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2015届安徽省屯溪一中高三第四次月考(数学文)试题及答案


屯溪一中高三第四次月考试卷 文科数学
第Ⅰ卷(选择题
1、函数 f ( x) ? 2 ? x ? lg( x ? 1) 的定义域是( A. (??, 2] 2、已知复数 z 满足 A. B.
1 2

满分 50 分)
) C. (1, 2] D. (1, ??)

一、选择题(本大题共 10 小题,

每小题 5 分,共 50 分. )

B. (2, ??) ,则 (

) C. D.2 ) D. 10

3、平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a =(2,0),| b | =1,则| a +2 b |等于( A. 2 2 B. 2 3 ) C. 4

4、下列有关命题说法正确的是(

A.命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 ”的否命题为:“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 ” B.“ x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件 C.命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 5、如果执行如图的程序框图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于( A.720 B.360 C.240 D.120 6、 A.1 B.2 在区间 [0,2? ] 上的零点的个数为( C.3 ) )

D.4 ?2 x ? y ? 6 ? 0 7、若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 满足约束条件 ? 且 ?x ? y ? 2 ? 0 5 1 最大值为 40,则 ? 的最小值为( ) a b 25 9 A. B. 4 C. D. 1 4 6

?2 x ? 1, ( x ? 0), 8、已知函数 f ( x) ? ? 把方程 f ( x) ? x ? 0 的根按从小到大的顺序 ? f ( x ? 1) ? 1, ( x ? 0),
排成一个数列,则该数列的前 n 项和为( )

A. Sn ? 2n ?1(n ? N? ) B. Sn ?

n(n ? 1) (n ? N ? ) C. Sn ? n ?1(n ? N? ) D. Sn ? 2n?1 (n ? N? ) 2

2 9、已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 有相同的焦点 F,点 A 是两曲线 a 2 b2

的一 个交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为 A. 2+2 B. 5+1

(

) D. 2+1

C. 3+1

→ → → → → → 2 10、已知 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足BA· OA+|BC| =AB· OB+|AC|2, 则点 O ( ) B.在∠C 平分线所在的直线上 D.是△ABC 的外心

A.在 AB 边的高所在的直线上 C.在 AB 边的中线所在的直线上

第Ⅱ卷(非选择题

满分 100 分)
.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、函数 f ( x) ? e x ( x ? 1) 图象在点 ?0, f ?0 ?? 处的切线方程是 12、已知不等式

1 2x
2

?x

?1? ?? ? ?2?

2 x 2 ? mx ? m ? 4

对任意 x ? R 恒成

立,则实数 m 的取值范围是 . 13、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表 面积与其外接球面积之比为 14 、 已 知 正 项 数 列 . 的 首 项 a1 ? 1 , 且

?an ?

2 2 * 2nan ?1 ? (n ?1)an an?1 ? (n ? 1)an ? 0(n ? N ) ,

则 ?an ? 的通项公式为 an ?



15、如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动,点 B 恰好经过原点.设顶点

P? x , y ? 的轨迹方程是 y ? f ( x) ,则对函数 y ? f ( x) 有下列判断:
①函数 y ? f ( x) 是偶函数; ②对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ;

③函数 y ? f ( x) 在区间 [2,3] 上单调递减;④函数 y ? f ( x) 在区间 [4, 6] 上是减函数.

其中判断正确的序号是
y

(写出所有正确的结论序号)

C
P

B
A

O

x

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内) 16、 (本小题满分 12 分) 设 a ? ( 3 sin x, cos x) , b ? (cosx, cos x) ,记 f ( x) ? a ? b
? ? 11? ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)试用“五点法”画出函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 的简 ? 12 12 ?

图,并指出该函数的图象可由 y ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到;
? ? ?? (3)若 x ? ? ? , ? 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? m 的最小值为 2,试求出函数 g ( x) 的最大值并 ? 6 3?

指出 x 取何值时,函数 g ( x) 取得最大值.

