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第二章基本初等函数总结复习课学案

时间:2014-01-03


第二章基本初等函数总结复习
一、基础知识回顾: 1. n 次方根的含义:一般地, x ? a ,那么 x 叫做 a 的
n

2

1

1

1

1

5

2

1. (2a 3 b 2 )( ?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 )
*

2. 0.027 3 ? (

27 ? 3 7 ) ? (2 ) 0.5 125 9

1

,其中 n ? 1且 n ? N ,用符号 重要关系:
n

表示,式子 叫做根式,其中 2.正分数指数幂的意义是 (1)

叫根指数, 叫被开方数. ;负分数指数幂的意义是
n

?

n

a

?

n

3 0 1 ?1 ?2 0.5 3. (2 ) ? 2 ? (2 ) 2 ? (0.01) 5 4

7 0.5 10 ? 2 37 ?2 0 4. (2 ) ? 0.1 ? (2 ) 3 ? 3? ? 9 27 48

?

;(2) n 为奇数时,
0

an ?

; n 为偶数时, (2) a
r s

an ?

3.指数幂的运算性质: (1) a ? (3) a ? a ?
r s

(a ? 0) ) ).

?n

?

(a ? 0) ) 5. 7
log7 5

( (
b

(4) ( a ) ?





(5) ( ab) ?
r

6. log a 2 ? log a

1 ; 2

7.

log 5 100 ? log 5 0.25 ;

4.对数的含义:如果 a ? N (a ? 0,且a ? 1) ,那么称 其中 a 称为对数的底,N 称为真数.



,记作



① 以 10 为底的对数称为常用对数, log10 N 记作___________. ② 以无理数 e(e ? 2.71828?) 为底的对数称为自然对数,log e N 记作_________.特别的有: (1) 真数 N 为 (负数和零无对数); (2) log a a ? , (3) log a 1 ? ; .

8. log10

1 ? log10 25 4

9. log 3 2 ? log 3

32 ? log 3 16 ? 5 2 log5 3 9

5.对数的运算法则: M ? 0, N ? 0. (1) log a MN ? (2) log a

10. lg 25 ? lg 2 ? lg 50 ? (lg 2)

2

11. log15 5 ? log15 45 ? (log15 3) 2

M ? N
n

(3) log a M

?

.

对数恒等式 a

l o agN

?

.

6.对数的换底公式: log a N ?

( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). 换底公式的变形形式: (1)
n

12. lg 500 ? lg

log a b ?

1 , log b a

(2) log a n b ?

,(3) log a m b ?
n

8 1 ? lg 64 ? 50(lg 2 ? lg 5) 2 5 2

13. lg 5 ?
2

2 lg8 ? lg 5 ? lg 20 ? (lg 2) 2 3

.

二、基础巩固练习:

第 1 页 共 6 页

三、指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 和对数函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 的图象和性质
x

5. 若 0 ? x ? y ? 1 ,则( A. 3 ? 3
y x

) C. log 4 x ? log 4 y D. ( ) x ? ( ) y

函数
a ?1

y ? ax

y ? log a x

a ?1
y y

B. log x 3 ? log y 3 )

1 4

1 4

6 下面不等式成立的是(


o

A. log3 2 ? log 2 3 ? log 2 5 x o x C. log 2 3 ? log 3 2 ? log 2 5
x

B. log3 2 ? log 2 5 ? log 2 3 D. log 2 3 ? log 2 5 ? log 3 2

7 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0,且a ? 1 的反函数,且 )

0 ? a ?1



0 ? a ?1
y y

f (2) ? 1,则 f ( x) ? (
x

)

A. log 2 x

B.

1 2x

C. log 1 x
2

D. 2x?2

o

x

o

8. 若函数 f ( x) ? log a ( x ? b) 的图象如右图,其中 a, b 为常数.则函数 g ( x) ? a ? b 的大致图象
x

是(

定义域 值域 定点 单调性
四、基础训练 1.用“<”或“>”填空: (1) ( )
x

y



y

y

y

y

1
?1 o

1 ?1

x

?1

1

o ?1

1
x

?1

1

o ?1

1
x

1
o ?1 ?1
D.

1 1
o 1 x ?1 ?1 x

A.

B.

C.

2 3

?3

2 ( ) ?2 3

(2) log 2 3.4 )

l o g 8.5 2

x 9. 已知函数 f ( x) 满足:x ? 4 , f ( x) ? ( ) ; x ? 4 时, f ( x) = f ( x ? 1) , f (2 ? log 2 3) 则 当 则

1 2

=(

) A.

2. 已知函数 f ( x ) ? (a ? 2) 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A.(2,+ ? ) B.(3,+ ? ) C. (2,3) ) C.(0,1) ) C. [ 2 ,+ ? )

D. (1,2)

1 24
x- 1

B.

1 12

C.

1 8

D.

