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河北省正定中学2012届高三数学第一次考试 文

时间:2011-10-02


河北正定中学高三年级第一次考试·数学试题( 河北正定中学高三年级第一次考试·数学试题(文)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 选择题( 1. 若 P = {2,3,4}, Q = {1,3,5}, M = {3,5,6}, 则 痧( P ∩ M ) ∪ P
M

( M ∩ Q) = ( )

A.{2,4}

B.{2,4,6} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5} 3 2. 曲线 y=x +11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15 ( ) 3. 如果命题“ ?p ∨ ?q ”是假命题,则在下列各结论中,正确的为 ①命题“ p ∧ q ”是真命题; ②命题“ p ∧ q ” 是假命题; ③命题“ p ∨ q ”是真命题; ④命题“ p ∨ q ”是假命题。 A.②③ B.②④ C.①③ D.①④ 4. 若函数 y = cos 2 x 与函数 y = sin( x + ? ) 在[ 0, A.

π
2

]上的单调性相同,则 ? 的一个值为( )

π
6

B.

π
4

C.

π
3

D.

π
2

5. 给出四个函数,分别满足: ① f (x + y) = f (x) + f ( y) ; g ( x + y ) = g ( x ) ? g ( y ) ; ② ③ ?( x ? y) = ?( x) + ?( y) ; ④ h(x? y) = h(x)?h(y) 。又给出四个函数的图象(如图),则正确的匹配 方案是( ) A.①-甲,②-乙,③-丙,④-丁 C.①-丙,②-甲,③-乙,④-丁

B.①-乙,②-丙,③-丁,④-甲 D.①-丁,②-甲,③-乙,④-丙

6. 若非零向量 a, b 满足 | a |=| b |, 2a + b ? b = 0 ,则 a 与 b 的夹角为( ) A. 30°
°

(

)

B. 60°

C. 120°

D. 150°

7. 在数列 {an } 中, a1 = 15, 3an+1 = 3an ? 2(n ∈ N*),则该数列中相邻两项的乘积是负数的( ) A. a 21 ?a 22 B. a 22 ? a 23 C. a 23 ? a 24 D. a 24 ? a 25

8. 已知 sin x + cos x =

1 , x ∈ [ 0, π ] ,则 tan x 的值为( ) 5 3 4 4 A. ? B. ? C. ± 4 D. ? 3 或 ? 4 3 3 4 3 1 1 1 9. a, b 为正实数, a, b 的等差中项为 A; , 的等差中项为 ; a, b 的等比中项为 a b H

G (G > 0) ,则( )
A. G ≤ H ≤ A 10. 已知 α , β ∈ (

π
2

B. H ≤ G ≤ A

C. G ≤ A ≤ H

D. H ≤ A ≤ G

, π ), 且 cosα + sin β > 0 ,则必有( )
B. α + β >

A. α + β < π

3π 2

C. α + β =

3π 2

D. α + β <

3π 2
-1-

11. 平面上 O, A, B 三点不共线,设 OA = a, OB = b ,则 ?OAB 的面积等于( ) A.

a b ? ( a ? b) 2 1 2 a b ? ( a ? b) 2
2 2

2

2

B.

a b + ( a ? b) 2 1 2 a b + ( a ? b) 2
2 2

2

2

C.

D.

12. 设 a > b > 0 ,则 a +
2

1 1 + 的最小值是( ) ab a ( a ? b )
D.4

A.1

B.2

C.3

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 填空题( 13. 不等式

x2 ? x ? 6 >0 的解集为 x ?1



14. 已知函数 y = A sin(ωx + φ )( A > 0, ω > 0) 在一个周期内的图象如图所示, 则它的解析式为_ _。

15. 若点 P ( m,3) 到直线 4 x ? 3 y + 1 = 0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2 x + y <3 表示的平面 区域内,则 m = 。

16. 在平面直角坐标系中, 双曲线 C 的中心在原点, 它的一个焦点坐标为 ( 5, 0) ,e1 = (2,1) 、

e 2 = (2, ?1) 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 C 上的点 P ,若 OP = ae1 + be2
( a 、b∈ R ) ,则 a 、 b 满足的一个等式是 解答题( 三、解答题(共 70 分)
2



17. (满分 10 分) 求函数 y = sin x + 2 sin x cos x + 3cos x ( x ∈ R ) 的最大值和最小值。
2

18. (满分 12 分)甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女。 (Ⅰ)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,求选出的 2 名教师性别相同的概率; (Ⅱ)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率。

19. (满分 12 分)已知正项数列 {an } ( n ∈ N *, a n > 0) 的前 n 项和 S n 满足: 2 Sn = an +1; 设 bn = ?2an + 39 ,求数列 bn 的前 n 项和的最大值。

{ }

-2-

20. (满分 12 分) 如图, 在四面体 ABCD 中, 平面 ABC⊥平面 ACD ,

AB ⊥ BC , AC = AD = 2, BC = CD = 1
(Ⅰ)求四面体 ABCD 的体积; (Ⅱ)求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值。

