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北京科技大学大学物理竞赛辅导

时间:2017-08-31


力学部分主要公式:

? ? d P (1). 牛顿第二定律 ?F dt ? ? d L (2). 角动量定理 ?M dt

? ? ? 对于质点,角动量 L ? r ? P ? ? 对于刚体,角动量 L ? J? ? (3). 保守力与势能关系 F ? ??E p

(4). 三种势能

重力势能



(5). 保守力的特点

E p ? mgz 1 2 弹性势能 E p ? kx 2 Mm 万有引力势能 E p ? ?G r
? ? ? F ? dr ? 0
L

作功与路径无关

(6).振动的微分方程

d q ? Cq ? 0 2 dt
圆频率: (7). 阻尼振动

2

?? C

l. 水平轻绳跨过固定在质量为m1的水平物块的一个 小圆柱棒后,斜向下连接质量为m2的小物块,设系统 处处无摩擦,将系统从静止状态自由释放,假设两物块 的运动方向恒如图所示,即绳与水平桌面的夹角 ? 始终不变,试求 ? , a1 , a2.
a1
m1

?
a1
m2

a2.

解: 画隔离体图,受力分析
a1
m1

a1

m1

T

? ?
T

a1

m2

a2.

T

a1

m2

a2.

a1

m1

T

T

?
列方程:
T

a1

m2

a2.

T ? T cos? ? m1a1

T cos? ? m2 (a1 ? a2 cos? )

m2 g ? T sin ? ? m2 a2 sin ?
a1 ? a2 沿绳的方向加速度应该相等:

解得: a1 ? a2 ? g cot?
? ? ? ?? m1 ? m1 ? 1 ?? m1 ? ? ? ? ? ? ? arccos? ?? ? 2 ? ? 4 ? ? ? ? ? 2 ?? m2 m2 ? m2 ? ?? ? ?? ? ? ?

例2. 质量为M、半径为R的光滑半球,其底面放在光 滑水平面上。有一质量为m的小滑块沿此半球面滑下。 已知小滑块初始位置与球心联线与竖直线成 ?角。系 统开始时静止。求小滑块滑离半球面前绕球心的角速 度。 解:设半球面到图示 虚线位置时,小滑块 与竖直线夹角为
? V
?

?

? 小滑块对地的速度为?
? 半球面对地的速度为V

以地为参照系.

小滑块滑离半球面前绕球心的角速度为 ?

?

小球速度:

? x ? ?V ? R? cos? ? y ? ?R? sin?
水平方向动量守恒 系统机械能守恒:

? V

?

?

m? x ? MV ? 0

1 1 2 2 2 m ? x ? ? y ? MV ? mgR cos ? ? mgR cos ? 2 2 2 g ? cos? ? cos? ? 解得:? ? ? ? 2 R ? 1 ? m cos ? / m ? m ?

?

?

例3:长为l 质量为M的均质重梯上端A靠在光滑的竖直
0 60 墙面上,下端B落在水平地面上,梯子与地面夹角为

一质量也为M的人从B端缓慢爬梯,到达梯子中点时 梯子尚未滑动,稍过中点,梯子就会滑动,求梯子与 地面之间的摩擦系数 A N 1 解:系统力平衡 力矩平衡

f ? N1 ? ?N 2
0

N 2 ? 2Mg

l N1l sin 60 ? 2Mg cos 60 0 2

求得:

??

1

N2
2 Mg

2 3

f

600

B

例4:在水平地面上的一个桶内成有水,桶的侧面有个 小孔,孔与水面相距为 h 水从小孔 流出,求水从小孔流出时的速度。 解:在孔处取单位体积的小体元 体元左侧面积为单位面积,受力等于 该处的压强 f l ? ?gh ? p0 右侧面积为单位面积,受力 f r ? p0 此体元经受力

fl

f r ? p0

f ? ?gh
( s ? 1)

此体元 运动单位距离就可以流出 按照牛顿第二定律: f 速度:v ? 2as ? 2gh a ? ? gh ?

