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S11-数学8-数列通项


源于名校,成就所托
【典型例题分析】
一、公式法(变形后用公式) 例 1、 数列 {an } 中,若 a1 ? 2,

1 1 ? ? 4(n ? N ), 求 an an?1 a n

变式练习 1:已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。



变式练习 2:数列{ an }中, a1 ? 1, an ? 0, 且an ? 2an ? an?1 ? an?1 ? 0(n ? 2, n ? N ), 求 an.

变式练习 3:正数数列{ an }中,若 a1=10,且 lg a n ?

1 lg a n ?1 , (n ? 2, n ? N ), 求 an. 2

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二、累加法 例 2、已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

变式练习 1: 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

变式练习 2: 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

2

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三、累乘法 例 3、 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

变式练习: 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 式。

? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公

四、待定系数法 例 4、在数列{an}中 a1=1,当 n≥2 时,有 an=3an-1+2,求其通项 an

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例 5、已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

变式练习:已知数列 {an } 满足 a1 ? 3, an ? 4an?1 ? 5 求 an

五、运用 Sn 与 an 的关系 例 6、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=10 +1,求通项公式 an.
n

* 变式练习:正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2 S n =an+1(n∈N ),求通项公式 an.

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六、对数变换法
5 例 7、 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

七、数学归纳法 例 8、已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

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八、换元法 例 9、已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16

【课堂总结】
常用的求数列通项公式的方法: 1、公式法(通过变形凑结构可以得到一个特殊数列---等差或等比数列,利用等差等比数列 的通项公式求解) 2、累加列乘法 3、运用 Sn 与 an 的关系 4、待定系数法 5、数学归纳法

【课后练习】
* 1、数列 ?an ? 对于任意 p,q ? N ,有 a p ? aq ? a p ?q ,若 a1 ?

1 ,则 a36 ? 9



2、已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,则其通项 an ?



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3、 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? 3n?1 ? an?1 (n ? 2) ,求数列的通项公式。

4、已知数列 {an } 的首项为 1,且 an?1 ? an ? 2n(n ? N * ) 写出数列 {an } 的通项公式。

5、已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an ? an ?1 ?

1 (n ? 2) ,求此数列的通项公式。 n(n ? 1)

6、已知数列 {an } 中, S n ?

1 an ? 2n ,求数列 {an } 的通项公式。 2

2 2 7、设 {an } 是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an , ?1 ? nan ? a n ?1 a n ? 0 ( n =1,2, 3,…)

则它的通项公式是 a n =________.

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8、已知 an?1 ? nan ? n ?1, a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

9、数列 {an } 满足 a1 ? 0 , a n ?1 ? a n ? 2n ,求数列 {an } 的通项公式。

10、已知数列{an}满足 a1=1,Sn=

n ?1 ? a n ,求通项 an 2

11、已知数列 {an }满足 a1 ? 3, a n ? a n ?1 ? ( ) , ( n ? N ) ,求此数列的通项公式。
n *

1 2

12、已知数列 {an } 中, a1 ? 2, a n ?1 ?

1 1 a n ? , 求通项 an 。 2 2

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13、设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N .
*

求数列 {an } 的通项公式。

14、设 {an } 是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所有的自然数 n,an 与 2 的等 差中项等于 Sn 与 2 的等比中项
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(1)写出数列 {an } 的前 3 项

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(2)求数列 {an } 的通项公式(写出推证过程)

15、已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和满足 S n ? 1 ,且 6S n ? (an ? 1)(an ? 2), n ? N ,
*

求 {an } 的通项公式;

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16、在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* . (Ⅰ)证明数列 {an ? n} 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式;

17、设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n
n ?1 (Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

(Ⅱ)求 {an } 的通项公式。

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