nbhkdz.com冰点文库

广东省东莞市2014届高三模拟试题(一) 数学文 Word版含答案


东莞市 2014 届高三文科数学模拟试题(一)
命题:陈千明 审稿与校对:彭启虎、朱广智 一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)
2 1. 已知集合 A ? x|x ? 5 x ? 6 ? 0 , B ? x | x ? 2 ,则 A ? ? CR B ? =(
<

br />?

?

?

?



A. ? ?1, 2?

B. ? ?1, 2?

C. ? 2, 6 ?

D. ? 2,6 ? )

2. 已知回归直线的斜率的估计值是 1.2 ,样本点的中心为 ? 4,5? , 则回归直线方程是 ( A. y ? 1.2 x ? 4
?

B. y ? 1.2 x ? 5

?

C. y ? 1.2 x ? 0.2

?

D. y ? 0.95 x ? 1.2

?

3.已知 a ? (1 , ? 2) , | b |? 2 5 ,且 a // b ,则 b ?

A. (2 , ? 4)

B. (?2 , 4)

C. (2 , ? 4) 或 (?2 , 4)

D. (4 , ? 8)

2 2 4. a 、 b ? R , “ a ? b ”是“ a ? b ? 2ab ”成立的

A.充要条件 C.必要非充分条件

B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件 )

C
D
B P

5.某空间组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为( A.48 B.56 C.64 D.72

图1

A

5? ?1? 6. 定义某种运算 S ? a ? b , 运算原理如上图所示, 则式子 (2 tan ) ? ln e ? lg100? ? ? 4 ? 3?
的值为( A.4 7. 已知函数 f ( x) ? sin( x ? A. ? ? 3, 2 ? ) B.8 C.11 D.13

?1

?
3

)?

m 在 ? 0, ? ? 上有两个零点, 则实数 m 的取值范围为 ( 2



?

?

B. ? 3, 2

?

?

C.

?

3, 2 ? ?

D. ? 3, 2 ?

?

?

8.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1的直线,该直线与双曲线的 a 2 b2

两条渐近线的交点分别为 B, C ,若 A, B, C 三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为 ( ) B. 5 C. 10 D. 13

A. 3

) B(1, ?2) , C ? , ? ? , 动 点 P( a, b)满 足 0 ? OP ? OA ? 2 且 9 . 已 知 A( 2 , 1,
1 0 ? OP ? OB ? 2 ,则点 P 到点 C 的距离大于 的概率为( 4 5 ? 5 ? ? A. 1 ? B. C. 1 ? 64 16 64
) D.

?3 ?5

1? 5?

? 16


' 10.设函数 f ( x ) 的导函数为 f ( x) ,对任意 x ? R 都有 f ' ( x) ? f ( x) 成立,则(

A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3)

B.

3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3)

D. 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不确定

二、填空题:(本大共 4 小题,每小题 5 分,满分 30 分 ) (一)必做题(11-13 题) 11.在复平面内,复数

10i 对应的点的坐标为___________. 3?i

12. 假设要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的三聚青氨是否超标, 现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将 800 袋牛奶按 000,001,?,799 进行编 号,如果从随机数表第 7 行第 8 列的数开始向右读,则得到的第 4 个的样本个体的编号 是 ?(下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行) 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82

13.如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点(算第 ) , .. 1 .层 . 第 2 层每边有两个点,第 3 层每边有三个点,依次类推.
? (1) 试问第 n 层 n ? N 且n ? 2 的点数为___________个;

?

?

(2) 如果一个六边形点阵共有 169 个点,那么它一共有_____层. (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14(坐标系与参数方程)已知曲线 C1 , C2 的极坐标方程分别为 ? cos? ? 1 ,

? ? 4 cos ? ( ? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) 则曲线 C1 与 C 2 交点的极坐标 为 ...



15.(几何证明选讲选做题)如图,已知 PC 、 DA 为⊙ O 的切线, C 、 A 分别为切点, AB 为⊙ O 的直径, DA ? 2,

CD 1 ? ,则 AB ? DP 2



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? m ? n ,其中向量 m ? ? 2cos x,1? , n ? cos x, 3 sin 2 x , x ? R . (1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 f ( A) ? 2, b ? 1 , ?ABC 的面积

?