21. (满分 12 分)已知函数 f ( x) = x + ( m ? 4) x ? 3mx + ( n ? 6)
3 2

( x∈R ) 的图象关于原点

对称, m , n 为实数, (1)求 m , n 的值; (2)证明:函数 f (x ) 在 [? 2,2] 上是减函数; (3) x ∈ [?2,2] 时,不等式 f ( x ) ≥ ( n ? log m a ) ? log m a 恒成立,求实数 a 的取值范围。

22. 如题(21)图,椭圆的中心为原点 0,离心率 e = (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;

2 ,一条准线的方程是 x = 2 2 2

(Ⅱ)设动点 P 满足: OP = OM + 2ON ,其中 M、N 是椭 圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

1 。问:是否存 2

在定点 F,使得 | PF | 与点 P 到直线 l : x = 2 10 的距离之 比为定值;若存在,求 F 的坐标,若不存在,说明理由。

河北正定中学高三年级第一次考试 数学(文)试题答案 数学( 试题答案 一、选择题:1-12 题:BBCDD 选择题: CCBBD CD 14、 二、填空题:13、 { x | ?2 < x < 1或x > 3} ;14、 y = 2sin( 填空题:13、 三、解答题: 解答题:

π
4

x+

π
4

) ;15、-3;16、4ab=1 15、- 16、 、-3

-3-

17 解: y = sin x + 2 sin x cos x + 3cos x
2 2

  = 1 + 2 cos 2 x + sin 2 x…………2分 = 1 + 1 + cos 2 x + sin 2 x…………4分

π? ? = 2 sin ? 2 x + ? + 2…………6分 4? ?
∵ 2x + ∴2?

π

π? ? ∈ R ,∴ ? 1 ≤ sin ? 2 x + ? ≤ 1 …………8 分 4 4? ?

2 ≤ y ≤ 2 + 2 ,即 y 的最大值为 2 + 2 ,最小值为 2 ? 2 。……10 分

(I 从甲校和乙校报名的的教师中任选一名, 名教师性别相同” 18 解: I)设“从甲校和乙校报名的的教师中任选一名,选出的 2 名教师性别相同”为事件 ( A, 则 P ( A ) =
1 1 C2C11 + C11C2 4 = ; 1 1 C3C3 9

名教师来自同一学校” (II)设“从报名的 6 名教师中任选 2 名,选出的 2 名教师来自同一学校”为事件 B,则 II)

P ( B) =

C32 + C32 2 = 。 2 3 C6

19 解:当 n = 1 时, S1 = a1 ,所以 2 a1 = a1 + 1 ,即
2

(

a1 ? 1 = 0 ,∴ a1 = 1 ;…1 分

)

2

……①, 当 n ≥ 2 时,由 2 S n = an + 1 ,得 4 S n = an + 2an + 1 ……①, ∴ 4 S n ?1 = a n ?1 + 2a n ?1 + 1 ……②
2

两式相减, 两式相减,得 4a n = a n ? a n ?1 + 2a n ? 2a n ?1
2 2

整理, 整理,得 (a n + a n ?1 )(a n ? a n ?1 ) = 2(a n + a n ?1 ) ,…………6 分 ∵ a n > 0 ,∴ a n + a n ?1 ≠ 0 , ∴ a n ? a n ?1 = 2 , 为首项, 为公差的等差数列, ∴ {a n } 是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, a n = 2n ? 1(n ∈ N *) …………8 分 ∴ bn = ?2(2n ? 1) + 39 = ?4n + 41 , ∴ bn ?1 = ?4n + 45 , ∴ bn ? bn ?1 = ?4(n ≥ 2 ) ,又 b1 = ?2a1 + 39 = 37 是等差数列, ∴ {bn } 是等差数列,且 b1 = 37 ,公差 d = ?4 ,
-4-

∴ S n = 37 n + ∴当 n = ?

n(n ? 1) (? 4) = ?2n 2 + 39n ,…………10 分 2

39 3 = 9 时, S n 取最大值,但 n ∈ N * , …………11 分 取最大值, 2(? 2 ) 4
2

最大, ∴当 n = 10 时 S n 最大,最大值为 S10 = ?2 × 10 + 39 × 10 = 190 。…………12 分 (I ABC⊥平面 DF⊥平面 ABC, 20 解: I) D 作 DF⊥AC 于 F, ( 过 由平面 ABC⊥平面 ACD 知, DF⊥平面 ABC, DF 是四面体 ABCD 即 的 面 ABC 上 的 高 。 设 G 为 CD 的 中 点 , 则 由 AC = AD , 知 AG⊥CD , 从 而

15 ?1? AG = AC ? CG = 2 ? ? ? = 。 2 ?2?
2 2 2

2



1 1 AG iCD 15 AC i DF = CDi AG ,得 DF = = 。 2 2 AC 4

在 Rt ?ABC 中, AB =

AC 2 ? BC 2 = 3 ,所以 S ?ABC =
1 3 5 。 8

1 3 AB i BC = 。 2 2

所以四面体 ABCD 的体积 V = i S ?ABC i DF =

DE,由三垂线定理, DE⊥AB,所以∠DEF (II)过 F 作 FE⊥AB 于 E,连结 DE,由三垂线定理,得 DE⊥AB,所以∠DEF 为二面角 C II) -AB-D 的平面角。 AB- 的平面角。

