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南京外国语学校联考(数学)试题2014


南京外国语学校 2014

南京外国语学校高三模拟考试 数学试题
数 学 I 试 题 注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题—第 14 题) 、解答题(第 15 题—第 20 题) 。本试 卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并

交回。 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定位置。 3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、 准考证号与您本人是否相符。 4. 请在答题卡上按照各题号的顺序在对应的答题区域内作答, 在其他位置作答一律无效。 作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。 5. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 6. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。 参考公式: 1 锥体的体积公式:V 锥体= Sh,其中 S 是锥体的底面面积,h 是高. 3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡 ... 相应的位置上 . ......
1.在复平面内,复数-3+i 和 1-i 对应的点间的距离为 ▲ .
开始 S←0 n←1 n<6

2.命题: “若 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac”及其逆命题、 否命题、逆否命题中正确的个数是 ▲ . ▲ . Y
S←S-3n

N N
S←S+3n 输出 S

3.右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是

Y
n 为奇数

4.用半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥桶,那么这个 圆锥的高是 ▲ .

5.为了调查高中学生眼睛高度近视的原因,某学校研究
n←n+1

性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级 (第 3 题图) 的高度近视眼患者中,抽取若干人组成样本进 行深入研究,有关数据见右表(单位:人) : 若从高一与高三抽取的人选中选 2 人进行跟踪 年级 高一 高二 高三 高度近视眼患者人数 18 36 54

结束

抽取人数 x 2 y

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式家访调研,则这 2 人都来自高三年级的概率是
2



. ▲ .

y 6.双曲线 x2- =1 的渐近线被圆 x2+y2-6x-2y+1=0 所截得的弦长为 4

7.在共有 2013 项的等差数列{an}中,有等式(a1+a3+?+a2013)-(a2+a4+?+a2012)=a1007 成立;类比上述性质,在共有 2011 项的等比数列{bn}中,相应的有等式 ▲ 成立.

π 8.已知向量 p 的模是 2,向量 q 的模为 1,p 与 q 的夹角为 ,a=3p+2q,b=p-q,则以 a、 4 b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是 ▲ . ▲ .

?x-y+5≥0, ? 9.若 x,y 满足不等式组?x≤3, 且 z=2x+4y 的最小值为-6,则 k 的值为 ?x+y-k≥0, ?

Sn n a10 10. 已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn, 且 = 对任意 n?N*恒成立, 则 b5 T n 2n -1
的值为





11.已知 A={x|1≤x≤2},B={x|x2+2x+a≥0},A,B 的交集不是空集,则实数 a 的取值范 围是 ▲ .

12.定义在 R 上的函数 f(x)的图象过点 M(-6,2)和 N(2,-6) ,对任意正实数 k,有 f(x +k)<f(x)成立,则当不等式| f(x-t)+2|<4 的解集为(-4,4)时,实数 t 的值为 ▲ . 13.平面四边形 ABCD 中,AB= 3,AD=DC=CB=1,△ABD 和△BCD 的面积分别为 S,T, 则 S2+T2 的最大值是 ▲ .

?xQ =yP +xP, 14.在直角坐标系 xOy 中,点 P(xP,yP)和点 Q(xQ,yQ)满足? ,按此规则由点 P ?yQ =yP -xP

OQ 得到点 Q,称为直角坐标平面的一个“点变换” .此变换下,若 =m,∠POQ=?,其中 OP O 为坐标原点,则 y=msin(x+?)的图象在 y 轴右边第一个最高点的坐标为 ▲ .

二、解答题:本题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)= 3sin2x+sinxcosx- 3 (x?R). 2

π (1)若 x?(0, ),求 f(x)的最大值; 2 1 BC (2)在△ABC 中,若 A<B,f(A)=f(B)= ,求 的值. 2 AB

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16. (本小题满分 14 分) 已知在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为直 角梯形,且满足 AD⊥AB,BC∥AD,AD=16,AB=8, B1 BB1=8.E,F 分别是线段 A1A,BC 上的点. (1)若 A1E=5,BF=10,求证:BE∥平面 A1FD. (2)若 BD⊥A1F,求三棱锥 A1-AB1F 的体积. B A1 C1 E A D C D1

F
(第 16 题图)

17. (本小题满分 14 分) 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放 x 2 射性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)=| 2 -a|+2a+ ,x?[0,24],其中 a 3 x +1 1 是与气象有关的参数, 且 a?[0, ], 若用每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数, 2 并记作 M(a). x (1)令 t= 2 ,x?[0,24],求 t 的取值范围; x +1 (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性 污染指数是否超标?

