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14数学全国教师7(理)

时间:2014-10-03


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(七)
第七单元 三角恒等变换
150 分) (120 分钟

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.计算 cos 45° cos 15° -sin 45° cos 75° 的结果是 A. 2
3

B. 2

2

C.2

1

D.1
1 2

解析:cos 45° cos 15° -sin 45° cos 75° =cos 45° cos 15° -sin 45° sin 15° =cos(45° +15° )=cos 60° = . 答案:C

2.

sin110°sin20° 的值为 cos2 155°-sin2 155°

A.-2
解析:

1

B.2

1

C. 2

3

D.- 2

3

sin110°sin20° sin20°cos20° sin40° sin40° 1 = = = = . cos310° 2cos50° 2sin40° 2 cos2 155°-sin2 155°

答案:B

3.

sin(180°+2) cos2 α · 等于 1+cos2 cos(90°+)

A.-sin α
解析:原式= 答案:D

B.-cos α C.sin α D.cos α
(-sin2)·cos2 α 2sin·cos·cos2 α = =cos α. 2cos2 α·sin (1+cos2)·(-sin)

4.已知 α∈(2,π),sin α= 5 ,则 tan 2α 等于 A.-3
π 2 4

π

5

B.-7

4

C.-4

3

D.-5
1

3

解析:∵ α∈( ,π),sin α= 答案:A

5 1 2tan 2×(-2) 4 ,∴ tan α=- ,∴ tan 2α= = =- . 5 2 1-tan2 α 1-(-1)2 3
2

5.若 sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β=5,且 α 是第二象限的角,则 tan(4+α)等于 A.7 B.-7 C.
1 7

4

π

D.-

1 7

解析:依题意得 cos α=- .又 α 在第二象限,∴ tan α=- ,tan(α+ )= 答案:C

4 5

3 4

π 1+tan 1 = . 4 1-tan 7

6.在△ABC 中,cos2 = A.等腰三角形



1+cos ,则△ABC 一定是 2

B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.无法确定
解析:∵ cos2 = 答案:A
1+cos 1+cos 1+cos ,∴ = ,∴ cos A=cos B,∴ A=B,∴ △ABC 一定是等腰三角形. 2 2 2 2

7.已知函数 f(x)=(1+cos 2x)sin2x,x∈R,则 f(x)是 A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数
1 2

B.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为2的偶函数
1 4 2π 2π π = = . 4 2 π

π 2

解析:f(x)=(1+cos 2x)sin2x=2cos2xsin2x= sin22x= (1-cos 4x),所以函数 f(x)为偶函数,周期 T= 答案:D

8.已知函数 f(x)=asin x+acos x(a<0)的定义域为[0,π],最大值为 4,则 a 的值为 A.- 3 B.-2 2 C.- 2 D.-4
π 4 π π 5π π 2 ],∴ sin(x+ )∈[- ,1],由于 a<0,故 4 4 4 4 2

解析:f(x)=asin x+acos x= 2asin(x+ ),当 x∈[0,π]时,x+ ∈[ ,

2asin(x+4)∈[ 2a,-a],即 f(x)的最大值为-a,∴-a=4,即 a=-4.
答案:D

π

9.定义运算 A.12
π



1 sin =ad-bc.若 cos α=7, cos

sin 3 3 π = ,0<β<α<2,则 β 等于 cos 14

B.6

π

C.4

π

D.3

π

解析:依题设得:sin α·cos β-cos α·sin β=sin(α-β)= ∴ cos(α-β)= ,又∵ cos α= ,∴ sin α=
13 14 1 7 4 3 , 7

3 3 π ,∵ 0<β<α< , 14 2

sin β=sin[α-(α-β)]=sin α·cos(α-β)-cos α·sin(α-β)= ∴ β= . 答案:D
π 3

4 3 13 1 3 3 3 × - × = , 7 14 7 14 2

10.已知 sin β=5(2<β<π),且 sin(α+β)=cos α,则 tan(α+β)等于

3 π

A.1

B.2
3π 52

C.-2
4 5

D.