例5. 质量为 m 长为 l 的匀质棒可绕固定的支点在竖直 0 30 平面内运动. 若棒在与水平线成 角位置从静止开始 下落,试计算当棒落到水平位置时,作用于支点的力. 解: 由转动定理
d? l J ? mg cos ? dt 2 1 2 这里 J ? ml 3 d?
?

?0

mg

3g ? cos ? 得到角加速度 dt 2l 表达式可写成 d? ? d? d? ? 3 g cos ? dt d? dt 2l d? 3g ?? cos ? d? 2l 3g ?d? ? cos ?d? 2l

3g ?d? ? cos ?d? 两边积分 2l 3g 2 得到 ? ? (sin ? ? sin ? 0 ) l

?

?
0

3g ? d? ? cos ?d? ? 2l ? 0

?

Ry
?

轴反力的两个分量 Rx

?0

Rx

和 Ry ,列出质心运动方程: 法线方向 切线方向
2

mg

l 2 m ? ? mg sin ? ? Rx cos ? ? R y sin ? 2 l d? m ? mg cos ? ? Rx sin ? ? R y cos ? 2 dt

或写成 3mg (sin ? ? sin ? ) ? mg sin ? ? R cos ? ? R sin ? 0 x y
3mg cos ? ? mg cos ? ? Rx sin ? ? R y cos ? 4

3mg (sin ? ? sin ? 0 ) ? mg sin ? ? Rx cos ? ? Ry sin ? 2

3mg cos ? ? mg cos ? ? Rx sin ? ? R y cos ? 4

当 ? ? 0 时,得到
3mg Rx ? 4 mg Ry ? 4
?

Ry
?0

Rx

例6.一长为 l 的细麦杆可绕通过中心 o 的水平转轴 在铅锤面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置 一质量与麦杆相同的甲虫以速度 v0 垂直落到麦杆的
1 长度处,落下后甲虫立即向端点爬行。问为使 4

麦杆以均匀的角速度旋转,甲虫沿麦杆爬行的速度 多大? 解: 以麦杆和甲虫为系统

v0

o
12v0 解得:? ? 7l

碰撞过程角动量守恒,设碰后系统的角速度为?
2 ? l 1 ?1 ? ? 2 于是有: m v0 ? ? m l ? m? l ? ?? 4 ?4 ? ? ? ?12 ?

碰后,当甲虫距轴心为 x 时系统的转动惯量为
1 J ? ml 2 ? mx 2 12 作用在系统上的重力矩为:

o
?

v0
x

据转动定理:

M ? mgxcos? d ? J? ? ?M
dt

应有:
dx 即:2mx ? ? mgx cos( ?t ) dt

d? dJ J ? ? ? mgx cos( ?t ) dt dt

g cos( ?t ) 于是甲虫的速度为: v ? 2?

例7. 光滑水平面上有一半径为R 的固定圆环,长为 2l 的匀质细杆AB开始时绕着C点旋转,C点靠在环上, 且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着

圆环外侧运动,直至细杆的B端与环接触后彼此分离, 已知细杆与圆环间的摩擦系数 ? 处处相同,试求 ? 的取值范围. 解: 设初始时细杆的旋转 角速度为 ?0 ,转过? 角后 角速度为? .由于摩擦力
并不作功,故细杆和圆环 构成的系统机械能守恒
A
l

C
R

l

B

1 1 2 应有: J C?0 ? J P? 2 2 2 1 1 2 2 这里 J C ? m(2l ) ? ml 12 3

A

l

1 J P ? m(2l ) 2 ? mr 2 12

? v C r
?
P

l

B

r ? R?
解得: ? ?
l?0 l ? 3r
2 2

R
vC ? ?r ? l?0 l ? 3r
2 2

r

细杆质心C将沿着圆的渐开 线运动 切向加速度为 aC切
dvC dvC dr d? ? ? ? 2 2 2 ?l ? 3r ? dt dr d? dt
l 4? 02 R

法向加速度为
l? r aC法 ? r? 2 ? 2 2
2 2 0

l ? 3r

A

l

? v C r
?

