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0345 数学-泰州姜堰张甸中学2014届高三期中调研三数学试题

时间:2013-11-18


泰州姜堰张甸中学 2014 届高三数学期中调研三
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题卡相应位置上。 1、集合 A ? {?2,?1,0,2,3, } ,集合 B ? {x || x |? 1, x ? R} ,集合 A ? B 的真子集有 ▲ 2、命题“ ?x ? R , x 3 ? 2 x ? 1

? 0 ”的否定是 ▲ . . 个.

5 3、已知 cosα=13,且 α 是第四象限角,则 sin(-2π+α)= ▲ 4、函数 y ?

1 的定义域为 log 2 ( x ? 2)
b





5、“ 2 ? 2 ”是 log 2 a ? log 2 b ”的
a



条件. ▲ .

6、已知幂函数 f ( x ) ? ( m - m-1) x
2

m 2 ? m -3

在 ?0, ? ? 上为减函数,则 m = ?

π 3π 7、已知角 θ 的终边经过点 P(-4cos α,3cos α)( <α< ),则 sin θ+cos θ= 2 2 8、设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 = ▲





.

? ? ? ? 9、已知向量 a ? ?1, m ? , b ? ? n,1? ,若 a ∥ b ,则 m2 ? n2 的最小值为 ▲
3 10、 设函数 y ? x 与 y ? 1

.

? 2?

x ?2

m, m Z 的图象的交点为 ? x0 , y0 ? , x0 ? ? m ? 1 ,? ? 且

, m= 则



.

11、设公差为 d 的等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1 , ? 2 ? d ? ? 1 ,则当 S n 取

17

9

最大值时, n 的值为



. ▲ .

? x ? 1, ? 2 2 12、如果实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y ? 1 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0, ?
13、 已知二次函数 f ? x ? ? cx 2 ? 4 x ? a ? 1 的值域是 ?1, ?? ? , 1 ? 9 的最小值是 则

a

c



.

2 14、 不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立, x 的取值范围是 则



.

1

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分. 15 、 本 小 题 满 分 14 分 函 数 f ( x) ? lg( x ? 2 x ? 3) 的 定 义 域 为 集 合 A , 函 数 (
2

g ( x) ? 2 x ? a ( x ? 2) 的值域为集合 B.
(Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 B ? CU A ? ? ,求实数 a 的取值范围.

16、 (本小题满分 14 分在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且

f ( A) ? 2 cos

A A 2 A 2 A . sin ? sin ( ) cos( ) ? 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( A) ? 0 , C ?

5? , a ? 6 ,求 b 的值. 12

17、 (本小题满分 14 分已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 2 ? b(a ? 0) ,在区间 ?2, 3? 上有最大
2

值 5,最小值 2。 (1)求 a,b 的值。 (2)若 b ? 1 , g ( x) ? f ( x) ? (2 ) ? x 在?2, 4? 上单调,求 m 的取值范围。
m

18、 (本小题满分 16 分) 如图所示, 将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN, 要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米 . (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长度应在什么范围内? (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

D A

N

C B

P

M

2

19、 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 3ax ,g ( x) ? bx ? c ln x , g ( x) 在点 且 (1,
3 2

g (1) )处的切线方程为 2 y ? 1 ? 0 。
(1)求 g ( x) 的解析式; (2)求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间。

20、 (本小题满分 16 分 已知 A(

,

),B(

,

)是函数

的图象的

任意两点(可以重合) ,点 M 在直线 (1)求 + 的值及 + 的值

上,且

.

(2)已知

,当

时, = ,

+ 为数列{

+

+

,求

; ,

(3)在(2)的条件下,设

}的前 项和,若存在正整数 、

使得不等式

成立,求 和

的值.

参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题卡相应位置上。 1、集合 A ? {?2,?1,0,2,3, } ,集合 B ? {x || x |? 1, x ? R} ,集合 A ? B 的真子集有 ▲ 个.7

2、命题“ ?x ? R , x 3 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是



. ?x ? R , x 3 ? 2 x ? 1 ? 0

5 3、已知 cosα=13,且 α 是第四象限角,则 sin(-2π+α)=

▲ .?