18. (本小题满分 16 分) x2 y2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),⊙O:x2+y2=b2,点 A,F 分别是椭圆 C 的左顶点和 a b
y

左焦点.点 P 是⊙O 上的动点. (1)若 P(-1, 3),PA 是⊙O 的切线,求椭圆 C 的方程; PA (2)是否存在这样的椭圆 C,使得 是常数? PF 如果存在,求 C 的离心率;如果不存在,说明理由. A F O x P

19. (本小题满分 16 分) 1 已知函数 f(x)= ax2-(2a+1)x+2lnx(a 为正数) . 2

(第 18 题图)

(1)若曲线 y=f(x)在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=x2-2x,若对任意 x1?(0,2],均存在 x2?(0,2],使得 f(x1)<g(x2),求实 数 a 的取值范围.

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20. (本小题满分 16 分)
2 an(an+ 1+1) 设数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2= (n≥1,n?N*). a2 n+1

an+1 (1)求证:数列{ }是常数列; 1 an+ an
2 (2)求证:当 n≥2 时,2<a2 n-an-1≤3;

(3)求 a2011 的整数部分.

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数 学 Ⅱ( 附 加 题)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答 .............. 题区域内作答 .若多做,则按作答的前两题评分. ...... 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) C 如图,设 AB 为⊙O 的任一条不与直线 l 垂直的直径,P 是⊙O 与 l 的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为 C,D,且 PC=PD. 求证: (1)l 是⊙O 的切线; (2)PB 平分∠ABD. A B.选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)
P D l

O

B

?x?→?x'?=?x+2y?作用后, 已知点 A 在变换: T: 再绕原点逆时针旋转 90° , 得到点 B. 若 ?y? ?y'? ? y ?
点 B 坐标为(-3,4),求点 A 的坐标. C.选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)

(第 21-A 题图)

?x=t +1, 1 求曲线 C :? 被直线 l:y=x- 所截得的线段长. 2t 2 ?y=t +1.
2 1 2

2

D.选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) a2 b2 c2 b c a 已知 a、b、c 是正实数,求证: 2+ 2 + 2≥ + + . b c a a b c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内 ....... 作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22. (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∠ABC=45° ,OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点. (1)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (2)求平面 OAB 与平面 OCD 所成二面角的余弦值.
B O

M A

D

23. (本小题满分 10 分)

(第 22 题图) C

已知构成某系统的元件能正常工作的概率为 p(0<p<1),且各个元件能否正常工作是相 互独立的.今有 2n(n 大于 1)个元件可按下图所示的两种联结方式分别构成两个系统甲、 乙. (1)试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率 p1,p2; (2)比较 p1 与 p2 的大小,并从概率意义上评价两系统的优劣.

系统甲

系统乙

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南京市金陵中学 2011 届高三第四次模拟考试 数 学 I 试 题 评 分 细 则
1.2 5 8. 29 2.2 9.0 3.-9 19 10. 17 4. 3 R 2 1 5. 2 6.4 7. a1·a3·a5…a2011 =a a2·a4·a6…a2010 1006 π 14.( , 2) 4

11.[-8,+∞) 12.2

7 13. 8

15. (1)f(x)=

3(1-cos2x) 1 3 1 3 π + sin2x- = sin2x- cos2x=sin(2x- ). ???4 分 2 2 2 2 2 3 π π π 2π ∵0<x< ,∴- <2x- < . ???????????6 分 2 3 3 3 π π 5? ∴当 2x- = 时,即 x= 时,f(x)的最大值为 1.???????????7 分 3 2 12

π π π 5π (2)∵f(x)=sin(2x- ),x 是三角形的内角,则 0<x<?,- <2x- < . 3 3 3 3 1 π 1 π π π 5π 令 f(x)= ,得 sin(2x- )= ,∴2x- = ,或 2x- = , 2 3 2 3 6 3 6 π 7? 解得 x= ,或 x= . 4 12 ???????????9 分