?



3 ,求 c 的值. 2
频 率 /组 距 0.004

17. (本小题满分 12 分) 对某电子元件进行寿命追踪调查,所得情况如右 频率分布直方图. (1)图中纵坐标 y0 处刻度不清,根据图表 所提供的数据还原 y0 ;

0.002 y0 0.001

(2)根据图表的数据按分层抽样,抽取 20 个元件, 寿命为 100 ~ 300 之间的应抽取几个;

O

100

200 300 400 500 600 寿 命( h)

(3)从(2)中抽出的寿命落在 100 ~ 300 之间的元件中任取 2 个元件,求事件“恰好有一 个寿命为 100 ~ 200 ,一个寿命为 200 ~ 300 ”的概率. 18. (本小题满分 14 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, 且 ?DAB ? 90?, ?ABC ? 45?, CB ?

2, AB ? 2, PA ? 1 .

(1)求证: AB // 平面 PCD ; (2)求证: BC ? 平面 PAC ; (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 C ? MAD 的体积.

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ?

an (n ? N * ) . an ? 3

(1)求证: ?

? 1 1? ? ? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式 an ; ? an 2 ?
n

( 2 ) 数 列 ?bn ? 满 足 bn ? (3 ? 1) ?

n ? a n , 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 T n , 若 不 等 式 2n

(?1) n ? ? Tn ?

n 2
n ?1

对一切 n ? N 恒成立,求 ? 的取值范围.
*

20. (本小题满分 14 分) (1)已知定点 F1 ?? 2,0 ? 、 F2 ?2,0? ,动点 N 满足
ON ? 1 (O

y M N

为坐标原点) , F1 M ? 2NM ,
F1

O

F2 x

MP ? ? MF2 ?? ? R? , F1 M ? PN

? 0 ,求点 P 的
P

轨迹方程. (2)如图,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的上、下 4

顶点分别为 A、B ,点 P 在椭圆上,且异于点

A、B ,直线 AP、BP 与直线 l : y ? ?2 分别交
于点 M、N ,

(ⅰ)设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,求证: k1 ? k 2 为定值; (ⅱ)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过定点?请证明你的结论.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? a)2 , g ( x) ? ? x2 ? (a ?1) x ? a (其中 a 为常数) . (1)如果函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 有相同的极值点,求 a 的值; (2)设 a ? 0 ,问是否存在 x0 ? ( ?1, ) ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,若存在,请求出实数 a 的 取值范围;若不存在,请说明理由. (3)记函数 H ( x) ? [ f ( x) ? 1] ? [ g ( x) ?1] ,若函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点,求实数 a 的取值范围.

a 3

东莞市 2014 届高三文科数学模拟试题(一)
参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

序号 答案

1 D

2 C

3 C

4 A

5 C

6 D

7 B

8 C

9 A

10 C

二、填空题:(本大共 4 小题,每小题 5 分,满分 30 分 ) 11. ? ?1,3? 14. ( 2, 12. 550 13.(1) 6 ? n ? 1? (3 分) (2) 8 (2 分)

? ) 3

15. 4 3 .

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分。 ) 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x = cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 = 2sin ? 2 x ? 令-

? ?

??

? +1 ?????????2分 6?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z ?????????????????? 4分 ? k? , k ? Z

解得 -

?
3

? k? ? 2 x ?

?
6

?

?
6

故 f ( x ) 的单调递增区间为 ?注:若没写 k ? Z ,扣一分

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ?????????????????? 6分 6 ? 3 ?

(2)由 f ( A) ? 2sin ? 2 A ? 而 A ? ? 0, ? ? ,所以 2 A ?

? ?

??

?? 1 ? ? ? 1 ? 2 得 sin ? 2 A ? ? ? ?????????7分 6? 2 6? ?

?

? ? 5 ? ? 13? ? ?? , ? ,所以 2 A ? 6 ? 6 ? 得 A ? 3 ?????????10分 6 ?6 6 ?
3 3 1? 2 ? 2 ??????????????????12分

又 S ?ABC ?

