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数列求和


数列求和法

数列求和是数列的重要内容之一,数列求和是 数学中的一种常见题型,除了等差数列和等比数列

用求和公式求和外,还有一些数列的求和需要用到
其他的方法. 下面对数列的求和方法做一个小结。

知识回顾:公式法求和
直接求和法:如等差数列和等比数列均可直接套
用公式求和,这种方法也叫

公式法. 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最 重要的方法.
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) 等差数列求和公式: Sn ? ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 等比数列求和公式: a ( 1 ? q ) a1 ? an q Sn ? ? 1 ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q

知识回顾:公式法求和
一些常用的求和公式:

n(n ? 1) Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2
2 n Sn ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ?1) ?

Sn ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? n ? n
2

1 Sn ? 1 ? 2 ? ?? n ? n(n ? 1)( 2n ? 1) 6
2 2 2

知识回顾:公式法求和
例1:求和:
n S ? b 解:①当a ? 0 时, n
n a ? 0 且 时, S ? a b ? 0 ②当 n

③当a

? b ? 0时,S n ? (n ? 1)a n
n

b n ?1 a [1 ? ( ) ] n ?1 n ?1 a ? b a ④ 当 ab ? 0, a ? b时,S n ? ? b a ? b 1? a

知识回顾:公式法求和
?1 练习:已知 log3 x ? ,求 log2 3

x ? x ? ?? x ? ?
2 n

?1 1 log x ? ? ? log 2 ? log 提示: 3 3 3 log2 3 2

1 1 2 1 n ? ( ) ??? ( ) ∴x ? x ??? x ? 2 2 2
2 n

1 ? x? 2

1 1 n [1 ? ( ) ] 1 2 2 ? ? 1? n 1 2 1? 2

分组法求和
分组法求和:把数列的每一项分成几项,使其转化为几个等 差、等比数列,再求和. 例2 已知等差数列 ?an ?的首项为1,前10项的和为145,求

a2 ? a4 ? ?? a2n
解:首先由 S10 ? 10 a1 ?
10 ? 9 ? d ? 145 ? d ? 3 则 2

an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 2 ? a2n ? 3 ? 2n ? 2
∴ a2 ? a4 ? ?? a2n

? 3? (2 ? 22 ? ?? 2n ) ? 2n

2 ? (1 ? 2n ) ? 3? ? 2n ? 3 ? 2n?1 ? 2n ? 6 1? 2

分组法求和
练习:求数列 n ? 2 n

?

?

的前n项和。

答案:

n( n ? 1) n ?1 ?2 ?2 2

倒序法求和
倒序相加法:将数列的顺序倒过来排列,与原数列两式 相加,若有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,这 样的数列可用倒序相加法求和。

倒序法求和
例3.若 f ( x) ?
1 2 ? 2
x

,则 f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (5) ? f (6)

的值为
【解析】∵ f ( x) ?

3 2
1 2x ? 2
x


1

1 2 2 f ( 1 ? x ) ? ? ? ∴ 2 ? 2x 21? x ? 2 2 ? 2 ? 2 x
1? 1

?2x

∴ f ( x) ? f (1 ? x) ?

2 2 ? 2 2x ? 2

?2x

裂项法求和
所谓”裂项法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的 两 项彼此相消,就可以化简后求和.

一些常用的裂项公式:

1 1 1 (1) ? ? n?n ? 1? n n ? 1

1 1 1 1 (2) ? ( ? ) (2n ? 1)?2n ? 1? 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 ? n ?1 ? n (3) ? ( ? ) (4) n ?1 ? n n(n ? 2) 2 n n ? 2

裂项法求和
1 1 1 1 * 例4:求数列 1, , , , ?, ,? (n ? N ) 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2 ? 3 ??? n
的前n项和

1 2 1 1 ? an ? ? ? 2( ? ) 提示: 1 ? 2 ? ? ? n n(n ? 1) n n ?1

1 ? 2n ? 1? ? 1 1? ?1 1 ? ? ? Sn ? 2[?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?1 ? ?? ? 2? ? 2 3? ? n n ?1? ? n ?1? n ?1

裂项法求和
1 1 1 1 ? ? ?? 练习:求和 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10 (3n ? 2)(3n ? 1)

1 1 1 1 ? ( ? ) 提示: (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1


1 1 1 ? ??? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2)(3n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 3 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? 3 3n ? 1 3n ? 1

错位相减法
错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列
对应项相乘得的新数列求和,此法即为等比数列求

和公式的推导方法.

错位相减法
1 例5、求数列 {n ? n } 的前n项和 2 1 1 1 1 S n ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ???? ? n ? n 解: 2 4 8 2
1 Sn ? 2 1 1 1 1 1 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? (n ? 1) ? n ? n ? n?1 4 8 16 2 2

① ②

1 1 (1 ? ) 1 1 1 1 1 1 2 2n n S ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 两式相减: n n ?1 1 2 2 4 8 2n 2n?1 2 1? 2

1 n 1 n ? S n ? 2(1 ? n ? n ?1 ) ? 2 ? n ?1 ? n 2 2 2 2

利用数列周期性求和
有的数列是周期数列,把握了数列的周期则可顺利求和.关 键之处是寻找周期。 例6:在数列

?an ? 中, a

1

? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an

求S

2002

解:由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an 可得
a4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2,

a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2,

……

利用数列周期性求和
a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2

而 a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 ∴S
2002

? (a

1

? a2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6k ?1 ? a6k ?2 ? ? ? ? ? a6k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002

? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002

? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 5

其它方法求和

例7:求和 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (?1) (2n ? 1)
n

解:设 S n ? ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (?1) n (2n ? 1)
当n为偶数时,设n=2k,则

合 并 求 和 法

S 2k ? ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? [?(4k ? 3)] ? (4k ? 1)
? (?1 ? 3) ? (?5 ? 7) ? ? ? [?(4k ? 3) ? (4k ? 1)]

? 2k
而且S 2k ?1 ? S 2k ? a2k ? 2k ? (4k ? 1) ? ?2k ? 1 ? ?(2k ? 1)
? Sn ? (?1)n n

其它方法求和

1 例8:已知数列? an ?的前n项和 S n与 an满足:a n , S n , S n ? 2 (n ? 2) 成等比数列,且 a1 ? 1,求 S n
1 2 S ? a ( S ? ), 解:由题意: n n n 2
2 n

? an ? Sn ? Sn?1

∴ S ? (Sn ? Sn?1 )(Sn ? 1 ) ? 1 (Sn?1 ? Sn ) ? Sn Sn?1 2 2 1 1 ? ? ?2 S n S n ?1
? 1 ? ∴数列 ? S ? 是以 ? n?

递 推 法

1 1 ? ∴ S S ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 n 1

1 ? 1首项,2为公差的等差数列 S1

1 即 Sn ? 2n ? 1

数列求和法小结
公式法求和
倒序相加法

分组求和法

裂项相消法

错位相减法 其它方法:递推法、合并法

周期法求和

课件设计与制作:徐文才
陆 川 县 中 学

再 见


数列求和7种方法(方法全,例子多)

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