1 π 7? 由已知,A,B 是△ ABC 的内角,A<B 且 f(A)=f(B)= ,∴A= ,B= . 2 4 12 π ∴C=?-A-B= . 6 π 4 BC sinA 由正弦定理,得 = = = AB sinC π sin 6 sin 2 2 = 2. 1 2 ???????????11 分

???????????14 分

16. (1)过 E 作 EG∥AD 交 A1D 于 G,连结 GF. A1E 5 EG 5 ∵A1A=8,所以AD=8,∴EG=10=BF. ∵BF∥AD,EG∥AD,∴BF∥EG. ∴四边形 BFGE 是平行四边形. ∴BE∥FG.?????????????4 分 又 FG?平面 A1FD,BE?平面 A1FD, ∴BE∥平面 A1FD. B

A1 B1 E A C1 G G

D1

D C

F

?????????????6 分

(2)∵在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,A1A⊥面 ABCD,BD?面 ABCD,∴A1A⊥BD. 由已知,BD⊥A1F,AA1∩A1F=A1, ∴BD⊥面 A1AF. ∴BD⊥AF. ????????????8 分

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∵梯形 ABCD 为直角梯形,且满足 AD⊥AB,BC∥AD, AD ∴在 Rt△BAD 中,tan∠ABD= AB =2. FB BF 在 Rt△ABF 中,tan∠BAF=AB= 8 . π BF 1 ∵BD⊥AF,∴∠ABD+∠BAF=2,∴ 8 =2,BF=4. ∵在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,A1A⊥面 ABCD, ∴面 AA1B1B⊥面 ABCD,又面 ABCD∩面 AA1B1B=AB,∠ABF=90° , ∴FB⊥面 AA1B1B,即 BF 为三棱锥 F-A1B1A 的高. ??????12 分 ∵∠AA1B1=90° ,AA1=BB1=8,A1B1=AB=8,∴S△AA1B1=32. ∴V三棱锥A1-A B1F=V三棱锥F 17. (1)当 x=0 时,t=0; 1 1 1 1 当 0<x≤24 时, =x+ .对于函数 y=x+ ,∵y′=1- 2, t x x x 1 ∴当 0<x<1 时,y′<0,函数 y=x+ 单调递增,当 1<x≤24 时,y′>0,函数 y=x x 1 1 1 + 单调递增,∴y?[2,+∞).∴ ?(0, ]. x t 2 1 综上,t 的取值范围是[0, ]. 2 2 1 2 (2)当 a?[0, ]时,f(x)=g(t)=|t-a|+2a+ = 2 3 ??????5 分 1 128 S BF = × × = 3 3 . -A1B1A △AA1B1 ??????14 分 ??????2 分 ??????10 分

?3a-t+3,0≤t≤a, ? 2 1 ??????8 分 t + a + , a ≤ t ≤ . ? 3 2
1

2 1 7 1 1 ∵g(0)=3a+ ,g( )=a+ ,g(0)-g( )=2a- . 3 2 6 2 2

?g(2),0≤a≤4, ?a+6,0≤a≤4, 故 M(a)=? 1 1 =? 2 1 1 . ?g(0),4<a≤2 ?3a+3,4<a≤2
4 当且仅当 a≤ 时,M(a)≤2, 9 4 4 故 a?[0, ]时不超标,a?( ,1]时超标. 9 9 18. (1)∵P(-1, 3)在⊙O:x2+y2=b2,∴b2=4. → → 又∵PA 是⊙O 的切线,∴PA⊥OP,∴ OP · AP =0, 即(-1, 3)·(-1+a, 3)=0,解得 a=4.

