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东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连2008届第一次联合考试(数学文)


NO.01

东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连

第一次联合考试

2008 年长春高中毕业第二次调研测试 文科数学
第I卷 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上) 1.设集合 M = {x x >

1}, P = x x 2 > 1 ,则下列关系中正确的是 A.M=P B. M ∪ P = P C. M ∪ P = M D. M ∩ P = P

{

}

2.函数 f ( x ) = 1 ? 2 sin 2 2 x 的最小正周期是 A.

π
2

B. π

C .2 π

D.4 π

3.已知向量 a、b 满足 a = 2, b = 3 ,且 a ? b = 3 ,则 a 与 b 的夹角为
A.

π
4

B.

π
3

C.

π
6

D.

π
2

4. log 2 sin A.-4

π
12

+ log 2 cos
B.4

π
12

的值为
C .2
?1

D.-2

5.若函数 f ( x ) 的反函数 f A.-1 B.1

(x ) = 1 + x 2 (x < 0) ,则 f (2) 的值为
C.1 或-1 D .5

6.设 α、β 是两个平面, l、m 是两条直线,下列命题中,可以判断 α ∥ β 的是 A. l ? α , m ? α , 且l ∥ β ,m∥ β C.l∥ α ,m∥ β ,且 l∥m B. l ? α , m ? β , 且l ∥m D. l ⊥ α , m ⊥ β , 且 l∥m

7.直线 y = ? 3 (x ? 2 ) 截圆 x 2 + y 2 = 4 所得的劣弧所对的圆心角为

A.

π
3

B.

π
6

C.

2π 3

D.

5π 3

?x ? 2 ≤ 0 ? 8.已知点 P( x, y ) 在不等式组 ? y ? 1 ≤ 0 表示的平面区域内运动,则 z = x ? y 的取值范围 ?x + 2 y ? 2 ≥ 0 ?

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A. [? 2,?1]

B. [? 2,1]

C. [? 1,2]

D. [1,2]

x2 9. F1 , F2 为双曲线 设 ? y 2 = 1 的两个焦点, P 在双曲线上, 点 且满足 PF1 ? PF2 = 0 , ?F1 PF2 则 4 的面积是 A.2 B.1 C.
5 2 D. 3 2

10.设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是 A. a ? b ≤ a ? c + b ? c
B. a 2 +
1 1 ≥a+ 2 a a

C. a + 3 ? a + 1 < a + 2 ? a D. a ? b + 1 ≥2 a?b

11.在抽查产品的尺寸过程中,将尺寸分成若干组, [a, b ) 是其中的一组,抽查出的个体在该

组上的频率为 m,该组上的直方图的高为 h,则 a ? b =
A.hm B. h m C. m h D. h + m

12 .我们把使得 f ( x ) = 0 的实数 x 叫做函数 y = f ( x ) 的零点,对于区间 [a, b] 上的连续函数

y = f ( x ) , f (a ) ? f (b ) < 0 , 若 那么函数 y = f ( x ) 在区间 (a, b ) 内有零点, 则函数 f ( x ) = lg x ?
零点所在的区间应是 A. 1,2) ( B. 2,3) ( 第 II 卷 二.填空题
? x2 1 ? 13. ? + ? 的展开式中常数项为 ? 2 x? ? ?
6

2 的 x

C. 3,4) (

D. 4,5) (



?log 3 x, ( x > 0) ? ? 1 ?? 14.已知函数 f ( x ) = ? x ,则f ? f ? ?? = ? ? 9 ?? ?2 , ( x ≤ 0 )



15.四面体 ABCD 中,共顶点 A 的三条棱两两相互垂直,且其长分别为 1、 6、 ,若四面体的 3

四个顶点同在一个球面上,则这个球的表面积为
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16.过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,则 三.解答题 17. (本小题满分 12 分)

1 1 + = AF BF



在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,C=2A, cos A = (1)求 cos C , cos B 的值;

3 , 4

27 ,求边 AC 的长。 2 18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人进行某项对抗性游戏,采用“七局四胜”制,即先赢四局者为胜,若甲、乙两人 水平相当,且已知甲先赢了前两局,求: (1)乙取胜的概率; (2)比赛进行完七局的概率。 (本小题满分 12 分) 19. 如图,三棱锥 P-ABC 中,PC⊥平面 ABC, PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一点, 且 CD⊥平面 PAB。 (1)求证:AB⊥平面 PCB (2)求二面角 C-PA-B 的大小。 20. (本小题满分 12 分)

(2)若 BA ? BC =

已知数列 {a n } 是等差数列, a1 = 2, a1 + a 2 + a3 = 12 (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)令 bn = 3 an ,求数列 {bn }的前 n 项和 Sn.
21. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2 的图象经过点 M 1,4) 曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x + 9 y = 0 ( , 垂直。 (1)求实数 a、b 的值; (2)若函数 f ( x ) 在区间 [m, m + 1] 上单调递增,求 m 的取值范围。 (本小题满分 14 分) 22. 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上, 长轴 A1A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M,

