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高三数学总复习知能达标训练第二章第四节 指数与指数函数

时间:2014-08-31


高三数学总复习知能达标训练第二章第四节 数与指数函数
(时间 40 分钟,满分 80 分) 一、选择题(6×5 分=30 分) aπ 1.(2011· 山东)若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan 6 的值为 A.0 C.1 3 B. 3 D. 3



aπ π 解析 由题意知,3a=9,∴a=2.∴tan 6

=tan3= 3. 答案 D 2.函数 f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是

A.a>1,b<0 C.0<a<1,b>0

B.a>1,b<0 D.0<a<1,b<0

解析 所给图象是由 f(x)=ax 的图象左移得到,故 b<0, 又由递减性知,0<a<1,从而选 D. 答案 D 1 1 3.(2010· 辽宁)设 2a=5b=m,且 + =2,则 m 等于 a b A. 10 C.20 解析 由已知条件 a= log2 m ,b= log5m , 1 1 又a+b=2 则 logm2+logm5=2, 即 logm10=2,解得 m= 10.
-1-

B.10 D.100

答案 A ?1? 4.设函数 y=x3 与 y=?2?x-2 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是 ? ? A.(0,1) C.(2,3) 解析 如图所示. B.(1,2) D.(3,4)

由 1<x<2,可知 1<x3<8; -1<x-2<0, ?1? 1<?2?x-2<2. ? ? 答案 B 5.设函数 f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x-1,则 有 ?1? ?3? ?2? A.f?3?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ?2? ?1? ?3? C.f?3?<f?3?<f?2? ? ? ? ? ? ? 解析 由已知条件 f(x)=f(2-x). ?1? ?5? ?2? ?4? ∴f?3?=f?3?,f?3?=f?3?. ? ? ? ? ? ? ? ? 又 x≥1 时,f(x)=3x-1, 则 f(x)在(1,+∞)上递增, ?5? ?3? ?4? ∴f?3?>f?2?>f?3?, ? ? ? ? ? ? ?1? ?3? ?2? 即 f?3?>f?2?>f?3?. ? ? ? ? ? ? 答案 B ?2? ?3? ?1? B.f?3?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ?3? ?2? ?1? D.f?2?<f?3?<f?3? ? ? ? ? ? ?

-2-

ex+e-x 6.函数 y= x -x的图象大致为 e -e

解析 y=

2 e2 x ? 1 =1+ 2 x , 2x e ?1 e ?1

当 x>0 时,e2x-1>0 且随着 x 的增大而增大, 故 y=1+
2 >1 且随着 x 的增大而减小, e ?1
2x

即函数 y 在(0,+∞)上恒大于 1 且单调递减, 又函数 y 是奇函数,故选 A. 答案 A 二、填空题(3×4 分=12 分)
2 4 7.已知 a 3 =9(a>0),则 log 2 a=________.

3

解析

?? 2 ? (a ) = ? ? ? ? ?? 3 ?
2 3 3 2
3

2

3 ? ?2? ? ?a= ? ? ? ?3? ?

3 2

?2? ? log 2 a= log 2 ? ? =3. 3 ?3? 3
答案 3 8.若函数 f(x)= 解析 ∵y=
2

2x ?2ax?a ?1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为________.

2

2x ?2ax?a ?1 的定义域为 R,

∴对一切 x∈R 都有 2x2+2ax-a≥1 恒成立, 即 x2+2ax-a≥0 恒成立. ∴Δ≤0 成立,即 4a2+4a≤0, ∴-1≤a≤0. 答案 [-1,0]

-3-

9. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1), 已知当 x∈[0,1] ?1? 时 f(x)=?2?1-x,则 ? ? ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; ?1? ④当 x∈(3,4)时,f(x)=?2?x-3. ? ? 其中所有正确命题的序号是________. 解析 由已知条件得:f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数,①正确, 当-1≤x≤0 时 0≤-x≤1, ?1? f(x)=f(-x)=?2?1+x, ? ? 函数 y=f(x)的图象如图所示:

当 3<x<4 时,-1<x-4<0, ?1? f(x)=f(x-4)=?2?x-3, ? ? 因此②④正确.③不正确. 答案 ①②④ 三、解答题(38 分) 10.(12 分)已知 f(x)=ex-e-x,g(x)=ex+e-x (e=2.718 28…) (1)求[f(x)]2-[g(x)]2 的值; (2)若 f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求 g?x+y? 的值. g?x-y?

解析 (1)[f(x)]2-[g(x)]2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2 =(e2x-2+e-2x)-(e2x+2+e-2x)=-4. (2)f(x)f(y)=(ex-e-x)(ey-e-y) =ex+y+e-x-y-ex-y-e-x+y
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=[ex+y+e-(x+y)]-[ex-y+e-(x-y)] =g(x+y)-g(x-y), ∴g(x+y)-g(x-y)=4① 同理,由 g(x)g(y)=8,可得 g(x+y)+g(x-y)=8,② 由①②解得 g(x+y)=6,g(x-y)=2, ∴ g?x+y? =3. g?x-y?
a e? x + ? x 是定义在 R 上的函数. e a

11.(12 分)设 f(x)=

(1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,试研究其在(0,+∞)的单调性. 解析 (1)假设 f(x)是奇函数,由于定义域为 R, a? ?e ex a ∴f(-x)=-f(x),即 a +ex=-? a + -x?, e ? ? 1? ? 整理得?a+a?(ex+e-x)=0, ? ? 1 即 a+a=0,即 a2+1=0 显然无解. ∴f(x)不可能是奇函数. (2)因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x), ex a e ? x a 即 a +ex= + ?x , e a 1? ? 整理得?a-a?(ex-e-x)=0, ? ? 又∵对任意 x∈R 都成立, 1 ∴有 a-a=0,得 a=± 1. 当 a=1 时,f(x)=e-x+ex, 以下讨论其单调性, 任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= e 1 +e =
x ? x1
-x

? e x2 ? e? x2

? e x1 ? e x2 ?? e x1 ? x2 ? 1? , e x1 ? x2

∵x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2,
-5-

∴ e x1 ? x2 >1, e x1 ? x2 <0,∴ e x1 ? x2 -1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)=
a e? x + ?x , e a

当 a=1 时,在(0,+∞)上为增函数, 同理,当 a=-1 时,f(x)在(0,+∞)上为减函数. 12.(14 分)(2011· 上海)已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解析 (1)当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R 且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=a( 2 x1 - 2 x2 )+b( 3x1 - 3x2 ), ∵ 2 x1 < 2 x2 , 3x1 < 3x2 ,a>0,b>0, ∴a( 2 x1 - 2 x2 )<0,b( 3x1 - 3x2 )<0, ∴f(x1)-f(x2)<0. f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,任意 x1,x2∈R 且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=a( 2 x1 - 2 x2 )+b( 3x1 - 3x2 ), ∵ 2 x1 < 2 x2 , 3x1 < 3x2 ,a<0,b<0, ∴a( 2 x1 - 2 x2 )>0,b( 3x1 - 3x2 )>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0, a ?3? 当 a<0,b>0 时,?2?x>-2b, ? ? ? a? 则 x> log 3 ?-2b?; ? ?
2

a ?3? ? a? 当 a>0,b<0 时,?2?x<-2b,则 x< log 3 ?-2b?. ? ? ? ?
2

-6-


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