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第十四章 14.3坐标系与参数方程

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§ 14.3 坐标系与参数方程 1.极坐标系 (1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点 O,叫做极点,从 O 点引一条射线 Ox,叫做极 轴,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就确定了一个极坐标系. 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的极径,记为 ρ,以极轴 Ox 为 始边,射线 OM 为终边的角叫做点 M 的极角,记为 θ.有序数对(ρ,θ)叫做点 M 的极坐标, 记作 M(ρ,θ). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并 在两种坐标系中取相同的长度单位,设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极 坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为 x=ρcos_θ,y=ρsin_θ. y 另一种关系为 ρ2=x2+y2,tan θ= . x 2.简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ=α (ρ∈R)表示过极点且与极轴成 α 角的直线; ρcos θ=a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线; π b, ?且平行于极轴的直线; ρsin θ=b 表示过? ? 2? ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1)表示过(ρ1,θ1)且与极轴成 α 角的直线方程. (2)圆的极坐标方程 ρ=2rcos θ 表示圆心在(r,0),半径为|r|的圆; π? ρ=2rsin θ 表示圆心在? ?r,2?,半径为|r|的圆; ρ=r 表示圆心在极点,半径为|r|的圆. 3.曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变量 t 的函数 ?x=f?t?, ? ? ? ?y=g?t?. 并且对于 t 的每一个允许值上式所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线 的参数方程,其中变量 t 称为参数. 4.一些常见曲线的参数方程 ?x=x0+tcos α ? (1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为? (t 为参数). ? ?y=y0+tsin α (2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为? ?x=a+rcos θ ? ?y=b+rsin θ ? (θ 为参数). ? ?x=acos θ x2 y2 (3)椭圆方程 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程为? (θ 为参数). a b ?y=bsin θ ? ?x=2pt2 ? (4)抛物线方程 y2=2px(p>0)的参数方程为? (t 为参数). ? ?y=2pt π 1.在极坐标系中,直线 ρsin(θ+ )=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为________. 4 答案 4 3 2.极坐标方程 ρ=sin θ+2cos θ 能表示的曲线的直角坐标方程为________. 答案 x2+y2-2x-y=0 2 ? ?x=4t , ? 3.已知点 P(3,m)在以点 F 为焦点的抛物线 (t 为参数)上,则 PF=________. ?y=4t ? 答案 4 ? , ?x=-1+tsin 40° 4.直线? (t 为参数)的倾斜角为________. ?y=3+tcos 40° ? 答案 50° ? ?x=3t, 5.已知曲线 C 的参数方程是? (t 为参数).则点 M1(0,1),M2(5,4)在曲线 C 上的是 2 ?y=2t +1 ? ________. 答案 M1 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴

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