17、 (本小题满分 12 分)
大家知道,莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家,国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各抽取 50 名同学调查对莫言作品的了解程度,结果如下: 阅读过莫言的 作品数(篇) 男生 女生 0~25 3 4 26~50 6 8 51~75 11 13 76~100 18 15 101~130 12 10

(Ⅰ)试估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率; (Ⅱ)对莫言作品阅读超过 75 篇的则称为“对莫言作品非常了解”,否则为“一般了解”.根据题意完成 下表,

并判断能否有 75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关? 非常了解 男生 女生 合计
2 附: K ?

一般了解

合计

n?ad ? bc? ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?
2

P K 2 ? k0

?

?

k0

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

18、 (本小题满分 13 分) 如图, 、 是以 为直径的圆上两点, ,将圆沿直径 . 平面 平面 ; ; 的体积. 折起,使点 在平面 , 的射影 , 在 是 上

一点,且 知

上,已

(1)求证: (2)求证: (3)求三棱锥

19、 (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 =2, an?1 ? 2Sn ? 2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2 ) 若数列 ?bn ? 的各项均为正数, 且 ?bn ? 是
n n 与 的等比中项, 求 bn 的前 n 项和为 Tn ; an an ? 2

20、 (本小题满分 13 分) 抛物线 C : y 2 ? 2 px 经过点 M (4, ?4) ,

(1)不过点 M 的直线 l 分别交抛物线于 A、B 两点,当直线 l 的斜率为 线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补。

1 ,求证:直 2

(2) 不经过点 M 的动直线 l 交抛物线 C 于 P、Q 两点, 且以 PQ 为直径的圆过点 M , 那 么直线 l 是否过定点?如果是,求定点的坐标;如果不是,说明理由. 21、 (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a) ln x ?
1 ? 2ax( a ? R). x

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (2)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (3)若对任意当 a ? (?3, ?2) 及 x1 , x2 ?[1,3] , 恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 求 实数

m 的取值范围.

屯溪一中高三第四次月考试卷 文科数学答案
一、选择题 1、C 2、A 3、B 二、填空题 11、 y ? 2 x ? 1
①②④

4、D

5、B 6、B 7、C 8、B 9、D 10、A

12、 (?3,5)

13、

3

?

14、 ( ) n ?1 ? n

1 2

15、

三、解答题
16、设 a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), 记 f ( x) ? a b.

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; ( 2 ) 试 用 “ 五 点 法 ” 画 出 函 数 f ( x) 在 区 间 ? ?

? ? 11? ? 的简图,并指出该函数的图象可由 , ? 12 12 ? ?

y ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到;
(3)若 x ? ? ?

? ? ?? , 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? m 的最小值为 2,试求出函数 g ( x) 的最大值并指出 x ? 6 3? ?

取何值时,函数 g ( x) 取得最大值.

解析: (1) f ( x) ? a b ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

2? ? 1 ? sin(2 x ? ) ? , ∴ T ? ? ? . ????????????(3 分) 6 2 ?
(2)

x

?

? 12
0

2? 12

5? 12

2x ?

?
6

? 2
1

?

8? 12 3? 2
-1

11? 12 2?
0

sin(2 x ? ) 6
y

?

0

0

1 2

3 2

1 2

?

1 2

1 2

? ? 1 得到 y ? sin( x ? ) ,再保持纵坐标不变,横坐标缩短为原的 变为 6 2 6 ? 1 ? 1 y ? sin(2 x ? ) ,最后再向上平移 个单位得到 y ? sin(2 x ? ) ? .?????(8 分) 6 2 6 2 ? 1 (3) g ( x) ? f ( x) ? m ? sin(2 x ? ) ? ? m, 6 2
y ? sin x 向左平移

? ? ? 5? ? ? ?1 ? ? ? ?? x ? ? ? , ? ,? 2 x ? ? ? ? , ? ,? sin(2 x ? ) ? ? ,1? , 6 ? 6 6 ? 6 ?2 ? ? 6 3?
3 7 ? 3 ? ? g ( x) ? ? m, ? m ? ,? m ? 2,? g max ( x) ? ? m= . 2 2 ? 2 ?
当 2x ?