8 25

解析:∵ sin β= ( <β<π),∴ cos β=- ,∴ sin(α+β)=cos[(α+β)-β], ∴ sin(α+β)=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β, ∴ sin(α+β)=- cos(α+β),∴ tan(α+β)=-2. 答案:C
2 5 4 5

11.已知 tan α 和 tan(4-α)是方程 ax2+bx+c=0 的两个根,则 a、b、c 的关系是 A.b=a+c B.2b=a+c C.c=b+a
- ,

π

D.c=ab

π tan + tan( -α) = 4 解析: π tantan( 4 -α) = ,


π π ∴ tan =tan[( -α)+α]= =1,∴ - =1- ,∴ -b=a-c,∴ c=a+b. 4 4 1-

答案:C

12.设 a= 2 (sin 56° -cos 56° ),b=cos 50° cos 128° +cos 40° cos 38° ,c=1+tan2 40°30',d=2(cos 80° 2cos250° +1),则 a,b,c,d 的大小关系为 A.a>b>d>c B.b>a>d>c C.d>a>b>c D.c>a>d>b
解析:a=sin(56° -45° )=sin 11° , b=-sin 40° cos 52° +cos 40° sin 52° =sin(52° -40° )=sin 12° , c=
1-tan2 40°30' =cos 81° =sin 9° , 1+tan2 40°30' 1 2

2

1-tan2 40°30'

1

d= (2cos240° -2sin240° )=cos 80° =sin 10° ,∴ b>a>d>c. 答案:B

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.已知 sin(2+α)=3,则 cos(π+2α)的值为
π 2 1 3 1 3 π 1

.
7 9

解析:∵ sin( +α)= ,∴ cos α= ,∴ cos(π+2α)=-cos 2α=-(2cos2α-1)= . 答案:
7 9
π

14.

4sin2 (4 +α)tan(4 -α)

π

sin4

=

.

解析:4sin2( +α)tan( -α)=4cos2( -α)tan( -α)=4cos( -α)sin( -α) =2sin( -2α)=2cos 2α,
sin4 sin4 2sin2cos2 = =sin 2α. π π = 2cos2 4sin2 (4+α)tan(4 -α) 2cos2 π 2

π 4

π 4

π 4

π 4

π 4

π 4

答案:sin 2α

15.函数 y=sin 2x+2 2cos(4+x)+3 的最小值是
解析:令 t=cos( +x),
π 4

π

.

∴ y=-cos( +2x)+2 2cos( +x)+3=-2cos2( +x)+2 2cos( +x)+4=-2t2+2 2t+4=-2(t22 ) +5=2-2 2

π 2

π 4

π 4

π 4

22 ) +5≥-2(-12

2.

答案:2-2 2

16.在矩形 ABCD 中,AB=a,BC=2a,在 BC 上取一点 P,使得 AB+BP=PD,则 tan∠APD 的值 为 .

解析:如图作 PE⊥AD 于 E.设 BP=x.则 x+a= (2-)2 + 2 ,∴ x= ,
+ 2 4 ∴ AE=BP= ,DE=PC= a,∴ tan∠APD=tan(∠1+∠2)= 32 34=18. 3 3
2 4

2 3

答案:18

1-3× 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=
sin2(sin+cos) . cos

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)在区间[-6,4]上的最大值和最小值.
解析:(1)因为 cos x≠0,所以 x≠kπ+ ,k∈Z. 所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠kπ+ ,k∈Z}.2 分
π 2 π 2 ππ

f(x)=

sin2(sin+cos) =2sin x(sin x+cos x)=2sin2x+sin 2x= cos

2sin(2x-4)+1.5 分

π

所以 T=π.6 分 (2)因为- ≤x≤ ,所以π π 4 4 π 4 π 6 π 4 7π π π ≤2x- ≤ . 12 4 4

当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取最大值为 2; 当 2x- =- ,即 x=- 时,f(x)取最小值为- 2+1.10 分
π π 4 2 π 8

18.(本小题满分 12 分) 若 2sin(4+α)=sin θ+cos θ,2sin2β=sin 2θ,求证:sin 2α+2cos 2β=0.
解析:由 2sin( +α)=sin θ+cos θ 得 2cos α+ 2sin α=sin θ+cos θ,两边平方得 2(1+sin 2α)=1+sin 2θ,即 sin 2α= (sin 2θ-1)① ,4 分 由 2sin2β=sin 2θ 得,1-cos 2β=sin 2θ② ,8 分 将② 代入① 得:sin 2α= [(1-cos 2β)-1]得 sin 2α=- cos 2β,即 sin 2α+ cos 2β=0.12 分
1 2 1 2 1 2 1 2 π 4 π 1

