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正余弦函数图像的对称轴和对称中心


正余弦函数图像的对称轴和对称中心
【基本结论】: 正弦曲线 y ? sin x ,x ? R 的对称轴方程是 x ? k? ? ( k? ,0) ,k ?Z 。 余弦曲线 y ? cos x , x ? R 的对称轴方程是 x ? k? , k ? Z ;对称中心坐标为 ,0) ,k ?Z 。 2 【典例分析】 : ( k? ? 例 1 求函数

?


2

,k ? Z ;对称中心坐标为

?

y ? 3 ? cos( 2 x ?

?
3

) 的对称中心和对称轴方程。
2

解: 由于函数 又由 2 x ? 由 2x ?

? y ? cos x 的对称中心为 ( k? ? , 0) , (k ?Z ) 对称轴方程是 x ? k?

?
3

? k? ?

?
2

,得 x ?

k? 5? ? (k ?Z ) 2 12

?
3

? k? ,得 x ? k?
2

?

?
6

(k ?Z )
5? ,3) (k ?Z ) 12

故函数

y ? 3 ? cos( 2 x ?

?
3

) 的对称中心为( k?
2

?

对称轴方程为 x ? 例 2 已知函数

f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图像关于直线 x ? ?

k? ? ? (k ?Z ) 2 6

8

对称,求 ? 的值。

解: 由于函数

f ( x) ? sin x 的图像的对称轴方程为 x ?

?
2

? k? ( k ? Z )

所以,函数

f ( x) ? s i n2( x ? ? ) 的图像的对称轴方程为
?
2 ? k? ( k ? Z ) x?

2x ? ? ?
即 2x ?

?
2

? k? ? ? ( k ? Z )

?
4

?

k? ? ? (k ?Z ) 2 2
8

又因为已知函数 则有

f ( x) ? s i n2( x ? ? ) 的图像的对称轴方程为 x ? ?
k? ? ? (k ?Z ) 2 2

?
8

?

?
4

?

解之得: ? ? k? ? 当 k ? 0 时, ? ?

?
4

(k ?Z ) ;

?
4


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