1

1

7

??????10 分

??????12 分 ??????14 分 ???????????2 分

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x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 4 (2)设 F(c,0),c2=a2-b2, PA 设 P(x1,y1),要使得 是常数,则有(x1+a)2+y12=?[(x1+c)2+y12],?是常数. PF 即 b2+2ax1+a2=?(b2+2cx1+c2), 比较两边, b2+a2=?(b2+c2),a=?c, 故 cb2+ca2=a(b2+c2),即 ca2-c3+ca2=a3, 即 e3-2 e+1=0, (e-1)( e2+e-1)=0,符合条件的解有 e= 即这样的椭圆存在,离心率为 5-1 . 2 5-1 , 2 ???????????16 分 ???????????8 分 ???????????10 分 ???????????12 分 ???????????5 分

2 19.f ′(x)=ax-(2a+1)+ (x>0). x 2 (1)f ′(1)=f ′(3),解得 a= . 3 (ax-1)(x-2) (2)f ′(x)= (x>0). x 1 1 ①当 0<a< 时, >2, 2 a 1 1 在区间(0,2)和( ,+∞)上,f ′(x)>0;在区间(2, )上 f ′(x)<0, a a 1 1 故 f(x)的单调递增区间是(0,2)和( ,+∞) ,单调递减区间是(2, ). a a ??6 分 ???????????4 分

(x-2)2 1 ②当 a= 时,f ′(x)= ≥0,故 f(x)的单调递增区间是(0,+∞) . ………8 分 2 2x 1 1 1 1 ③当 a> 时,0< <2,在区间(0, )和(2,+∞)上,f ′(x)>0;在区间( ,2)上 f ′(x) 2 a a a 1 1 <0,故 f(x)的单调递增区间是(0, )和(2,+∞) ,单调递减区间是( ,2). ??10 分 a a (3)由已知,在(0,2]上有 f(x)max<g(x)max. 由已知,g(x)max=0,由(2)可知, 1 ①当 0<a≤ 时,f(x)在(0,2]上单调递增, 2 故 f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2, 1 ∴-2a-2+2ln2<0,解得 a>ln2-1,ln2-1<0,故 0<a≤ . 2 1 1 1 ②当 a> 时,f(x)在(0, ]上单调递增,在[ ,2]上单调递减, 2 a a 1 1 故 f(x)max=f( )=-2- -2lna. a 2a ??13 分 ???????????11 分

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1 1 1 由 a> 可知 lna>ln >ln =-1,2lna>-2,-2lna<2, 2 2 e ∴-2-2lna<0,f(x)max<0, 综上所述,a>0. ???????????15 分 ???????????16 分

2 an(an+ an+2 an+1 1+1) 20. (1)易知,对一切 n≥1,an≠0,由 an+2= ,得 = . 1 1 a2 n+1 an+1+ an+ an an+1

依次利用上述关系式,可得 an+1 an-1 an a2 2 = = =?= = =1, 1 1 1 1 1 an+ an-1+ an-2+ a1+ 1+ an a1 1 an-1 an-2 an+1 从而数列{ }是常数列; 1 an + an 1 (2)由(1)得 an+1=an+ . an 又 a1=1,∴可知数列{an}递增,则对一切 n≥1,有 an≥1 成立, 1 从而 0< 2≤1. an 1 2 2 1 当 n≥2 时,an2=(an-1+ ) =an-1+ 2 +2, an-1 an-1 于是 an2-an-1=
2

???????????4 分

???????????6 分

1 2 +2, an-1 ???????????8 分
2

2 ∴ 2<a2 n-an-1≤3;

(3)当 n≥2 时,an2=an-1+ ∴an=
2 2

1 2 +2, an-1

1 1 2 2 +?+ 2+a1+2(n-1). an-1 a1
2

a1=1,a2=4,则当 n≥3 时, an= = a2011= a2011=
2 2 2

1 1 1 1 2 2 +?+ 2+a1+2(n-1)= 2 +?+ 2+1+1+2(n-1) an-1 a1 an-1 a2 1 1 2 +?+ 2+2n>2n. an-1 a2 1 1 2 ????????10 分 2 +?+ 2+2(2011-1)+1>4021>3969=63 , a2010 a1 1 1 1 1 2 +?+ 2+2(2011-1)+1=4021+ 2+?+ 2 a2010 a1 a1 a2010

1 1 1 1 11 1 1 <4020+ + + +?+ =4022+ ( + +?+ ) 1 4 6 22 3 2010 2×2010

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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =4022+ [( + +?+ )+( + +?+ )+( + +?+ )] 2 2 3 39 40 41 199 200 201 2010 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <4022+ [( + +?+ )+( + +?+ )+( + +?+ )] 2 2 2 2 40 40 40 200 200 200 11 1 1 =4022+ ( ×38+ ×160+?+ ×1811) 22 40 200 1 <4022+ (19+4+10)<4039<4096=642. 2 ∴63<a2011<64,即 a2011 的整数部分为 63. ????????14 分 ????????16 分