1 2S bc sin A ,所以 c ? ?ABC ? 2 b sin A

17. (本小题满分 12 分) 解(1)根据题意: 0.001?100 ? 2 y0 ?100 ? 0.002 ?100 ? 0.004 ?100 ? 1 解得 y0 ? 0.0015 ………………………………3 分 (2)设在寿命为 100 ~ 300 之间的应抽取 x 个,根据分层抽样有:

x ? ? 0.001 ? 0.0015 ? ?100 ………………………5 分 20

解得: x ? 5 所以应在寿命为 100 ~ 300 之间的应抽取 5 个………………………………7 分 (3)记“恰好有一个寿命为 100 ~ 200 ,一个寿命为 200 ~ 300 ”为事件 A ,由(2)知 寿命落在 100 ~ 200 之间的元件有 2 个分别记 a1 , a2 , 落在 200 ~ 300 之间的元件有

3 个分别记为: b1 , b2 , b3 ,从中任取 2 个球,有如下基本事件:

? a1, a2 ? , ? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a1, b3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? ,
?b1, b2 ? , ?b1, b3 ? , ?b2 , b3 ? ,共有10 个基本事件………9 分
事件 A “恰好有一个寿命为 100 ~ 200 ,一个寿命为 200 ~ 300 ”有:

? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a1, b3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? 共有 6 个基本事件………10 分
? P( A) ? 6 3 ? ……………………………11 分 10 5

答:事件“恰好有一个寿命为 100 ~ 200 ,另一个寿命为 200 ~ 300 ”的概率为

3 .……………12 分 5
18. (本小题满分 14 分)
? 解:(1)? 底面 ABCD 是直角梯形,且 ?DAB ? 90? , ?ABC ? 45

? AB CD ,
又 AB ? 平面 PCD ………… 2 分

……… 1 分

P M

CD ? 平面 PCD
∴ 平面 PCD AB ∥ (2)? ?ABC ? 45 , CB ?
?

A

B

………… 3 分 ………… 4 分
D C

2 , AB ? 2

? AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos 45?
? 4 ? 2 ? 2?2? 2 ?
2 2 2 则 AC ? BC ? AB

2 2

?2

…………… 5 分

BC ? AC ∴

………… 6 分

? PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD
PA ? BC ∴
………… 7 分

又 PA ? AC ? A

…………8 分 ………… 9 分

BC ? 平面 PAC ∴

(3)在直角梯形 ABCD 中,过 C 作 CE ? AB 于点 E , 则四边形 ADCE 为矩形,? AE ? DC, AD ? EC 在 Rt ?CEB 中可得 BE ? BC ? cos 45? ? ………… 10 分

2?

2 ?1 2

CE ? BC ? sin 45? ? 2 ?
故 S ?ADC ?

2 ? 1 ? AE ? AB ? BE ? 2 ? 1 ? 1 2
……… 11 分

1 1 1 DC ? CE ? ? 1 ? 1 ? 2 2 2

∵ M 是 PC 中点, ∴ M 到面 ADC 的距离是 P 到面 ADC 距离的一半 ………… 12 分 …………14 分

VC ? MAD ? VM ? ACD ? ∴
19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 a1 ? 1, an ?1 ?

1 1 1 1 1 1 S ?ACD ? ( PA) ? ? ? ? 3 2 3 2 2 12

? 1 1? an 1 1 (n ? N * ) 知, ? ? 3? ? ? , an ? 3 an?1 2 ? an 2 ?



3 1 1 3 ? 1 1? ? ? ,? ? ? ? 是以 为首项, 3 为公比的等比数列, 2 a1 2 2 ? an 2 ?

?

1 1 3 n?1 3n 2 ? = ? 3 ? ,? an ? n an 2 2 2 3 ?1
n 2
n ?1

???????????? 6 分

(2) bn ?



Tn ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 ? n ? n ?1 0 2 2 2 2 2

Tn 1 1 1 1 ?    1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n , 2 2 2 2 2
两式相减得

Tn 1 1 1 1 1 n?2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n , 2 2 2 2 2 2 2

? Tn ? 4 ?

n?2 2 n ?1

????????????????????

9分

? ( ?1) n ? ? 4 ?

2 2 n ?1

??????????????????????10 分

若 n 为偶数,则? ? ? 4 ?

2 2 n ?1 2

,? ? ? 3 ??????????????11 分

若 n 为奇数,则? ?? ? 4 ?