? N
l
P

B

列出细杆质心运动方程

maC切 ? N

maC法 ? f

R

不打滑的条件:

f ? ?N
2 2

? f

f aC法 (l ? 3r )r 即 ?? ? ? 2 N aC切 l R
由于

0?r ?l

所以 ? ? 4l

R

例8. 两个均质圆盘转动惯量分别为 J1 和 开始时第一个圆盘以

?10 的角速度旋转,

J2

第二个圆盘静止,然后使两盘水平轴接近,
求:当接触点处无相对滑动时,两圆盘的角速度

?10
r1
r2

解: 受力分析: 无竖直方向上的运动

?10
o1

N1
r1

f
o2

N2
r2

N1 ? f ? m1 g N 2 ? f ? m2 g
以O1点为参考点, 计算系统的外力矩:

f

m1 g

m2 g

M ? ( N2 ? m2 g )(r1 ? r2 )

? ? f (r1 ? r2 ) ? 0

作用在系统上的外力矩不为0,故系统的角动量不守恒。 只能用转动定律做此题。 对于盘1:

d? 1 J1 ? ? fr1 dt
d?1 fr1 ?? dt J1

阻力矩

?10
o1

N1
r1

f
o2

N2
r2

fr1 d?1 ? ? dt J1

f

m1 g

m2 g

fr1 d?1 ? ? dt 两边积分 J1

r1 d?1 ? ? ? J1 ?10

?1

? fdt
0

t

r1 ?10 ? ?1 ? ? fdt J1 0
对于盘2:

t

?10
o1

N1
r1

f
o2

N2
r2

d? 2 J2 ? fr2 dt d? 2 fr2
dt ? J2

f

fr2 d? 2 ? dt J2

m1 g

m2 g

fr2 d? 2 ? dt 两边积分 J2
r2 ?2 ? J2

?2

r2 d? 2 ? ? J2 0
N1
r1

? fdt
0

t

? fdt
0

t

于是有: J1 J2 (?10 ? ?1 ) ? ? 2 r1 r2

?10
o1

f
o2

N2
r2

不打滑条件: r1?1 ? r2? 2

f

接触点处两盘的线速度相等

m1 g

m2 g

可解得:

J r ?10 ?1 ? J r ? J 2 r12
2 1 2 2 1 2

J1r1r2 ?10 ?2 ? 2 2 J1r2 ? J 2 r1

例9: 质量为2m,半径为R的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m和2m 的物体, 绳与滑轮之间的摩擦系数为 绳与滑轮之间无相对滑动. 解: 受力分析:

?

,问

?

为何值时

T2

T1

2m

m

T2

T1

2m g

mg

列方程:

m:
2m :

T1 ? mg ? ma

T2
?

T1

2mg ? T2 ? 2ma
T1

a
T2
2m g

a
mg

滑轮:

1 2mR 2 ? ? RT2 ? RT1 2
不打滑的条件:

a ? R?

T1 ? mg ? ma

2mg ? T2 ? 2ma
1 2mR 2 ? ? RT2 ? RT1 2

?

a ? R?

由以上四式解得:

T2

T1

5 T1 ? mg 4

3 T2 ? mg 2

绳中的张力分析 任取线元

d? 2

T ? dT

d?
?

dN

dl ? Rd ?
此线元切向运动方程为:

T

df
d? 2

d? d? T cos ? df ? (T ? dT ) cos 2 2
此线元法向运动方程为:

d? d? dN ? T sin ? (T ? dT ) sin 2 2

T2

T1

d? d? T cos ? df ? (T ? dT ) cos 2 2 df d? d? dN ? T sin ? (T ? dT ) sin 2 2 d? d? d? 利用近似: ? cos ? 1 sin 2 2 2
忽略二阶无穷小量,得到:

? ?dN

?dN ? dT
dN ? Td?

两式相除得到:

?dN ? dT
dN ? Td?
解此方程得到: 当

两式相除得到:

dT ? d? ? T

T ? T1e
时,

??