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2cos(ωx+6)(其中 ω>0x∈R)的最小正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (2)设 α、β∈[0,2],f(5α+3π)=-5,f(5β-6π)=17,求 cos(α+β)的值.
解析:(1)T=
5 3 2π 1 =10π,所以 ω= .5 分 5 1 5 5 3 π 6 π 2 6 5 3 5 π 5 6 5 16 π

(2)f(5α+ π)=2cos[ (5α+ π)+ ]=2cos(α+ )=-2sin α=- ,所以 sin α= , f(5β- π)=2cos[ (5β- π)+ ]=2cos β= ,所以 cos β= .9 分 因为 α、β∈[0, ],所以 cos α= 1-sin2 α= ,sin β= 1-cos2 β= , 所以 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × =4 8 3 15 5 17 5 17 13 .12 分 85 π 2 4 5 15 17 5 6 1 5 5 6 π 6 16 17 8 17

20.(本小题满分 12 分) 已知 0<α< <β<π,且 sin(α+β)= ,tan = . (1)求 cos α 的值;
π 2 5 13 1 2 2

(2)证明:cos β<-5.
解析:(1)cos α=cos2 -sin2 =
2
2 2 2 cos 2 -sin 2 1-tan 2 1-4 3 = = = .6 分 2 cos2 +sin2 1+tan2 1+1 5 2 2 2

1







1

4

π 3π 5 12 (2)易得 <α+β< ,又 sin(α+β)= ,所以 cos(α+β)=- ,8 分 2 2 13 13

由(1)可得 sin α= ,所以 cos β=cos[(α+β)-α]=- <- .12 分

4 5

16 65

1 5

21.(本小题满分 12 分) 设 α∈(0,3),β∈(6,2),且 α,β 满足 (1)求 cos(α+ )的值; (2)求 cos(α+β)的值.
解析:(1)∵ 5 3sin α+5cos α=8,∴ sin(α+ )= .2 分 ∵ α∈(0, ),∴ α+ ∈( , ),∴ cos(α+ )= .4 分 (2)又∵ 2sin β+ 6cos β=2,∴ sin(β+ )= ∵ β∈( , ),∴ β+ ∈( ,
π 2 ππ 62 π 3 2 ,6 分 2 π 3 π ππ 6 62 π 6 3 5 π 4 6 5 π 6 π ππ

5 3sin + 5cos = 8, 2sin + 6cos = 2.

π π 5π π 2 ),∴ cos(β+ )=- ,8 分 3 2 6 3 2 π 6 π 3

∴ cos(α+β)=sin[ +(α+β)]=sin[(α+ )+(β+ )]
π 6 π 3 π 6 π 3 2 , 10

=sin(α+ )cos(β+ )+cos(α+ )sin(β+ )=∴ cos(α+β)=2 .12 分 10

22.(本小题满分 12 分)

如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道 (Rt△FHE,H 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点,E,F 分别落在线段 BC,AD 上.已知 AB=20 米,AD=10 3米,记∠BHE=θ.

(1)试将污水净化管道的长度 L 表示为 θ 的函数,并写出定义域; (2)问:当 θ 取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.
解析:(1)EH= EF=
10 10 ,FH= ,2 分 cos sin

10 .3 分 sincos 10 ≤10 tan

由于 BE=10·tan θ≤10 3,AF=
3 ≤tan θ≤ 3

3,

3,θ∈[6,3],

ππ

L=

10 10 10 ππ + + ,θ∈[ , ].6 分 cos sin sin·cos 63 10 10 10 10(sin+cos+1) + + = . cos sin sin·cos sin·cos 2 -1 . 2 π 4 3+1 , 2

(2)L=

设 sin θ+cos θ=t,则 sin θ·cos θ=
ππ 63

由于 θ∈[ , ],所以 t=sin θ+cos θ= 2sin(θ+ )∈[ L=
20 3+1 在[ , 2 -1 π 6

2]. 3+1)米.11 分

2]内单调递减,于是当 t=
π 3

3+1 π π 即 θ= 或 θ= 时,L 的最大值为 20( 2 6 3

答:当 θ= 或 θ= 时所铺设的管道最长,为 20( 3+1)米.12 分


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