2 n ?1

,? ?? ? 2,? ? ? ?2 ????????13 分

? ?2 ? ? ? 3

???????????????????? 14 分

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)连接 ON∵ F1 M ? 2NM ∵ F1M ? PN ? 0 ∴点 N 是 MF1 中点 ∴|MF2|=2|NO|=2 ∴|PM|=|PF1|

∴F1M⊥PN

∴|∣PF1|-|PF2∣|=||PM|-|PF2||=|MF2|=2<|F1F2| 由双曲线的定义可知:点 P 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线. 点 P 的轨迹方程是 x ?
2

y2 ?1 3

??????????????? 4 分

(2) (ⅰ)? A(0,1) , B (0,?1) ,令 P ( x0 , y0 ) ,则由题设可知 x0 ? 0 ,

? 直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ? 1 y ?1 , PB 的斜率 k 2 ? 0 , x0 x0

2 x0 2 又点 P 在椭圆上,所以 , ? y0 ? 1 ( x0 ? 0 ) 4

从而有 k1k 2 ?

2 y0 ? 1 y0 ? 1 y0 ?1 1 ? ? 2 ? ? . ???????? 8 分 x0 x0 x0 4

(ⅱ)设点 Q ( x, y ) 是以 MN 为直径的圆上任意一点,则 QM ? QN ? 0 ,又易求 得 M (?

3 1 , ?2) 、 N (? , ?2) . k1 k2 3 1 , y ? 2) 、 QN ? ( x ? , y ? 2) . k1 k2

所以 QM ? ( x ?

故有 ( x ?

3 1 1 ) ? ( x ? ) ? ( y ? 2)( y ? 2) ? 0 .又 k1 ? k2 ? ? , 化简后得到以 MN 4 k1 k2
2 2

为直径的圆的方程为 x ? ( y ? 2) ? 12 ? (

3 ? 4k1 ) x ? 0 .????11 分 k1

令?

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ?12 ? 0

, 解得 ?

? ? ?x ? 0 ?x ? 0 或? .???13 分 y ? ? 2 ? 2 3 y ? ? 2 ? 2 3 ? ? ? ?

所以以 MN 为直径的圆恒过定点 (0, ?2 ? 2 3) 或 (0, ?2 ? 2 3) .????14 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? x( x ? a) ? x ? 2ax ? a x ,则 f ?( x) ? 3x ? 4ax ? a ? (3x ? a)( x ? a) ,
2 3 2 2 2 2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 ∴

a ?1 a ,而 g ( x) 在 x ? 处有极大值, 2 3

a ?1 a a ?1 ? ? a ? 3 ;综上: a ? 3 或 a ? ?1 .……3 分 ? a ? a ? ?1 或 2 3 2 a 2 2 (2)假设存在,即存在 x ? ( ?1, ) ,使得 f ( x) ? g ( x) ? x( x ? a) ? [? x ? (a ?1) x ? a] 3

? x( x ? a)2 ? ( x ? a)( x ? 1) ? ( x ? a)[ x2 ? (1 ? a) x ? 1] ? 0 ,
当 x ? ( ?1, ) 时,又 a ? 0 ,故 x ? a ? 0 ,则存在 x ? ( ?1, ) ,使得

a 3

a 3

x2 ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 , ……………………………4 分
a ?1 a a? 3 ?a? ? 即 a ? 3 时, ? 1 当 ? (1 ? a) ? ? ? 1 ? 0 得 a ? 3或a ? ? ,? a ? 3 ; ? ? 2 3 2 ?3? ?3?
2

………………………………5 分

2 当 ?1 ?

a ?1 a 4 ? (a ? 1) 2 ? 即 0 ? a ? 3 时, ? 0 得 a ? ?1或a ? 3 ,……6 分 2 3 4
………………………………7 分

? a 无解;综上: a ? 3 .