T ? T2

? ??
1

6 ln 于是得到摩擦系数为: ? ? ? 5

例10 均匀圆柱体,从静止沿斜面下滑,圆柱与斜面间摩擦系

数为?,当摩擦系数为某一临界值时,圆柱体恰纯滚动地向
下滚动, 求此 临界值. 解: 质心运动方程 N

mac ? mgsin ? ? ?mgcos?
转动定理

ac
θ mg

f

1 mR 2 ? ? ?mg cos ?R 纯滚动条件: 2

1 解得: ? ? tan ? 3

ac ? R?

例11. 一个质量为m 的卫星围绕着质量为M,半径为R

的大星体作半径为 2R的圆周运动.从远处飞来一个
GM 质量为2m, 速度为 v ? 的小流星.恰好沿着 R 卫星运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞,结成

新的星体,作用时间非常短.假定碰撞前后位置的变化 可以忽略不计, 新星的速度仍沿原来方向. (1)试用计算表明新星的轨道类型,算出轨道的偏心率.

(2)如果小流星沿着卫星速度的反方向发生如上的碰撞 给出新星体能否与大星体 M碰撞的判断。

(1)解: 轨道类型与新星 的机械能的正负有关. 如果动能大于势能,
新星可以摆脱地球的 吸引,轨道成为非闭合的 如果动能小于于势能, 新星不能摆脱地球的

? v

?

? v?

b

?

a

吸引,轨道成为闭合的,即椭圆轨道.可以用新星的机械
r远 ? r近 能的正负来判断轨道的类型. 偏心率的定义为 e ? r远 ? r近

为了计算碰后的机械能,首先要计算出碰后的速度.

? 设碰后新星速度为 v ?

碰撞过程动量守恒.

碰前卫星的运动方程为

GM 求得碰前卫星的运动速度: v1 ? 2R
碰撞过程动量守恒

v12 Mm m ?G 2R ( 2 R) 2

? mv 1 ? (2m)v ? ?m ? 2m?v

2 2 ? 1 GM 求得碰后新星的运动速度: v? ? 3 2R

此时的位置相当于在新星运动的近地点.

我们计算新星近地点的机械能

1 M (3m) 4 2 ? 9 GM (3m) 2 E ? ?3m ?v? ? G ? ?0 2 2R 36 R
说明新星作椭圆轨道运动. 下面我们讨论一下新星的机械能与远地点距离关系
? 2R(3m)v? ? r远 ?3m?v远 v ?

新星运动角动量守恒

得到

b

2R 2 2 ?1 v远 ? v? ? 2GMR r远 3r远
带入远地点的机械能表达式

?

a

r远

1 M (3m) 2 E ? (3m)v远 ? G 2 r远

? v?

b

此能量应等于新星在近 地点的机械能

?

a

r远

1 2 2 ? 1 2GMR M (3m) 4 2 ? 9 GM (3m) E ? (3m) ?G ? 2 2 9r远 r远 36 R

?

?

2

经化简得到

?2

2 ?1 R 1 9 ? 4 2 ? ? ?0 2 9r远 r远 36 R

?

2

? ? 18R 2 9?4 2 2 2 ? 1 ? 1? ? 8.8R 解得 r远 ? ? 1 ? 81 ? ? ? ? 9?4 2

?

?

偏心率

r远 ? r近 e? ? 0.63 r远 ? r近
GM 质量为m v1 ? 2R GM 质量为2m v? 2R

(2)解:反方向碰撞,设碰后新星体的速度为 v ? 碰前卫星的速度: 碰前流星的速度: 碰撞过程动量守恒

? ? mv 1 ? (2m)v ? ?m ? 2m?v
2 2 ? 1 GM 求得碰后新星的运动速度: v? ? 3 2R

此时的位置相当于在新星运动的远地点.

我们计算新星远地点的机械能

1 M (3m) ? 4 2 ? 9 GM (3m) 2 E ? ?3m ?v? ? G ? ?0 2 2R 36 R
说明新星作椭圆轨道运动. 新星运动角动量守恒

2R(3m)v? ? r近 ?3m?v近
得到

? v?

?

2R 2 2 ?1 v近 ? v? ? 2GMR r近 3r近
带入近地点的机械能表达式

1 M (3m) 2 E ? (3m)v近 ? G 2 r近

? v?

此能量应等于新星在远 地点的机械能

?

