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立几垂直


空间垂直 一、选择题 1.已知 l , m 是两条不同的直线, a 是个平面,则下列命题正确的是( (A)若 l / / a, m / / a ,则 l / / m (B)若 l ? m, m / / a ,则 l ? a (C)若 l ? m, m ? a ,则 l / / a (D)若 l / / a, m ? a ,则 l ? m 2.已知直线 l , m ,平面 ? ,

? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题: ①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ; ②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ; ③若 ? ? ? ,则 l ∥ m ; ④若 l ∥ m ,则 ? ? ? . 其中真命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4 )

3.已知三条不重合的直线 m, n, l ,两个不重合的平面 ? , ? ,有下列命题: ①若 l / /? , m / / ? ,且 ? / / ? ,则 l / / m ②若 l ? ? , m ? ? ,且 l / / m ,则 ? / / ? ③若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? ,则 ? / / ? ④若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m ,则 n ? ? 其中真命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.如图,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现在沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体, 使 G1,G2,G3 三点重合, 重合后的点记为 G, 则在四面体 S-EFG 中必有( )

A.SG⊥△EF G 所在平面

B.SD⊥△EFG 所在平面
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C.GF ⊥△SEF 所在平面

D.GD⊥△SEF 所在平面

5.如图,在三棱锥 A—BCD 中,DA,DB,DC 两两垂直,且 DB=DC=2,点 E 为 BC 的中点, O 若直线 AE 与底面 BCD 所成的角为 45 ,则三棱锥 A—BCD 的体积等于 ( )

A.

2 3

B.

4 3

C.

2 2 3

D.2

6.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90 0 ,PA⊥平面 ABC,则四面体 P-ABC 中共有( 个直角三角形 A.4



B.3

C.2

D.1

? ? A ? ? , B ? ? , AB ? ? 7. 如图, 平面 ? ? 平面 , 与两平面 ? 、 所成的角分别为 4 和 6 。
过 A、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A ' 、 B? ,若 AB=12,则 A ' B ' ? ( )

? A B' A' B ?

A.4

B.6

C.8

D.9

8 .四面体 P ? ABC 中,若 PA ? PB ? PC,则点 P 在平面 ABC 内的射影点 O 是

? ABC 的 (
A 、外心;



B 、内心;

C 、垂心;

D 、重心。

9.在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? PC ,底面 ? ABC 是正三角形, M 、 N 分别
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是侧棱 PB 、 PC 的中点. 若平面 AMN ? 平面 PBC ,则侧棱 PB 与平面 ABC 所成角 的正切值是( ) (A)

5 3 6 2 (B) (C) (D) 2 2 3 2

10.已知正四棱锥 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 AB ,则 CD 与平面 BDC1 所成角的 正弦值等于( (A) ) (B)

2 3

3 3

(C)

2 3

(D)

1 3

11.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 BC1 与截面 BDD1 B1 所成的角是 A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

12. 如图, 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中已知 AB ? 1 ,D 在棱 BB1 上, 且 BD ? 1 , 若 AD 与平面 AAC 1 1C 所成的角为 ? ,则 ? 的余弦值为

A. C.

1 2

6 4

2 2 10 D. 4
B.

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二、填空题 13.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,二面角 C1 ? A1 B ? D 的余弦值为 .

14.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 P 是它的体对角线 BD1 上一动点,则 |AP|+|PC|的最小值是_________

15.棱长为 1 的正四面体,某顶点到其相对面的距离为 . 16. △ABC 的三边长分别是 3,4,5,P 为△ABC 所在平面外一点,它到三边的距离都是 2,则 P 到 ? 的距离为_________. 17.△ ABC 的三个顶点 A、B、C 到平面 ? 的距离分别为 2 c m、3 cm、4 cm,且 A,B,C 在平面 ? 的同侧,则△ ABC 的重心到平面 ? 的距离为___________。 18.如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 2 .若二面角 C ? AB ? C1 的大小

为 60 0 ,则点 C 到平面 ABC1 的距离为



三、解答题 19 . 如 图 所 示 , PA ? 平 面 ABCD, 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 , 且 2PA ? AD , E、F、G、H 分别是线段 PA、PD、CD、BC 的中点.

(Ⅰ)求证: BC // 平面 EFG ; (Ⅱ)求证: DH ? 平面 AEG ; (Ⅲ)求三棱锥 E ? AFG 与四棱锥 P ? ABCD 的体积比.

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20.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,且 AD∥BC,∠ABC=∠PAD= 90°,侧面 PAD⊥底面 ABCD,若 PA=AB=BC=

1 ,AD=1. 2

(I)求证:CD⊥平面 PAC; (II)侧棱 PA 上是否存在点 E,使得 BE∥平面 PCD?若存在,指出点 E 的位置,并证 明,若不存在,请说明理由.

21.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为正方形, PA ? 底面 ABCD , E , F 分 别是 AC , PB 的中点.
P

F

A E B C

D

(1)求证: EF // 平面 PCD ; (2)求证:平面 PBD ? 平面 PAC ; (3)若 PA ? AB ,求 PD 与平面 PAC 所成的角的大小.

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22.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC= 2 ,AA1=3,D 是 BC 的 中点,点 E 在棱 BB1 上运动.

(Ⅰ)证明:AD⊥C1E; (Ⅱ)当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60°时,求三棱锥 C1-A1B1E 的体积.

23.如图, 在等腰梯形 CDEF 中,CB、DA 是梯形的高, AE ? BF ? 2 , AB ? 2 2 , 现将梯形沿 CB、DA 折起,使 EF / / AB ,且 EF ? 2AB ,得一简单组合体 ABCDEF 如图所示,已知 M、N、P 分别为 AF , BD, EF 的中点.

(1)求证: MN / / 平面 BCF ; (2)求证: AP ? 平面 DAE .

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24.如图,四棱锥 P ? ABCD中,?ABC ? ?BAD ? 90 ,BC ? 2 AD, ?PAB与?PAD
?

都是边长为 2 的等边三角形. (I)证明: PB ? CD; (II)求点 A到平面PCD的距离.

25 如题(19)图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD , PA ? 2

3 , BC ? CD ? 2 ,

?ACB ? ?ACD ?

?
3

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(Ⅰ)求证: BD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF ? 7 FC ,求三棱锥 P ? BDF 的体积.

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26 如图, AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.

(I)求证: BC ? 平面PAC; (II)设 Q为PA的中点,G为?AOC的重心,求证:QG / /平面PBC.

27 ( 2013

年 高 考 福 建 卷 ( 文 )) 如 图 , 在 四 棱 锥

P ? ABCD

中 , PD ? 面ABCD , AB / / DC , AB ? AD , BC ? 5 , DC ? 3 , AD ? 4 ,

?PAD ? 60? .
(1)当正视图方向与向量 AD 的方向相同时,画出四棱锥 P ? ABCD 的正视图.(要 求标出尺寸,并画出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证: DM / / 面PBC ; (3)求三棱锥 D ? PBC 的体积.

????

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参考答案 1.D 2.B 3.C 4.A 5. C 6.A 7.B 8.A 9.A 10.A 11.A 12.D 13.

1 3
2 6 . 3 6 3

14.

15.

16. 3 17.3, 18.3/2 19. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ)三棱锥 E ? AFG 与四棱锥 P ? ABCD 的体积比 20. (I)见解析; (II)存在,证明见解析. 21. (1)见解析; (2)见解析; (3) 30 ? . 22.(I)见解析;(II)

1 16

2 . 3

23.(1)证明过程详见解析; (2)证明过程详见解析.

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