12 13

3

4、函数 y ?

1 的定义域为 log 2 ( x ? 2)



. (2,3) ? (3, ??)

5、“ 2a ? 2b ”是 log 2 a ? log 2 b ”的



条件. 必要不充分

6、已知幂函数 f ( x ) ? ( m 2 - m-1) x m

2

? m -3

在 ?0, ? ? 上为减函数,则 m = ?



.-1

π 3π 7、已知角 θ 的终边经过点 P(-4cos α,3cos α)( <α< ),则 sin θ+cos θ= 2 2



1 . 5

8、设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 =



. ?6

? ? ? ? 9、已知向量 a ? ?1, m ? , b ? ? n,1? ,若 a ∥ b ,则 m2 ? n2 的最小值为 ▲
3 10、 设函数 y ? x 与 y ? 1

.2

? 2?

x ?2

m, m Z 的图象的交点为 ? x0 , y0 ? , x0 ? ? m ? 1 ,? ? 且

, m= 则



.1

11、设公差为 d 的等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1 , ? 2 ? d ? ? 1 ,则当 S n 取

17

9

最大值时, n 的值为



.9

? x ? 1, ? 2 2 12、如果实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y ? 1 的最小值是 ▲ ?2 x ? y ? 2 ? 0, ?
13、 已知二次函数 f ? x ? ? cx 2 ? 4 x ? a ? 1 的值域是 ?1, ?? ? , 1 ? 9 的最小值是 则 ▲

.4

a

c

.3

2 14、不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,则 x 的取值范围是

.

? ?1 ? 7 1 ? 3 ? , ? ? ? 2 2 ? ? ?

4

二、解答题: 15、函数 f ( x) ? lg( x ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ? 2 x ? a ( x ? 2) 的值域为集
2

合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 B ? CU A ? ? ,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)A= {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} = {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = {x | x ? ?1, 或x ? 3} ,
2

B= { y | y ? 2 ? a, x ? 2} ? { y | ? a ? y ? 4 ? a} .
x

(Ⅱ)∵ B ? CU A ? ? ,∴ B ? A , ∴ 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3 , ∴ a ? ?3 或 a ? 5 ,即 a 的取值范围是 (??, ?3] ? (5, ??) 16 、 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 且

f ( A) ? 2 cos

A A 2 A 2 A . sin ? sin ( ) cos( ) ? 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( A) ? 0 , C ? 解:(Ⅰ) . 因为 0<A<π,所以 则所以当 (Ⅱ)由题意知 又知 所以 ,则 . ,所以 ,即 . 时,f(A)取得最大值,且最大值为 ,所以 ,则 .因为 , . .

5? , a ? 6 ,求 b 的值. 12
=



得,



5

17、已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 2 ? b(a ? 0) ,在区间 ?2, 3? 上有最大值 5,最小值 2。
2

(1)求 a,b 的值。 (2)若 b ? 1 , g ( x) ? f ( x) ? (2 ) ? x 在?2, 4? 上单调,求 m 的取值范围。
m

解(1) f ( x) ? a( x ? 1) 2 ? 2 ? b ? a

(1 分)

①当 a ? 0 时, f ( x)在?2, 3? 上为增函数 ? f (3) ? 2 ?9a ? 6a ? 2 ? b ? 5 ?a ? 1 ? ? ?? 故? ? f (2) ? 5 ?4 a ? 4 a ? 2 ? b ? 2 ?b ? 0 ②当 a ? 0时, f ( x)在?2, 3? 上为减函数 ? f (3) ? 2 ?9a ? 6a ? 2 ? b ? 2 ?a ? ?1 ? ? ? ? 故? ? f (2) ? 2 ?4 a ? 4 a ? 2 ? b ? 5 ?b ? 3 (2)? b ? 1 ? a ? 1 b ? 0 即 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2
g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 ? (2 m ) x ? x 2 ? (2 ? 2 m ) x ? 2

2 ? 2m 2m ? 2 ?2 或 ?4 2 2 ? 2m ? 2 或 2m ? 6

即 m ? 1 或 m ? log 2

6

18、如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上, D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米 . (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长度应在什么范围内? (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

D A
【 解 】 设 AN 的 长 为 x 米 ( x ? 2) , 由 | DN | ? | DC | , 得 | AN | | AM |

N

C B

P

M

| AM |?