?
6

=

?
2

即 x=

? 7 时 g ( x) 取得最大,最大值为 . ????????????(12 分) 6 2

17、大家知道,莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家,国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各 抽取 50 名同学调查对莫言作品的了解程度,结果如下: 阅读过莫言的 作品数(篇) 男生 女生 0~25 3 4 26~50 6 8 51~75 11 13 76~100 18 15 101~130 12 10

(Ⅰ)试估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率; (Ⅱ)对莫言作品阅读超过 75 篇的则称为“对莫言作品非常了解”,否则为“一般了解”.根据题意完成 下表,并判断能否有 75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关? 非常了解 男生 女生 合计 一般了解 合计

n?ad ? bc? 附: K ? ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?
2 2

P K 2 ? k0

?

?

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

k0

解析:由抽样调查阅读莫言作品在 50 篇以上的频率为 该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率约为 P ? (Ⅱ) 非常了解 男生 女生 合计 根据列联表数据得 30 25 55

11 ? 18 ? 12 ? 13 ? 15 ? 10 79 ? ,据此估计 50 ? 50 100
………..5 分

79 100
一般了解 20 25 45

合计 50 50 100 ………..8 分

100? ?30? 25 ? 20? 25? K ? ? 1.010 ? 1.323, 50? 50? 55? 45
2 2

18、如图, 点, 且



是以

为直径的圆上两点, 折起, 使点 在平面

, 的射影 在

, 上, 已知



上一 .

, 将圆沿直径 平面 平面 ; ; 的体积.

(1)求证: (2)求证: (3)求三棱锥

解析: (1)证明:依题 平面 ∴ ∴ 平面 (2)证明: 中, ∴ (3)解:由(2)知 中, , 在平面 ,

. , ∴ 外 ∴ ∴ . ∴ 平面 ,且 . .





的距离等于 平面



的距离为 1. ∴

. ∴ .

19、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 =2, an?1 ? 2Sn ? 2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 的各项均为正数,且 ?bn ? 是

n n 与 的等比中项,求 bn 的前 n 项和为 Tn ; an an ? 2

解析:当 n≥2 时,由 an?1 ? 2Sn ? 2 ,得 an ? 2Sn?1 ? 2 , 两式相减得 an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 2an ,故

an ?1 ? 3(n ? 2) , ????2 分 an
a2 ?3, a1

当 n ? 1 时, a2 ? 2S1 ? 2 ? 2a1 ? 2 ? 6 ,此时

故当 n ? 1时,

a n ?1 ? 3 ,则数列 ?an ?是首项为 2,公比为 3 的等比数列, an
??????6 分 (没有检验当 n ? 1 时扣 1 分)

∴ an ? 2 ? 3n?1 . (2) bn ?

n n n n n . ? ? ? ? n ?1 n ?1 an an ? 2 2?3 2?3 2 ? 3n

??????8 分

1 1 2 n ( ? 2 ? ... ? n ) . 2 3 3 3 1 2 3 n 2 1 2 3 n 则 2Tn ? ? 2 ? 3 ? ... ? n . ①,则 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 . ② 3 3 3 3 3 3 3 3 3
所以 Tn ? 则①-②得:

1 1 [1 ? ( ) n ] 4 1 1 1 1 n 3 ? n ? 1 ? 2n ? 3 . Tn ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n ?1 ? 3 1 3 3 3 3 3 3 3n ?1 2 2 ? 3n ?1 1? 3 3 2n ? 3 所以 Tn ? ? ??????13 分 8 8 ? 3n

20、抛物线 C : y 2 ? 2 px 经过点 M (4, ?4) , (1) 不过点 M 的直线 l 分别交抛物线于 A、B 两点, 当直线 l 的斜率为

1 , 求证: 直线 MA 与直线 MB 2

的倾斜角互补。 (2)不经过点 M 的动直线 l 交抛物线 C 于 P、Q 两点,且以 PQ 为直径的圆过点 M ,那么直线 l 是 否过定点?如果是,求定点的坐标;如果不是,说明理由. 解析: (1)抛物线方程为 y 2 ? 4 x ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

