.005×10=73(分).

(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60),[60,70),[70,80), [80,90)各分数段的人数依次为 0.005× 10× 100=5,0.04× 10× 100 =40,0.03× 10× 100=30,0.02× 10× 100=20. 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为 5, 1 4 5 40× =20,30× =40,20× =25. 2 3 4 故数学成绩在[50,90)之外的人数为 100-(5+20+40+25)=10.

[互动探究] 在本例条件下估计样本数据的众数.

解析 众数应为最高矩形的中点对应的横坐标,故约为65.

[规律方法] 解决频率分布直方图问题时要抓住 (1)直方图中各小长方形的面积之和为 1. 频率 频率 (2)直方图中纵轴表示 ,故每组样本的频率为组距× ,即 组距 组距 矩形的面积. (3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数.

[跟踪训练]
1.(2013·湖北高考)从某小区抽取100户居民进行月用电量调 查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图 如图所示.

(1)直方图中x的值为________; (2) 在这些用户中,用电量落在区间 [100 , 250) 内的户数为

________.
解析 (1)根据频率和为1,得(0.002 4+0.003 6+0.006 0+x

+0.002 4+0.001 2)×50=1,解得x=0.004 4; (2)(0.003 6+0.006 0+0.004 4)×50×100=70. 答案 (1)0.004 4 (2)70

茎叶图的应用
[典题导入] (2012· 陕西高考 ) 从甲、乙两个

城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对
其销售额进行统计,统计数据用茎叶图 表示(如图所示).设甲、乙两组数据的平 均数分别为x甲、x乙,中位数分别为m甲、 m乙,则

(

)

A. x 甲< x 乙,m 甲>m 乙 B. x 甲< x 乙,m 甲<m 乙 C. x 甲> x 乙,m 甲>m 乙 D. x 甲> x 乙,m 甲<m 乙

[ 听课记录]

1 x 甲 = (41+ 43+30+30+38+ 22+25+ 27+ 10+ 16

345 10+14+18+18+5+6+8)= , 16 1 x 乙 = (42+43+48+31+ 32+34+34+38+ 20+22+ 23+23+ 16 457 27+10+12+18)= . 16 ∴ x 甲< x 乙. 又∵m 甲=20,m 乙=29, ∴m 甲<m 乙. 答案 B

[规律方法] 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分 布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图 中能看到原始数据,没有任何信息损失;第二点是茎叶图便

于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时,作图较繁.

[跟踪训练]
2 .如图所示的茎叶图记录了一组数据,关于这组数据,其 中说法正确的序号是________.

①众数是9;②平均数是10;③中位数是9或10;④标准差是

3.4.

解析 由茎叶图知,该组数据为 7,8,9,9,9,10,11,12,12,13,∴众数 9+10 1 为 9,①正确;中位数是 =9.5,③错;平均数是 x = (7+8 2 10 1 +9+9+9+10+11+12+12+13)=10, ②正确; 方差是 s = [(7 10
2

-10)2+(8-10)2+(9-10)2+(9-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(11 -10)2+(12-10)2+(12-10)2+(13-10)2]=3.4,标准差 s= 3.4, ④错. 答案 ①②

样本的数字特征 [典题导入]
- (1)(2012· 江西高考)样本(x1,x2,…,xn)的平均数为 x , -- - 样本(y1,y2,…,ym)的平均数为 y ( x ≠ y ).若样本(x1,x2,…, 1 - - - xn,y1,y2,…,ym)的平均数 z =α x +(1-α) y ,其中 0<α< ,则 2 n,m 的大小关系为 A.n<m C.n=m B.n>m D.不能确定 ( )

[听课记录]

x1+x2+…+xn x= , n

y1+y2+…+ym y= , m x1+x2+…+xn+y1+y2+…+ym z= , m+n n x +m y n m 则z= = x+ y. m+n m+n m+n n 1 由题意知 0< < ,∴n<m. m+n 2 答案 A

(2)(2013·江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训 练成绩(单位:环),结果如下: 运动 员

第1次 第2次 第3次 第4次 第5次




87
89

91
90

90
91

89
88

93
92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ________.