1 2 2 ? 1 2GMR M (3m) ? 4 2 ? 9 GM (3m) E ? (3m) ?G ? 2 2 9r近 r近 36 R

?

?

2

经化简得到

?2

2 ?1 R 1 9 ? 4 2 ? ? ?0 2 9r近 r近 36R

?

2

? ? 18R 2 9?4 2 2 2 ? 1 ? 1? ? 0.4R ? R 解得 r近 ? ? 1 ? 81 ? ? ? ? 9?4 2

?

?

肯定与大星体相碰。

例12. 半径为R的圆环绕铅垂的直径轴以?的角速度旋转 一细杆长为 L ? 2 R , 其两端约束在圆环上可作无摩擦 的滑动,细杆的位置用OC与铅垂线的夹角?表示,C为 细杆的质心.试求细杆在圆环上的平衡位置,并分析 平衡的稳定性. 解:以圆环为参考系,以细杆 质心位于轴上时作为重力势能 的0点,任意位置时重力势能为

?
R
O
450

E重 ? mgRcos45 (1 ? cos? )
0

?

C

m gR ? (1 ? cos? ) 2

x

在细杆上任取线元 dl 所受的惯性力(离心力)为

m df 离 ? dl? 2 x 此力作功与路径无关,可用势能减少 L 量描述.设轴上的离心势能为0,dl 处的离心势能
设为 dE离 ,应有

?
0

x

?

df离 dx? ? 0 ? dE离
x

m dE离 ? ? ? dl? 2 x?dx? L 0
?? 1m 2 2 ? x dl 2L

x
O
45
0

dl
C

?

R

?

x

x ? R sin(? ? ) ? l cos ? 4 2 m 2? ? ? dE离 ? ? ? ? R sin(? ? ) ? l cos? ? dl 2L 4 ? ?

?

离心势能为:
m 2? ? ? E离 ? ? ? ? ? R sin(? ? ) ? l cos ? ? dl 2L ? 4 ? 0 1 2 1 2? 2 ? 2 ? ? m R ?1 ? cos ? ?? ? ? J 轴? 2 4 2 ? 3 ?
L 2

?

x
O
45
0

dl
C

系杆总的有效势能 E p ? E重 ? E离
mgR 1 2? 2 2 ? 2 Ep ? (1 ? cos? ) ? mR ?1 ? cos ? ?? 4 2 ? 3 ?

?

R

?

x

mgR 1 2? 2 2 ? 2 Ep ? (1 ? cos? ) ? mR ?1 ? cos ? ?? 4 2 ? 3 ?

dEp 平衡条件: ?0 d? d 2Ep ?0 稳定平衡条件: 2 d? d 2Ep 非稳定平衡条件: 2 ? 0 d? dEp 由 ? 0 求出三个平衡位置: d?
? ? 0, ?,
? 3g ? cos ? ? 2 ? 2? R ?
?1

?

O

?

C

为讨论平衡位置的稳定性,计算二阶导数

1 1 2 2 2 2 ? mgR cos ? ? mR ? (cos ? ? sin ?) 2 d? 3 2 2 d Ep ? g 1 2? (1)?=0时 ? m R? ? R? ? 2 d? ? 2 3 ? ? 2 3g d Ep 2 当? ? 时, ?0 2 2R d?

d Ep

2

Ep

取极小值,属稳定平衡
O

Ep

2 3 g d Ep 当 ?2 ? 时, ?0 2 2R d?

?

C

取极大值,属不稳定平衡

2 d Ep ? g 1 2? (2)?=?时 ? ?m R? ? R? ? ? 0 2 d? ? 2 3 ?

Ep

取极大值,属不稳定平衡

?

O

?

C

? 3g ? ? 时 (3)当 ? ? cos ? 2 ? 2? R ? d 2Ep m ? ? 4R2 3 2 ? ? 2? ? g ? 2 ? d? ? ? 3 2 ? ? 4 2 3g ? R 3 2 ? 1 因 cos ? ? 1 ,即 ,或 ? g 2 2? R 3 2 2
?1

d Ep d?
2

?0

?

