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直线与圆锥曲线问题解析

时间:2011-12-27


直线与圆锥曲线问题解析
浙江 俞新龙

直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线与方程中的重点内容, 特别是公共点, 弦长及最 值等方面的内容更是本章的热点.下面就其三个方面进行说明. 1.直线与圆锥曲线的交点问题,考查用方程组的方法求交点的个数及交点坐标,培养 方程思想 例 1 讨论直线 l : y = kx + 1 与双曲线 C : x 2 ? y 2 = 1 的公共点的个数.
, ? y = kx + 1 解:联立方程 ? 2 整理得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 = 0 , 2 , ?x ? y = 1 当 k = ±1 时, x = m1 . 当 k ≠ ±1 时, ? = 4k 2 + 8(1 ? k 2 ) = 8 ? 4k 2 , 若 ? > 0 ,则 ? 2 < k < 2 ; 若 ? = 0 ,则 k = ± 2 ; 若 ? < 0 ,则 k < ? 2 或 k > 2 . 综上所述,当 k = ± 2 时,直线与双曲线相切于一点; k = ±1 时,直线与双曲线相交于 一 点 ; k < ? 2 或 k > 2 时 , 直 线 与 双 曲 线 没 有 公 共 点 ; 1 < k < 2 或 ?1 < k < 1 或
? 2 < k < ?1 时,直线与双曲线有两个公共点.

说明:直线与圆锥曲线有无公共点的问题,实际上就是相应的方程组有无实数解的问 题.直线与双曲线公共点的个数,特别是只有一个公共点时,除了相切的情况之外,还有直 线与双曲线渐近线相平行时的情况.抛物线同样也存在这样的问题,应特别引起注意.

2.直线与圆锥曲线的相交弦中点问题,考查运用一元二次方程根与系数的关系,考查 用点差法与中点建立联系的能力 例2 已知倾斜角为 45° 的直线 l 过点 A(1 ? 2) , , 若直线 l 与双曲线 C :

x2 ? y 2 = 1(a > 0) a2

相交于 E,F 两点,且线段 EF 的中点坐标为 (4, ,求 a 的值. 1) 解:由题意易知,直线 l 的方程为 y = x ? 3 ,

? y = x ? 3, ? ? 1 ? 由方程组 ? x 2 得 ? 2 ? 1? x 2 + 6 x ? 10 = 0 . 2 , ?a ? ? 2 ? y =1 ?a 设两个交点分别为 E ( x1,y1 ),F ( x2,y2 ) ,
则 x1 + x2 = ? 所以

6a 2 ,因为 EF 的中点坐标为 (4, , 1) 1 ? a2

x1 + x2 3a 2 = 4 ,即 2 = 4 ,得 a = 2 . 2 a ?1

注:本题同样也可用“点差法”解. 说明: 1)求弦中点(轨迹)问题一般解题步骤:①联立解方程组转化为一元二次方程; ( ②应用根与系数的关系;③消参数(注意检验)(2)求弦的中点及与中点有关的问题,常 . 用根与系数的关系;有时采用“点差法” ,可优化解题方法,简化运算.

3.圆锥曲线的弦长问题,考查两点的距离公式,弦长公式,以及分类讨论思想

例3

已知点 A(? 3, 和 B ( 3, ,动点 C 到 A,B 两点的距离之差的绝对值为 2,点 C 0) 0)

的轨迹与直线 y = x ? 2 交于 D,E 两点,求线段 DE 的长. 解:设点 C ( x,y ) ,则 CA ? CB = ±2 , 根据双曲线的定义,可知点 C 的轨迹是双曲线
得 a 2 = 1 b 2 = 2 ,故点 C 的轨迹方程是 x 2 ? ,

x2 y2 ? = 1 .由 2a = 2,c = AB = 2 3 , 2 a 2 b2

y2 =1. 2

? 2 y2 =1 , ?x ? 由? 消去 y ,得 x 2 + 4 x ? 6 = 0 . 2 ? y = x ? 2, ?
因为 ? > 0 ,所以直线与双曲线有两个交点. 设交点为 D( x1,y1 ),E ( x2,y2 ) ,则 x1 + x2 = ?4 , x1 x2 = ?6 . 故 DE = ( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 ) 2 = 2 × ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 4 5 (或 DE = 1 + k 2 x1 ? x2 = 4 5 ) . 说明: 1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求 ( 弦 长 ; 2 ) 当 弦 的 两 端 点 的 坐 标 不 易 求 时 , 可 用 弦 长 公 式 d = 1 + k 2 x1 ? x2 或 (

?1? d = 1 + ? ? y1 ? y2 ;如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况. ?k?

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