3 8

3. 当 x ? 3 时,函数 y ? log3 x 的值域是( A. (0,+ ? ) 4. 函数 y ? B. (1,+ ? )

10. 若函数 y = 3 + a D.(3,+ ? )

( a > 0 且 a ? 1 )的图象必过定点 P,则 P 点坐标是

11. 若函数 y ? 3 ? log a ( x ? 1) ( a > 0 且 a ? 1 )的图象必过定点 P,则 P 点坐标是 12. 已知 log a

log 2 ( x ? 1) 的定义域是(
B.(1,2)

A.(1,+ ? )

D. (0,+ ? )

1 (1)当 0 ? a ? 1 时, a 的取值范围是 ? 1, 2


; (2)当 a ? 1 时, a

的取值范围是

第 2 页 共 6 页

13. 已知 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是_______ log a x, x ? 1 ?

17. 已知函数 f ( x) 满足 f ( x ) ? ln

1? x , 1? x

14. 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) , g ( x) ? log a (4 ? 2 x) ( a ? 0 且 a ? 1 ). (1)求函数 f ( x ) ? g ( x ) 的定义域; (2)求使函数 f ( x ) ? g ( x ) 的值为正数的 x 的取值范围.

(1)求 f ( x) 的的定义域;判断 f ( x) 的奇偶性及单调性; (2)对于函数 f ( x) ,当 x ? (?1,1) 时, f (1- m) + f (1- m ) < 0 . 求实数 m 的取值范围.
2

15. 设 a ? 0 , 且a ? 1 ,如果函数 y ? a

2x

? 2a x ? 1 在 [?1,1] 上的最大值为 14 ,求 a 的值.

1? 2x ? 4x ? a (a ? R) ,如果当 x ? (??,1) 时 f (x) 有意义,求 a 的取值范围. 16. f ( x) ? lg 3

第 3 页 共 6 页

五、幂函数 1.幂函数的概念:一般地,我们把形如 的函数称为幂函数,其中 是常数; 注意:幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质: (1)幂函数的图象都过点 ;幂函数的图象都不经过第 象限; (2)当 ? ? 0 时,幂函数在 [0, ??) 上 (3)当 ? ? ?2, 2 时,幂函数是 ;当 ? ? 0 时,幂函数在 (0, ??) 上 ;当 ? ? ?1,1,3, 时,幂函数是

2. 比较大小: 是自变量,
1 1

(1)1.5 2 ,1.7 2

(2)(?1.2) ,(?1.25)
3

3

(3)5.25 ,5.26 ,5.26

?1

?1

?2

(4)0.5 ,3 , log 3 0.5

3

0.5

; .

1 3

3.幂函数的图象在第一象限的分布规律:在第一象限内,在 (0, ??) 上,图象由下至上指数 ? 由 小到大;在 (0,1) 之间,图象由下至上,指数 ? 由大到小. 六、基础练习 1. 写出下列函数的定义域,并判断它们的奇偶性: (1) y ? x
3

3. 已知幂函数 y ? x (3) y ? x
?2

m2 ? 2 m ?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于原点对称,求 m 的

(2) y ? x
?2

1 2 1 2 ? 1 2

值.
1 2 1 4

(4) y ? x ? x
2

(5) y ? x ? x

(6) f ( x) ? x ? 3(? x)

第 4 页 共 6 页

评析:换元之后,函数解析式变了,函数定义域也变了,二次函数最值问题,一般先讨论开口方 向,再讨论对称轴和区间的相对位置. 16. f ( x) ? lg

1? 2x ? 4x ? a (a ? R) ,如果当 x ? (??,1) 时 f (x) 有意义,求 a 的取值范围. 3 1? 2x ? a ? 4x ? 0 ,∴ a ? 4 x ? 2 x ? 1 ? 0 3

解:由已知得,当 x ? ?? ?,1? 时

∴ a ? 4 ? ?1 ? 2
x

x

? 1 1 1 ∴ a ? ? x ? x ? ?? 4 2 ? 2x ?
x

? ?

2

?? 1 1 ? 2 1 ? 1? ? x ? ? ??? x ? ? ? ? 2? 4? 2 ? ?? 2 ? ? ?

1 1 3 ?1? ?1 ? ? x ? ?? ?,1? ,∴ ? ? ? ? ,?? ? , ∴ a ? ? ? ? ? . 4 2 4 ?2? ?2 ?
1? x ? 0 得函数 f ( x) 的定义域为 (?1,1) ……2 分 1? x 1? x 1 ? x ?1 1? x f ( ? x ) ? ln ? ln( ) ? ? ln ? ? f ( x ) ,所以 f ( x) 为奇函数…… 4 分 1? x 1? x 1? x 1 ? x1 1 ? x 2 ? ) …………………… 6 分 任意 x1 , x2 ? (?1,1), x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ln( 1 ? x 2 1 ? x1 ? x1 , x 2 ? (?1,1), x1 ? x 2 ,? 0 ? 1 ? x1 ? 1 ? x 2 ,0 ? 1 ? x 2 ? 1 ? x1 ……………………7 分 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x1 1 ? x 2 ?0 ? ? ? 1,? ln( ? ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 1 ? x 2 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x1 所以 f ( x ) 为 (?1,1) 上的递增函数 ……………………………………………………9 分 2 (2)由(1)可知原不等式变形为 f (1 ? m ) ? f ( m ? 1) ,又 f ( x ) 为 (?1,1) 上的递增函数
17. 解: (1)由 则原不等式满足 ? 1 ? 1 ? m ? m ? 1 ? 1 , …………………………………………11 分
2

部分题参考答案
15. 设 a ? 0 , 且a ? 1 ,如果函数 y ? a 解析: y ? a
2x

? 2a x ? 1 在 [?1,1] 上的最大值为 14 ,求 a 的值.