(3)据题意有 f ( x) ? 1 ? 0 有 3 个不同的实根, g ( x) ? 1 ? 0 有 2 个不同的实根,且这 5 个实根两两不相等. (ⅰ) g ( x) ? 1 ? 0 有 2 个不同的实根,只需满足 g ( …………8 分

a ?1 ) ? 1 ? a ? 1或a ? ?3 ; 2

(ⅱ) f ( x) ? 1 ? 0 有 3 个不同的实根,

1当

a ? a 即 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? a 处取得极大值,而 f (a) ? 0 ,不符合题意,舍; 3

………………………………9 分

2 当

a ? a 即 a ? 0 时,不符合题意,舍; 3
a a a 33 2 ? a 即 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? 处取得极大值, f ( ) ? 1 ? a ? ;所以 3 3 3 2
…………………………10 分

3 当

33 2 ; a? 2

因为(ⅰ) (ⅱ)要同时满足,故 a ?

3 33 2 ; (注: a ? 也对)………11 分 3 2 4

下证: 这 5 个实根两两不相等, 即证: 不存在 x0 使得 f ( x0 ) ?1 ? 0 和 g ( x0 ) ? 1 ? 0 同 时成立. 若存在 x0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 1 ,
2 2 由 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,即 x ( ) ? ? x0 ? (a ?1) x0 ? a ,得 0 x0 ? a 2 (x0 ? a) ( x0 ? ax0 ? x0 ? 1) ? 0 ,

当 x0 ? a 时, f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 ,不符合,舍去;
2 当 x0 ? a 时,既有 x0 ? ax0 ? x0 ? 1 ? 0 2 又由 g ( x0 ) ? 1 ,即 ? x0 ? (a ?1) x0 ? a ? 1

①; ②; 联立①②式,可得 a ? 0 ;

而当 a ? 0 时, H ( x) ? [ f ( x) ?1] ?[ g ( x) ?1] ? ( x3 ?1)(? x2 ? x ?1) ? 0 没有 5 个不 同的零点,故舍去,所以这 5 个实根两两不相等. 综上,当 a ?

33 2 时,函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点. …………14 分 2


广东省东莞市2014届高三模拟试题(一) 数学文 Word版含答案

广东省东莞市2014届高三模拟试题(一) 数学文 Word版含答案_数学_高中教育_教育...? (2) 如果一个六边形点阵共有 169 个点,那么它一共有___层. (二)选做题...

广东省东莞市2014届高三模拟试题(一) 数学文 Word版

广东省东莞市2014届高三模拟试题(一) 数学文 Word版_数学_高中教育_教育专区。...东莞市 2014 届高三文科数学模拟试题(一) 参考答案一、选择题(本大题共 10 ...

广东省东莞市2015届高三模拟考试数学理试题(一) Word版含答案

广东省东莞市2015届高三模拟考试数学理试题(一) Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。东莞市 2015 届高三理科数学模拟试题(一) (满分 150 分) 考试时间:120 ...

广东省东莞市2014届高三模拟试题(一) 数学理 Word版含答案

广东省东莞市2014届高三模拟试题(一) 数学Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。东莞市 2014 届高三理科数学模拟试题(一) 命题:汪红兵 审稿与校对:梅开萍、...

广东省东莞市2014届高三模拟试题一(数学文)

广东省东莞市2014届高三模拟试题一(数学文)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...东莞市 2014 届高三文科数学模拟试题(一) 参考答案一、选择题(本大题共 10 ...

广东省东莞市2014届高三模拟文科数学试题(二) word版

广东省东莞市2014届高三模拟文科数学试题(二) word版_数学_高中教育_教育专区。...广东省东莞市 2014 届高三模拟文科数学试题(二) 一、选择题 (本大题共 10 ...

2014届东莞市高三模拟试题(一)数学(理科)试题及参考答案【纯Word版】

2014届东莞市高三模拟试题(一)数学(理科)试题及参考答案【纯Word版】_数学_高中教育_教育专区。精品练习题2014 届东莞市高三模拟试题(一) 数学(理科) 参考公式:...

广东省东莞一中2014届高三上学期期末模拟数学文试题 Word版含答案

广东省东莞一中2014届高三上学期期末模拟数学文试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。东莞一中 2014 高三数学(文科)模拟试卷考生注意:本卷共三大题,...

广东省东莞市2014届高三数学(文)小综合专题:应用题 Word版含答案]

广东省东莞市2014届高三数学(文)小综合专题:应用题 Word版含答案]_高中教育_教育专区。广东省东莞市2014届高三数学(文)小综合专题:应用题 Word版含答案] ...