3g ? 所以当 ? ? cos?1 ? ? ? 时, 2 ? 2? R ? 定属于稳定平衡.

O

?

C

例13. 水平弹簧振子,弹簧的劲度系数为 k ,振子的 质量为 m ,水平阻尼力的大小与振子的运动速度成 正比比例系数为 ? ,求形成低阻尼振动的条件。

解:据牛顿第二定律,得到
d 2x dx m 2 ? ?kx ?? dt dt



d 2x k ? dx ?? x? 2 dt m m dt

(1)
? ?t

设特解为 x ? Ae
A? e
2 2 ? ?t

带入(1)式,得到

k ? ? ?? ? ? m m

k ? ? ?t ? ? Ae ? A(?? )e ??t m m

k ? ? ?? ? ? m m
2

得到

4k ?? ? ? ? ? 2m m ?m?
? ? ? 4k ? t? ? ? ? t 2m m ?m?

?

?? ?

2

两个特解

?

2

x ? x1 ? Ae

? ?t

? Ae

x ? x2 ? Ae

? ?t

? Ae

4k ? t? ? ? ? t 2m ?m? m

?

?? ?

2

低阻尼(欠阻尼)情况,振子作衰减振荡运动, e 指数的变量必须是复数。需满足条件 即: v ? 2 km
?? ? 4k ? ? ? m ?m?
2

x
c
b

a
? ? ? 4k ? t? ? ? ? t 2m ?m? m
2

t

?

2

x ? x1 ? x2 ? Ae

? Be

? ? ? 4k ? t? ? ? ? t 2m ?m? m

?

2

? ? ? 4k ? ? ? a.低阻尼(欠阻尼): m ?m?

b.临界阻尼:

? ? ? 4k ? ? ? m ?m?
2

2

? ? ? 4k ? ? ? c.高阻尼(过阻尼): m ?m?

例14. 两弹性系数都是 k 的弹簧它们与质量为 m 的绝缘滑块连接,滑块内植入一电量为 Q 的正点电荷 两固定端之间的距离为 L,等于两弹簧原长的和,

两固定端处各放一电量为 q 的正点电荷 微微波动一下滑块,使其作微小的 振动运动,求振动圆频率。 解: 当位移为 x 时,滑块受力 q

x

m, Q

q

qQ qQ F ? ?2kx ? ? L L 2 4?? 0 ( ? x) 4?? 0 ( ? x) 2 2 2 d 2x qQ qQ ? 滑块运动方程 m 2 ? ?2kx ? L L dt 2 4?? 0 ( ? x) 4?? 0 ( ? x) 2 2 2

d 2x qQ qQ m 2 ? ?2kx ? ? L L dt 2 4?? 0 ( ? x) 4?? 0 ( ? x) 2 2 2

由于 x ?? L ,对力作近似处理
qQ qQ F ? ?2kx ? ? L L 2 4?? 0 ( ? x) 4?? 0 ( ? x) 2 2 2 qQ qQ ? ?2kx ? ? 2 2 ?? L ? ? ? ? ?L? 2 2 4?? 0 ?? ? ? Lx ? x ? 4?? 0 ?? ? ? Lx ? x ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? ?? 2 ? ? ? ? qQ ? 1 1 ? ? ? ? ?2kx ? ? 2 ?? 0 L ? 1 ? 4 x 1 ? 4 x ? ? ? L L ? ?

? ? qQ ? 1 1 ? ? ? F ? ?2kx ? ? 2 ?? 0 L ? 1 ? 4 x 1 ? 4 x ? ? ? L L ? ?

利用 得到

1 ? 1 ? t ? t 2 ? ... 1? t

1 ? 1 ? t ? t 2 ? ... 1? t

qQ ? 4 x 4x ? F ? ?2kx ? 1 ? ?1 ? ? 2 ? ?? 0 L ? L L?

滑块振动方程变为

? d 2x 8qQ ? ?x m 2 ? ?? 2k ? 3 ? ? dt ?? 0 L ? ?

1? 8qQ ? 振动圆频率为 ? ? ? ? 2k ? 3 ? ? m? ?? 0 L ?