[听课记录] 对于甲,平均成绩为 x =90, 1 所以方差为 s = × [(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+ 5
2

1 (93-90) ]=4,对于乙,平均成绩为 x =90,方差为 s = × [(89- 5
2 2

90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92- 90)2]= 2.由于 2< 4,所以乙的平均成绩较为稳定. 答案 2

[规律方法]
(1)众数体现了样本数据的最大集中点,但无法客观地反映总 体特征. (2)中位数是样本数据居中的数. (3)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标 准差、方差越大,数据越分散,标准差、方差越小,数据越 集中.

[跟踪训练]

3.(2012·山东高考)在某次测量中得到的A样本数据如下:82,
84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰 好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据,则 A , B 两样本 的下列数字特征对应相同的是 A.众数 ( B.平均数 )

C.中位数
D

D.标准差

[对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样

本的方差和标准差,众数、中位数、平均数都发生改
变.]

【创新探究】 频率分布直方图中的易误点 (2012· 山东高考 ) 如图是根据部分城市某年 6 月 份的平均气温 ( 单位:℃ ) 数据得到的样本频率分布直方 图,其中平均气温的范围是 [20.5,26.5],样本数据的分

组为 [20.5 , 21.5) , [21.5 , 22.5) , [22.5 , 23.5) , [23.5 ,
24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均气温 低于 22.5℃的城市个数为 11 ,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为________.

【思路导析】 解. 【解析】

结合频率分布直方图和样本数据的特点求

最左边两个矩形面积之和为 0.10×1 + 0.12×1 =

0.22 ,总城市数为 11÷0.22 = 50 ,最右边矩形面积为 0.18×1 =0.18,50×0.18=9.

【答案】 9

【高手支招】

1.忽视频率分布直方图中纵轴的含义为频率 /组

距,误认为是每组相应的频率值,导致失误. 2. 不清楚直方图中各组的面积之和为 1, 导致某组的频率不会求. 3. 不理解由直方图求样本平均值的方法误用每组的频率乘以每组 的端点值,而导致失误. 4.由直方图确定众数时应为最高矩形中点对应的横坐标值,中位 1 数应为左右两侧的频率均等各为 . 2

[体验高考]

1.(2013·重庆高考) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学
生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).

已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x, y的值分别为

(
A.2,5 C.5,8 C B.5,5 D.8,8

)

[由于甲组的中位数是15,可得x=5,由于乙组数据的平

均数为16.8,得y=8.]

2.(2013·全国高考)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为

A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位
患者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后,记录他 们日平均增加的睡眠时间 (单位:h).试验的观测结果如 下: 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2
3.5 2.5 2.3 2.4 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.4 1.6 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗 1.9 0.5 0.8 1.8 0.9 0.6 2.4 2.1 1.2 1.1 2.6 2.5 1.3 1.2

效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗 效更好?

解析 为y.

(1)设 A 药观测数据的平均数为 x ,B 药观测数据的平均数

由观测结果可得 1 x = (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+ 20 2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,

1 y = (0.5+ 0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+ 20 1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6. 由以上计算结果可得 x > y ,因此可看出 A 药的疗效更好.

(2)由观测结果可绘制茎叶图如图:

7 从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 10 7 “2.”,“3.”上,而 B 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎“0.”,“1.” 10 上,由此可看出 A 药的疗效更好.

3.(2013·安徽高考)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联 考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取

30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,
样本数据的茎叶图如图所示:

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高 三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩 的及格率(60分及60分以上为及格); (2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为

x1、x2,估计x1-x2的值.

解析

30 (1)设甲校高三年级学生总人数为 n.由题意知, =0.05, n

即 n=600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为 5,据此估计甲 5 5 校高三年级此次联考数学成绩及格率为 1- = . 30 6 (2)设甲、乙两校样本平均数分别为 x ′1, x ′2. 根据样本茎叶图可知,30( x ′1- x ′2)=30 x ′1-30 x ′2 = (7-5)+ (55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20) +92=2+49-53-77+2+92=15.
′ 因此 x ′ 1 - x 2 =0.5.故 x 1- x 2 的估计值为 0.5 分.

课时作业


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