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重庆市南开中学2014届高三1月月考(数学理)

时间:2014-02-07


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重庆南开中学高 2014 级高三 1 月月考 数学试题(理) 第 I 卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1、已知集合 A ? x y ? A、 ? ?1,1?

?

? x ?1 ? x ?1 , B ? ?x ? 0 ? ,则 A ? B ? ( ? x ?1 ?
B、 ? ?1,1? ) C、 ?1, ?? ?

?

) D、 ? 0,1?

2、下列选项一定正确的是( A、若 a ? b ,则 ac ? bc C、若 a ? b ,则 a ? b
2 2

B、若 a ? b ,则 a ? b D、若

1 1 ? ,则 a ? b a b

3、命题“对 ?x ? R ,都有 sin x ? 1”的否定为( A、对 ?x ? R ,都有 sin x ? 1 C、 ?x0 ? R ,使得 sin x0 ? 1 4、函数 f ? x ? ? x A、 ? 0,1?
?2

) B、对 ?x ? R ,都有 sin x ? ?1 D、 ?x0 ? R ,使得 sin x ? 1 )

? x ? 1 的零点所在区间为(
B、 ? 1, ?

? 3? ? 2?

C、 ? , 2 ?

?3 ?2

? ?

D、 ? 2, 3?

5、 某班要邀请 6 位教师中的 4 位参加元旦晚会, 已知教师甲和教师乙不能同时参加, 则不同的邀请方法种数为( A、15 C、11 )

B、13 D、9

6、已知 (2 x ? ) 的展开式中各项系数之和为 1,则该展开
5

a x

式中含

1 项的系数为( x

) B、40 D、20

A、 ?40 C、 ?20

7、某算法的程序框图如题 ? 7 ? 图所示,若输入 a ? 1, b ? 2, c ? 3 , 则输出的结果为( A、1
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) B 、2
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C、3 D、4

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8、设 F1 、 F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点,以 F1 F2 为直径的圆与双曲线 C 在 a 2 b2
) D、

第一象限的交点为 P ,若双曲线的离心率为 5,则 cos ?PF1 F2 ? ( A、

3 4

B、

3 5

C、

4 5
x

5 6

9、 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 、g ? x ? 满足 f ? x ? ? a g ? x ? , f ' ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ' ? x ? , 其中 g ? x ? ? 0 且

g ?1?

f ?1?

?

g ? ?1?


f ? ?1?

?

? 5 63 ? f ?n? ? ? , 在有穷数列 ? 则前 k 项和大于 的 ? ? n ? 1, 2, 3,? ,10 ? 中任取前 k 项相加, 2 64 ? ? g ?n? ? ?

概率是( A、

1 5

B、

2 5

C、

3 5

D、

4 5

10 、 已 知 O 为 ?ABC 的 外 心 , AB ? 2a, AC ?

? ? ? ? A O ??
A、1

? ? ?? ? ? ? ? A ?B ? ? , A? C ? ? ? ? 的最小值为( ? ,则 ? R
B、 2 C、 3 第 II 卷(非选择题

2 ? a ? 0, a ? R ? , ?BAC ? 120? 。 若 a

) D、2 共 100 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在答题卡相应位置 上。

1 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 z ? 1? i ? 1 12、设 ? 为第二象限角,若 tan(? ? ) ? ,则 sin ? ? cos? ? 4 2
11、已知复数 z ?

。 。

13、若实数集 M 中至少含有两个元素,且 M 中任意两个元素之差的绝对值都大于 2,则称 M 为“绝对好 集” 。已知集合 A ? ?1, 2,3,? ,10? ,则 A 的所有子集中“绝对好集”的个数为 。

考生注意:14、15、16 为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题 给分。 14、如题 ?14 ? 图所示,过 ? O 外一点 A 作一条直线与 ? O 交 于 C , D 两点, AB 切 ? O 于 B ,弦 MN 过 CD 的中点 P 。已 知 AC ? 4, AB ? 6 ,则 MP ? NP ?
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15、直线 ? 弦长为

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? x ? 1 ? 2t ? t ? R ? 与曲线 ? ? 2cos ? 相交,截得的 ? y ? 1? t


16 、 若 关 于 x 的 不 等 式 x ? m ? x ? 1 ? 2m ? 3 的 解 集 是 R , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 13 分)甲、乙、丙、丁四名志愿者被随机分到 A 、 B 、 C 三个不同的岗位服务,每个 岗位至少有一名志愿者。 (I)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (II)设随机变量 ? 为这四名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ? 的分布列与数学期望。

18、 (本小题满分 13 分)函数 f ? x ? ? cos ? x ?
2

? ?

??

?? 2? ? ? cos ? x ? ? 。 6? 3? ?

(I)当 x ? ?0,

? ?? 时,求 f ? x ? 的值域; ? 2? ?

(II)在 ?ABC 中,已知 sin B ? cos A sin C , f ? B ? ?

? ???? 1 ??? , AB ? AC ? 4 3 ,求 ?ABC 的面积。 2

19 、 (本小题满分 13 分)已知二次函数 y ? f ? x ? 的图象经过点 ? 0, 0 ? ,其导函数 f ' ? x ? ? 2 x ? 5 ,当

x ? ? n ? 2, n ? 3? ? n ? N* ? 时,函数 f ? x ? 值域中整数值的个数记为 an 。
(I)求数列 ? an ? 的通项公式; (II)令 bn ?

? 2?

an

?

4 n ? N * ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。 ? a2 n ?1a2 n ?1
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20、 (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ? (I)讨论函数 f ? x ? 的单调性;

1 2 ax ? ?1 ? a ? x ? ln x 。 2

(II)当 a ? 0 时,令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ,求经过点 ? ?e, ?1? 且与曲线 g ? x ? 相切的直线方程。

21、 (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , A 、 B 是椭圆的左、右顶点, F 是椭圆的左 a 2 b2

焦点,点 P 是椭圆上的动点。其中, PF 的最小值是 2 ? 2 , ?PFA 的面积最大值是 2 ? 1 。 (I)求该椭圆的方程; (II)如图,直线 BM ? AB, BM 交AP于M ,

OM 交BP于N ,求点 N 到点 Q ? 0, 2 ? 的距离的最大值。

22、 (本小题满分 12 分)已知各项均大于 1 的数列 ? an ? 满足: a1 ?

3 1? 1 ? , an ?1 ? ? an ? ? ? n ? N * ? 。 2 2? an ?

(I)求证:数列 ?log 5

? ?

an ? 1 ? ? 是等比数列; an ? 1 ?

(II)求证:

a a1 a2 1 ? ?? ? n ? n ? ?n ? N * ? 。 a2 a3 an ?1 2

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