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数 学 Ⅱ( 附 加 题) 评 分 细 则
D

21-A:证明: (1)连结 OP, ∵AC⊥l,BD⊥l,∴AC∥BD. 又 OA=OB,PC=PD, ∴OP∥BD,从而 OP⊥l. ∵P 在⊙O 上,∴l 是⊙O 的切线. (2)连结 AP, ∵l 是⊙O 的切线,∴∠BPD=∠BAP.

C

P

l

A

O

B

????????6 分

又∠BPD+∠PBD=90o,∠BAP+∠PBA=90o, ∴∠PBA=∠PBD,即 PB 平分∠ABD. 21-B:解:? 0 -1? ?1 2? ?0 -1? ? 1 0 ? ?0 1?=? 1 2 ?. ????????10 分 ????????6 分

设 A(a,b),则由

?0 -1? ?1 2?

-b=-3, ?a?=?-3?,得? ? ? ? ? ? ?b? ? 4 ? ?a+2b=4, ????????10 分

?a=-2, ∴? 即 A(-2,3). ?b=3,

?x=t +1,① ② y 21-C:解:C :? . 得 t= ,代入①,化简得 x +y =2x. 2t x ① y= ,② ? t +1
2 1 2 2 2

2

2 又 x= 2 ≠0,∴C1 的普通方程为(x-1)2+y2=1(x≠0).????????6 分 t +1 1 |1-0- | 2 1 1 圆 C1 的圆心到直线 l:y=x- 的距离 d= = . 2 2 2 2 所求弦长=2 1-d2=
2

14 . 2
2 2

????????10 分

a b b c c a 21-D:证明:由? - ? + ? - ? + ? - ? ≥0,得 ?b c? ?c a? ?a b? a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 b c a 2( 2+ 2+ 2)-2( + + )≥0,∴ 2+ 2 + 2≥ + + .????????10 分 b c a b c a b c a a b c

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22.解:作 AP⊥CD 于点 P,分别以 AB、AP、AO 所在直线为 x、y、z 轴建立坐标系,则 A(0, 0,0),B(1,0,0),P(0, 2 2 2 ,0),D(- , ,0),O(0,0,2),M(0,0,1). 2 2 2

2 2 1 → → → → (1) AB =(1,0,0),MD=(- , ,-1),则 cos< AB ,MD>=- , 2 2 2 O z π 故 AB 与 MD 所成角为 . ???????4 分 3 2 2 2 → → (2) OP =(0, ,-2),OD=(- , ,-2), 2 2 2 → → 设平面 OCD 法向量 n=(x,y,z),则 n· OP =0,n· OD=0,
B M A P

D

y 2 C x y-2z=0 2 即 ,取 z= 2,则 n=(0,4, 2). ????????6 分 2 2 - x+ y-2z=0 2 2

? ? ?

易得平面 OAB 的一个法向量为 m=(0,1,0), 2 2 cos<n,m>= , 3 ????????9 分

2 2 故平面 OAB 与平面 OCD 所成二面角的平面角余弦值为 .??????10 分 3 23.解: (1)p1=pn(2-pn), p2=pn(2-p)n; (2)(用二项式定理证明) p2-p1=pn{[1+(1-p)]n-2+[1-(1-p)]n =pn{[1+Cn(1-p)+Cn(1-p)2+Cn(1-p)3+…+Cn(1-p)n]-2 +[1-Cn(1-p)+Cn(1-p)2-Cn(1-p)3+…+(-1)nCn(1-p)n]} =pn[Cn(1-p)2+Cn(1-p)4+…]>0.
2 4 1 2 3 n 1 2 3 n

????????2 分 ????????4 分

???????10 分

说明:作差后化归为用数学归纳法证明:(2-p)n>2-pn 也可.

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2014年南京外国语学校高中招生考试数学冲刺试题

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南京外国语学校联考(地理)试题2014

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四校联考数学试题卷2014

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