? ?

x 2

2 ? 2a ? 1 ? ?t ? 1? ? 2 , x

t ?a x

1 1 2 (1) a ? 1 时, ? t ? a ,二次函数 y ? (t ? 1) ? 2 在 [ , a] 上单调递增, a a
∴ y max ? (a ? 1) ? 2 ? 14 ,∴ a ? 3或a ? ?5 (舍去) ,
2

所以 m 取值范围是 (1, 2 )

…………………………………………………………13 分

幂函数参考答案
1.解: (1)此函数的定义域为 R, ? f (? x) ? (? x) ? ? x ? ? f ( x)
3 3

1 1 2 ,二次函数 y ? (t ? 1) ? 2 在 [a, ] 上单调递增, a a 1 1 1 2 ∴ y max ? ( ? 1) ? 2 ? 14 , ∴ a ? 或a ? ? (舍去) , a 3 5 1 综上 a ? 3或 . 3
(2)当 0 ? a ? 1时, a ? t ?

∴此函数为奇函数. (2) y ? x 2 ?
1

x , ∴此函数的定义域为 [0, ??)

?此函数的定义域不关于原点对称 ,∴此函数为非奇非偶函数.

第 5 页 共 6 页

(3) y ? x ?2 ?

1 ,∴此函数的定义域为 (??,0) ? (0, ??) x2
1 1 ? 2 ? f ( x) ,∴此函数为偶函数. 2 (? x) x

(3) ( ) 3 , ( ) 2 , ( ) 3 ,33 , ( ) 3
2 2 2 3 ? 3 2 ? 3

2 3

?

1

2 5

1

5 3

?

1

1

3 2

2

? f (? x) ?

解: (1) (?1.4) 3 ? 2.53 ? (?3) 3
1 1 2

(2) 6.258 ? 0.5
1

? 0.16 4 ,

(4) y ? x 2 ? x ?2 ? x 2 ?

1 ,∴此函数的定义域为 (??,0) ? (0, ??) . x2
∴此函数为偶函数.

2 1 5 ? 2 ? 3 (3) ( ) 2 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? 33 5 3 3 2
3. 分析:幂函数图象与 x 轴、 y 轴都无交点,则指数小于或等于零;图象关于原点对称,则函数 为奇函数.结合 m ? Z ,便可逐步确定 m 的值. 解:∵幂函数 y ? x
2
m2 ? 2 m ?3

? f (? x) ? (? x) 2 ?
1 2 1 2

1 1 ? x 2 ? 2 ? f ( x) 2 (? x) x

(5) y ? x ? x

?

1 ? x? ,∴此函数的定义域为 [0, ??) . x
?x ? 0 , x ? 34 ?x , ? ? ?? x ? 0

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,

?此函数的定义域不关于原点对称, ∴此函数为非奇非偶函数.
(6) f ( x) ? x ? 3(? x) ?
1 2 1 4

∴ m ? 2m ? 3 ? 0 ,∴ ?1 ? m ? 3 ;

?x ? 0

∵ m ? Z ,∴ (m ? 2m ? 3) ? Z ,又函数图象关于原点对称,
2

∴ m ? 2m ? 3 是奇数,∴ m ? 0 或 m ? 2 .
2

∴此函数的定义域为 {0} , ∴此函数既是奇函数又是偶函数. 2.解: (1)∵ y ? x 2 在 [0, ??) 上是增函数, 1.5 ? 1.7 ,∴ 1.5 2 ? 1.7 2 (2)∵ y ? x 在 R 上是增函数, ?1.2 ? ?1.25 ,∴ (?1.2) ? (?1.25)
3
3 ?1 3

1

1

1

(3)∵ y ? x 在 (0, ??) 上是减函数, 5.25 ? 5.26 ,∴ 5.25 ? 5.26 ; ∵ y ? 5.26 是增函数, ?1 ? ?2 ,∴ 5.26
x

?1

?1

?1

? 5.26?2 ;

综上, 5.25

?1

? 5.26?1 ? 5.26?2
3 0.5

(4)∵ 0 ? 0.5 ? 1, 3

? 1 , log3 0.5 ? 0 , ∴ log3 0.5 ? 0.53 ? 30.5 .
3 3 3

变式训练 2:将下列各组数用小于号从小到大排列:
2 2 2

(1) 2.53 ,(?1.4) 3 ,(?3) 3

(2) 0.16 4 ,0.5 2 ,6.258

?

?

第 6 页 共 6 页


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