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专题五 不等式


专题五 不等式

1. 设 f ( x) 在 [0, 1] 上连续,非负,单调减。 2. ? f ( x)dx ? a? f ( x)dx
0 0 a 1

(0 ? a ? 1)
b a

3. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,单调增。求证: ? xf ( x)dx ? 4. 设 f (

x) 在 [0, 1] 上可导,且 f (0) ? 0 , 0 ? f ?( x) ? 1 .
1 1 3 5. ? ? ?0 f ( x)dx ? ? ? ?0 f ( x)dx . ? ? 2

b?a b f ( x)dx 2 ?a

sin x ? (0 ? x ? ) ? x 2 b 2(b ? a ) (0 ? a ? b ) 7.求证: ln ? a b?a

6.求证:

2

?

8.比较 e? 与? e 的大小. 9.设 lim
x?0

f ( x) ? 1 ,且 f ??( x) ? 0 ,证明: f ( x) ? x .(泰勒,最值,中值) x

10. 设 f ( x ) 在 [0, ??) 二阶可导,且 f (0) ? 1, f ?(0) ? 1, f ??( x) ? f ( x), ( x ? 0) .求证:

f ( x) ? ex .
11. 设 f ( x ) 在 ? ?1,1? 内有 f ??( x ) ? 0 ,且 lim
x ?0

f ( x) ? sin x ? 2 ,证明在 ? ?1,1? 内有 x

f ( x) ? 3 x .
12.证明: 0 ? x ? 1 时 有

1 ? x ln(1 ? x) ? 1 ? x arcsin x
1

13. 试 利 用 函 数

f ( x) ? a x , 对 于 a ? 1, x ? 1, 证 明 以 下 不 等 式
? a . n2
1 n

a a ?a ? 2 ln a (n ? 1)

1 n ?1

1 n

1 n ?1


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