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2014年全国高中数学青年教师展评课:方程的根与函数的零点课件


3.1.1 方程的根与函数的零点

授课教师:齐威娜

工作单位:东北师范大学附属中学

自主探究

求下列方程的实数根,画出相应函数的简图, 并求出函数图象与x轴交点的坐标,完成表格.
(1)方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 (2)方程 x ? 2 x ? 1 ? 0

2 2 (3)方程 x ? 2 x ? 3 ? 0

函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 函数 y ? x ? 2 x ? 1
2

函数 y ? x ? 2 x ? 3
2

方程 函数 函 数 的 图 象 方程的实根 函数图象 与x轴交点

x2-2x-3=0 y=x2-2x-3

x2-2x+1=0 y= x2-2x+1

x2-2x+3=0 y=x2-2x+3

判别式 △ =b2-4ac

△>0

△=0 有两个相等的 实数根x1 = x2
y
x2 x

△<0 没有实数根
y

方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 的实数根x1 , x2 (a>0)的根
y

函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象

x1

o

o

x1

x

o

x

函数图象与 x 轴的交点

( x1, 0 ) , ( x2, 0 )

( x1, 0 )

没有交点

学习新知
一、函数零点的概念
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点. 方程 f(x)=0 有实数根

函数的图象与x轴有交点
函数 y ? f ( x) 有零点

函数零点的求法: (1)代数法:求方程f(x)=0的根; (2)几何法:利用函数的图象求解.

例题精讲
例1 判断下列函数是否有零点,若存在请 求出零点.
(1) y ? x ? 1

1 (2) y ? x

(3) y ? ln(x ? 1)

(4) y ? 2 ? x ?1
x

自主探究
若函数y=f(x), x∈[a,b],在开区间(a,b)内
一定存在零点,应满足什么条件? (1) f(a)f(b)>0

(2) f(a)f(b)<0
(3) f(a)f(b)=0

零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,

那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点.
即存在 c∈(a,b) ,使得 f(c) =0,这个c 也就是方程 f(x)=0 的根.

例题精讲
例 2 判断函数 y = 2 - x 的零点个数.
x 2

变式:函数 y ? 2 x ? x 2 ( x ? 0) 的零点所在区间为( (A) (?2,?1)



1 (B) ( ?1,? ) 2

1 1 (C) (? ,? ) 2 4
答案 B

1 (D) (? ,0) 4

课堂小结

一个关系:函数零点与方程根的关系. 一个定理:函数零点存在性定理.

方程的根 与函数的 零点
两种思想: 函数方程思想; 数形结合思想. 三种题型: 求函数的零点; 判断零点个数; 求零点所在区间.


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