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2015高考理科数学《二项式定理》练习题


2015 高考理科数学《二项式定理》练习题
[A 组 一、选择题 ? 2 1? 1.二项式?x - ?n 的展开式中各项系数的和为( x? ? A.32 C.0 B.-32 D.1 ) 基础演练·能力提升]

? 2 1? 解析:依题意得,该二项展开式中的各项系数的和为?1 - ?n=0,选 C. 1? ? 答案:C ? 2 2? 2.(2013 年

高考江西卷)?x - 3?5 展开式中的常数项为( x? ? A.80 C.40 B.-80 D.-40 )

2 5-r r r 10-5r 解析:此二项展开式的通项为 Tr+1=Cr ·(-1)r2rx-3r=Cr .因此 10-5r 5(x ) 5·(-1) ·2 ·x 2 =0,所以 r=2,所以常数项为 T3=C2 5·2 =40,选 C.

答案:C 1 ? ? x+ ?24 ? 3.在? 3 ? 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有( x? ? A.3 项 C.5 项 解析:Tr+1=C24( x)
r
24-r

)

B.4 项 D.6 项 ? 1 ? ? ?r=Cr x12-5r, 24 ?3 ? 6 ? x?

故当 r=0,6,12,18,24 时,幂指数为整数,共 5 项. 答案:C

a? ? 4.已知?x- ?8 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和是( x? ?
A.28 C.1 或 38 B.38 D.1 或 28

)

4 8 解析:由题意知 C4 8·(-a) =1 120,解得 a=±2,令 x=1,得展开式各项系数和为(1-a) =1

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或3. 答案:C 5.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则 a8=( A.180 C. -5 B.90 D.5 )

8

10-r 解析:(1+x)10=[2-(1-x)]10 其通项公式为:Tr+1=Cr (-1)r(1-x)r,a8 是 r=8 时,第 9 102

项的系数.
2 8 所以 a8=C8 102 (-1) =180.故选 A.

答案:A 1 ?n ? ? (n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( 6.(2013 年高考辽宁卷)使得?3x+ x x? ? A.4 C.6 B.5 D.7 )

3 3 5r n-r n-r n-r 解析:Tr+1=Cr ·x- r=Cr ·xn-r- r=Cr ·xn- (r=0,1, 2,…,n), n(3x) n·3 n·3 2 2 2 5 5 若 Tr+1 是常数项,则有 n- r=0,即 2n=5r(r=0,1,…,n),当 r=0,1 时,n=0, ,不满足 2 2 条件;当 r=2 时,n=5,故选 B. 答案: B 二、填空题 1 ? ? x- ?5 ? 7.(2013 年高考浙江卷)设二项式? 3 ? 的展开式中常数项为 A,则 A=________. x? ? 解析:展开式通项为 Tr+1=C5·( x) 5 5 令 - r=0,得 r=3, 2 6
3 当 r=3 时,T4=C3 5(-1) =-10.故 A=-10.

r

5-r

? 1 ? ?- ?r=Cr(-1 )rx5-5r. 5 ? 3 ? 2 6 x? ?

答案:-10 8.设(2x-1)6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=________.
6-r 解析:∵Tr+1=Cr (-1)r 6(2x)

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=(-1) 2

r 6-r r 6-r

C6x



∴ar+1=(-1)r26-rCr 6. ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=[2×(-1)-1]6=36. 答案 :36
n-2 2 -1 9.若 n 是正整数,则 7n +7n-1C1 Cn+…+7Cn n+7 n 除以 9 的余数是________. n-2 2 -1 n n n n 0 n 0 1 n-1 解析:7n+7n-1C1 Cn+…+7Cn (-1)1 n+7 n =(7+1) -Cn=8 -1=(9 -1) -1=Cn9 (-1) +Cn9
0 n +…+Cn n9 (-1) -1,当 n=2k 时,余数为 0;当 n=2k+1 时,余数为 7.

答案:0 或 7 三、解答题 ?3 1? 10.已知二项式? x+ ?n 的展开式中各项的系数和为 256. x? ? (1)求 n; (2)求展开式中的常数项.
1 2 n n 解析:(1)由题意得 C0 n+Cn+Cn+…+Cn=256,即 2 =256,解得 n=8.