1 ? ? y1 ? y2 ? 8 1 ?y ? x ? m 设直线 l 的方程是 y ? x ? m ,由 ? ,得 y 2 ? 8 y ? 8m ? 0 , ? 2 2 2 ? y1 y2 ? 8m ? ? y ? 4x
k AM ? kBM ? y1 ? 4 y2 ? 4 4( y1 ? y2 ? 8) 4 4 ? ? ? ? ? 0, x1 ? 4 x2 ? 4 y1 ? 4 y2 ? 4 ( y1 ? 4)( y2 ? 4)

直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补。 (2)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,以 PQ 为直径的圆过点 M , 则 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ( y1 ? 4)( y2 ? 4) ? 0 ,即 ( 化简,得 y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 32 ? 0 , 过 PQ 的直线为 y ?

y12 y2 ? 4)( 2 ? 4) ? ( y1 ? 4)( y2 ? 4) ? 0 , 4 4

yy 4 (x ? 1 2 ) y1 ? y2 4

?

4( y1 ? y2 ) ? 32 4 4 (x ? )? ( x ? 8) ? 4 ,恒过 (8, 4) 点. y1 ? y2 4 y1 ? y2
1 ? 2 ax( a ? R). x

21. 已知函数 f ( x) ? (2 ? a) ln x ? (1)当 a=0 时,求 f ( x ) 的极值;

(2)当 a<0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (3)若对任意当 a ? (?3, ?2) 及 x1 , x2 ?[1,3] ,恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求实 数 m 的取值范围.

解析: (1) f ( x ) 的极小值为 2 ? ln 2, 无极大值; (2 )当 a ? ?2 时, f ( x ) 的递减区间为 (0, ? ) 和

1 a

1 1 1 ( , ??) , 递增区间为 ( ? , ) ; 当 a = ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减; 当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x ) 2 a 2
的递减区间为 (0, ) 和 (? (3) m ? ?

1 2

1 1 1 , ??) ,递增区间为 ( , ? ) ; a 2 a

13 . 3

解析: (1)依题意知 f ( x ) 的定义域为 (0, ? ?) ,

1 2 1 2x ?1 , f ?( x) ? ? 2 ? , x x x x2 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? , 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2 1 又∵ f ( ) ? 2 ? ln 2, ∴ f ( x ) 的极小值为 2 ? ln 2, 无极大值.??????(3 分) 2
当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ? (2) f ?( x) ?

2?a 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? 2 ? 2a ? . x x x2

1 1 1 1 ? , 令 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ? 或 x ? , a 2 a 2 1 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 得 ? ? x ? ; 当 ?2 ? a ? 0 时,得 ? ? , a 2 a 2 1 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 或x ? ? ,令 f ?( x) ? 0 得 ? x ? ? ; 2 a 2 a
当 a ? ?2 时, ? 当 a = ? 2 时, f ?( x) ?

(2 x ? 1) 2 ? 0, x2
1 a 1 2 1 1 , ); a 2

综上所述,当 a ? ?2 时, f ( x ) 的递减区间为 (0, ? ) 和 ( , ??) ,递增区间为 ( ? 当 a = ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减; 当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x ) 的递减区间为 (0, ) 和 (?

1 2

1 1 1 , ??) ,递增区间为 ( , ? ) .?(8 分) a 2 a

(3)由(2)可知,当 a ? (?3, ?2) 时, f ( x ) 在区间 [1,3] 上单调递减; 当 x=1 时, f ( x ) 取得最大值;当 x=3 时, f ( x ) 取得最小值;

1 ? ? 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ? ? 6a ? ? ? 4a ? ( a ? 2) ln 3, 3 ? ? 3

(m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立,
2 2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 ,整理得 ma ? ? 4a , 3 3 2 13 2 38 a ? 0, ?m ? ? 4 恒成立, ?3 ? a ? ?2, ?? ? ?4? ? , 3a 3 3a 9 13 ? m ? ? . ????????????????????????(13 分) 3 ? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ?


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