3x , x?2

2 ∴ S 矩形 AMPN ?| AN | ? | AM |? 3x . x?2

(1)由 S 矩形 AMPN ? 32 ,得

3x 2 ? 32 , x?2

又 x ? 2 ,于是 3x ? 32 x ? 64 ? 0 ,解得
2

6

8 8 2 ? x ? 或x ? 8 ,AN 长的取值范围为 (2 , ) ∪ (8 , ? ?) . 3 3
(2) y ?

3x 2 3( x ? 2) 2 ? 12( x ? 2) ? 12 12 ? ? 3( x ? 2) ? ? 12 x?2 x?2 x?2
12 ? 12 ? 24 , x?2

? 2 3( x ? 2) ?

2 当且仅当 3( x ? 2) ? 12 即 x ? 4 时, y ? 3x 取得最小值 24, x?2 x?2 ∴当 AN 的长度是 4 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小值为 24 平方米.

19、已知函数 f ( x) ? ax ? 3ax , g ( x) ? bx ? c ln x ,且 g ( x) 在点(1, g (1) )处的切线
3 2

方程为 2 y ? 1 ? 0 。 (1)求 g ( x) 的解析式; (2)求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间。 解: (1) g ? ? x ? ? 2bx ?
c ,由条件,得 x

? g ? ?1? ? 0 ?2b ? c ? 0 1 1 ? ? ,? b ? , c ? ?1 ,? g ? x ? ? x 2 ? ln x . ? 1 1 ,即 ? 2 2 ? g ?1? ? ?b ? 2 ? ? 2

(2)由 F ? x ? ? ax3 ? 3ax ?
F ? ? x ? ? 3ax 2 ? 3a ? x ?

1 2 x ? ln x ,其定义域为 ? 0, ?? ? , 2

1 ? x ? 1?? x ? 1?? 3ax ? 1? , ? x x

令 F ? ? x ? ? 0 ,得 ? x ? 1?? 3ax ? 1? ? 0 (*) ①若 a ? 0 ,则 x ? 1 ,即 F ? x ? 的单调递增区间为 ?1, ?? ? ; ②若 a ? 0 , (*)式等价于 ? x ? 1?? ?3ax ? 1? ? 0 ,
1 2 当 a ? ? ,则 ? x ? 1? ? 0 ,无解,即 F ? x ? 无单调增区间, 3 1 1 ? 1 ? 当 a ? ? ,则 ? ? x ? 1 ,即 F ? x ? 的单调递增区间为 ? ? ,1? , 3 3a ? 3a ?
1 ? 1 1 ? 当 ? ? a ? 0 ,则 1 ? x ? ? ,即 F ? x ? 的单调递增区间为 ?1, ? ? . 3a ? 3 3a ?

7

20

已知 A(

,

),B(

,

)是函数

的图象上的任意两点(可以重

合) ,点 M 在直线 (1)求 (2)已知 +

上,且 的值及 ,当 + 的值 时, = ,

.

+ 为数列{

+

+

,求

; ,

(3)在(2)的条件下,设

}的前 项和,若存在正整数 、

使得不等式

成立,求 和

的值.

解: (Ⅰ)∵点 M 在直线 x= 又 ∴ + =1. = 时, 当 = , = ,即

上,设 M

. , ,

① 当 ②

+

= 时 ,

; ,

+

=

+

=

=

=

综合①②得,

+ +

. =1 时, + + ∴ + , + ② k= , . ,

(Ⅱ) (Ⅰ) 当 由 知, n ≥ 2 时 ,

①+②得,2

=-2(n-1),则

=1-n. =1-n. ∴
8

当 n=1 时,

=0 满足

=1-n.

(Ⅲ)

=

=



=1+

+

=

.

.

=2∴



=

-2+

=2-



, 、m 为正整数,∴c=1,

当 c=1 时,

, ∴1<

<3, ∴m=1.

9