? 15 ? 7 在 Rt ?AFD 中, AF = AD ? DF = 2 ? ? ? = , ? 4 ? 4 ? ? AF i BC 7 在 Rt ?ABC 中,EF//BC,从而 EF:BC=AF:AC,所以 EF = EF//BC, EF:BC=AF:AC, = , AC 8
2 2 2

2

在 Rt ?DEF 中, tan DEF =

DF 2 15 2 15 = ,即所求二面角的正切值为 。 EF 7 7

的图象关于原点对称, 21 解:(1)∵ f ( x ) 的图象关于原点对称, 对一切实数均成立, ∴ f (? x ) = ? f ( x ) 对一切实数均成立,即

(? x )3 + (m ? 4)(? x )2 ? 3m(? x ) + (nj ? 6) = ?[x 3 + (m ? 4)x 2 ? 3mx + (n ? 6)] 对 x ∈ R
恒成立, 恒成立, 比较系数, 比较系数,得 m = 4, n = 6
3 (2)由(1)知 (2)由(1)知, f ( x ) = x ? 12 x( x ∈ R ) ,

-5-

∴ f ' ( x ) = 3 x ? 12 ,由 f ' ( x ) < 0 ,得 ? 2 ≤ x ≤ 2 ,
2

上是减函数; ∴函数 f (x ) 在 [? 2,2] 上是减函数; (另证) (设 ? 2 ≤ x1 < x 2 ≤ 2 ,则 另证) (设
3 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = x13 ? 12 x1 ? x 2 ? 12 x 2 = ( x1 ? x 2 ) x12 + x 2 + x1 x 2 ? 12

(

) (

)

(

)

∵ ? 2 ≤ x1 < x 2 ≤ 2
2 2 2 2 ∴ x1 ≤ 4, x 2 ≤ 4, x1 x 2 < 4 ,∴ x1 ? x 2 < 0, x1 + x 2 + x1 x 2 ? 12 < 0 ,

∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) > 0 ,即 f ( x1 ) > f ( x 2 ) , 上是减函数; ∴函数 f (x ) 在 [? 2,2] 上是减函数; (3)由(2)知 上是减函数, (3)由(2)知,函数 f (x ) 在 [? 2,2] 上是减函数, ∴在区间 [? 2,2] 上, [ f ( x )]min = f (2 ) = ?16 , 恒成立, ∴在区间 [? 2,2] 上,不等式 f ( x ) ≥ ( n ? log m a ) ? log m a 恒成立,就是

? 16 ≥ (n ? log m a ) ? log m a 成立,又由(1)知 m = 4., n = 6 成立,又由(1) (1)知
∴ (log 4 a ) ? 6 log 4 a ? 16 ≥ 0 ,即 log 4 a ≤ 2 或 log 4 a ≥ 8 ,
2

∴0 < a ≤

1 ? 1? 或a ≥ 216 ,即 a 的取值范围是 ? 0, ? ∪ 216 ,+∞ 。 16 ? 16 ?

[

)

2 a2 (I , = 2 2 ,得 a = 2, c = 2, b 2 = a 2 ? c 2 = 2 ,故椭圆的标准方程为 22 解: I)由 e = ( 2 c x2 y 2 + = 1。 4 2
II) ( II ) 设 P ( x, y ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 则由直 线 OM 与 ON 的斜率之积为 ? 由 OP = OM + 2ON 得

1 , x1 x2 + 2 y1 y2 = 0 。 得 2

( x, y ) = ( x1 , y1 ) + 2 ( x2 , y2 ) = ( x1 + 2 x2 , y1 + 2 y2 ) ,即 x = x1 + 2 x2 , y = y1 + 2 y2 。
2 2 ∵点 M、N 在椭圆 x + 2 y = 4 上,∴ x1 + 2 y1 = 4, x2 + 2 y2 = 4 2 2 2 2

-6-

∴ x + 2 y = x1 + 4 x2 + 4 x1 x2 + y1 + 4 y2 + 4 y1 y2
2 2 2 2 2 2

(

) (

)

2 2 = ( x12 + 2 y12 ) + 4 ( 22 + y2 ) + 4 ( x1 x2 + 2 y1 y2 )

= 20 + 4 ( x1 x2 + 2 y1 y2 ) = 20
即 x + 2 y = 20 ,
2 2

∴P 点是椭圆

( 2 5 ) ( 10 )
2

x2

+

y2

2

= 1 上的点 , 该椭圆的右焦点为 F

(

10, 0 , 离心率

)

e=

2 根据椭圆的第二定义知, ,准线 l : x = 2 10 。根据椭圆的第二定义知,存在点 F 2

(

10, 0 使得 | PF | 与

)

的距离之比为定值。 点 P 点到直线 l 的距离之比为定值。

-7-


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