8-4r 8-4r 3 8-r ?1?r (2)该二项展开式中的第 r+1 项为 Tr+1=Cr x) ·? ? =Cr ,令 =0,得 r=2, 8( 8·x 3 3 ?x? 此时,常数项为 T3=C2 8=28. 1 ? ? x+ ? ?n 11.已知? 4 ? 的展开式中,前三项系数成等差数列. 2 x? ? (1)求 n; (2)求第三项的二项式系数及项的系数; (3)求含 x 项的系数. 1 1 2 解析:(1)∵前三项系数 1, C1 n, Cn成等差数列, 2 4 1 1 2 2 ∴2· C1 n=1+ Cn,即 n -9n+8=0. 2 4 ∴n=8 或 n=1(舍). ? 4 ? ?1? 3 1 1?r=? ?r·Cr (2)由 n=8 知其通项公式 Tr+1=Cr x)8-r·? 8·( 8·x4- r,r=0, 1,…,8. ?2 ? 4 x? ?2? ? ∴第三项的二项式系数为 C2 8=28.
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?1? 第三项系数为? ?2·C2 8=7. ?2? 3 (3)令 4- r=1,得 r=4, 4 35 ?1? ∴含 x 项的系数为? ?4·C4 . 8= 2 8 ? ? ?1 ? 12.(能力提升)已知? +2x?n, ?2 ? (1)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大 项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.
6 5 2 解析:(1)∵C4 n+Cn=2Cn,∴n -21n +98=0.

∴n=7 或 n=14, 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5. ?1?4 3 35 ∴T4 的系数为 C3 , 7? ? 2 = 2 ?2?
3 4 T5 的系数为 C4 7? ? 2 =70,

?1? ?2?

当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8. ?1?7 7 ∴T8 的系数为 C7 14? ? 2 =3 432. ?2?
1 2 2 (2)∵C0 n+Cn+Cn=79,∴n +n-156=0.

∴n=12 或 n=-13(舍去). 设 Tk+1 项的系数最大, ?1 ? ?1? ∵? +2x?12=? ?12(1+4x)12, ?2 ? ?2?
k k k-1 k-1 ?C124 ≥C12 4 , ∴? k k k+1 k+1 ?C124 ≥C12 4 .

∴9.4≤k≤10.4,∴k=10. ∴展开式中系数最大的项为 T11,
2 10 10 10 T11=C10 12·? ? ·2 ·x =16 896x .

?1? ?2?

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[B 组

因材施教·备 选练习]

? 2 1? 3 1.(2014 年聊城一模)若?x - ?n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 ,则展开式中常数 14 x? ? 项是( ) B.10 D.45
r n
2

A.-10 C.-45

解析:因为展开式的通项公式为 Tr+1=C ·(x ) ∴n=10,
r ∴Tr+1=Cr 10·(-1) ·x20-

n-r

5r C2 3 n ·(-1) x- =C (-1) x2n- ,所以 4= , 2 2 Cn 14
r

r

r n

r

5r 5r ,令 20- =0,∴r=8. 2 2

∴常数项为 T9=C10(-1) =45. 答案:D
4 2k 2n 2.C2 2n+C2n+…+C2n+…+C2n的值为(

8

8

) B.22n-1 D.22n-1-1

A.2n C.2n-1
2n 0 1 2 2 3 3

解析:(1+x) =C2n+C2nx+C2nx +C2nx +…+C2nx .
1 2 2n-1 n 2n 令 x=1,得 C0 +C2 2n+C2n+C2n+…+C2n 2n=2 ; 1 2 r r 2n-1 n 再令 x=-1,得 C0 +C2 2n-C2n+C2n-…+(-1) ·C2n+…-C2n 2n=0.x.k.b.1

2n

2n

22n 两式相加,得 C +C +…+C = -1=22n-1-1. 2
2 2n 4 2n 2n 2n

答案:D 3.(2014 年银川模拟)若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a1+2a2+3a3+4a4+5a5= ________. 解析: 原等式两边求导得 5(2x-3) ·(2x-3)′=a1+2a2x+3a3x +4a4x +5a5x , 令上式中 x=1, 得 a1+2a2+3a3+4a4+5a5=10. 答案:10
4 2 3 4

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