MA1 = 2 A1 F1 。
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(1)求椭圆的标准方程; (2)过点 M 的直线 l ' 与椭圆交于 C、D 两点,若 OC ? OD = 0 , 求直线 l ' 的方程。 参考答案 一.选择题 1 .B 2 .A 3 .B 4 .D 5 .A 6 .D 7 .A 8 .C 9 .B 10.D 11.C 12.C 二.填空题 15 13. 4 1 14. 4 15. 16π 16.1 三.解答题:满分 74 分 17.本小题考查和解倍角公式以及正弦、余弦定理 9 1 解: 1) cos C = cos 2 A = 2 cos 2 A ? 1 = 2 × ? 1 = ( 16 8
1 3 7 3 7 由 cos C = , 得 sin C = ;由 cos A = , 得 sin A = 8 8 4 4 ∴ cos B = ? cos( A + C ) = sin A sin C ? cos A cos C = (2) BA ? BC = 27 27 ,∴ ac cos B = ,∴ ac = 24 2 2 a c 3 又 = , C = 2 A,∴ c = 2a cos A = a sin A sin C 2 由①②解得 a=4,c=6
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7 3 7 3 1 9 × ? × = 4 8 4 8 16 ① ②

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∴ b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B = 16 + 36 ? 48 ×
∴b = 5 ,即 AC 边的长为 5. 18.解(1)乙取胜有两种情况

9 = 25 16

1 ?1? 一是乙连胜四局,其概率 P1 = ? ? = 16 ?2?

4

二是第三局到第六局中乙胜三局,第七局乙胜,
?1? ? 1? 1 1 其概率 P2 = C ? ? ?1 ? ? ? = , ?2? ? 2? 2 8
3 4 3

3 16 (2)比赛进行完 7 局有两种情况。 一是甲胜,第 3 局到第 6 局中甲胜一局,第 7 局甲胜

所以乙胜概率为 P1 + P2 =

1? 1 1 1 1 ? 其概率 P3 = C 4 ? ? ?1 ? ? ? = 2 ? 2? 2 8

3

二是乙胜,同(1)中第二种情况, P4 = P2 = 所以比赛进行完 7 局的概率为 P3 + P4 =
1 4

1 8

19.解(1)∵ PC ⊥ 平面ABC,AB ? 平面ABC

∴ PC ⊥ AB
∵ CD ⊥ 平面PAB,AB ? 平面PAB

∴ CD ⊥ AB
又PC ∩ CD=C

∴ AB ⊥ 平面PCB
(2)解法一: 取 AP 的中点 E,连续 CE、DE

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∵ PC = AC = 2,∴ CE ⊥ PA, CE = 2. ∵ CD ⊥ 平面PAB, 由三垂线定理的逆定理,得DE ⊥ PA。 ∴ ∠CED为二面角C-PA-B的平面角 由( )AB ⊥ 平面PCB, AB ⊥ BC, 1 ∴ 又 ∵ AB=BC,AC=2,求得BC= 2 在Rt?PCB中,PB= PC 2+BC 2 = 6 PC ? BC 2 × 2 2 = = PB 6 3 CD 2 = 在Rt?CDE中, ∠CED = sin CE 6 CD= ∴ 二面角C-PA-B大小为 arcsin
(2)解法二:

6 3

∵ AB ⊥ BC , AB ⊥ 平面PBC,过点B作直线l PA,则l ⊥ AB,⊥ BC, l 以BC、BA、l所在直线为x、y、z轴建立窨直角坐标系(如图)

设平面PAB的法向量为m = ( x, y, z ), A 0, 2 ,0 , P 2 ,0,2 , C 2 ,0,0
∴ BA = 0, 2 ,0 , AP =

(

) (

) (

)

(

)

(

2 ,? 2 ,2 ,

)

? BA ? m = 0 ?- 2 y = 0, ? ? 则?  即? ? 2 x ? 2 y + 2 z = 0. ? AP ? m = 0 ? ? ?y = 0 解得? ?x = ? 2 z 令z = ?1,得m =

设平面PAC的法向量n = (x1 , y1 , z1 ) CP = (0,0,2 ), AC =

(

2 ,0,?1

)

(

2 , ? 2 ,0

)

?CP ? n = 0 ?2 z1 = 0, ? 则?  即? ? AC ? n = 0 ? 2 x1 ? 2 y1 = 0. ? ?z = 0 解得? 1 令x1 = 1, 得n = (1,1,0 ) ? x1 = y1

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∴ cos < m, n >=

m?n m?n

=

2 3× 2

=

3 3 3 3

所以二面角C-PA-B大小为 arccos
20.解(1)∵ 数列{a n }是等差数列
由a1 + a 2 + a 3 = 12, 得  2 = 12,∴ a 2 = 4 3a 又a1 = 2,∴ 公差d = a 2 ? a1 = 4 ? 2 = 2, 所以数列{a n } 的通项公式为a n = 2n (2)

bn = 3 2 n = 9 n ,

所以数列{bn }是首项为9,公比q = 9的等比数列, 数列{bn } 的前n项和S n = 9 1 ? 9n 9 = 9n ?1 1? 9 8

bn +1 9 n+1 = n = 9, bn 9

(

)

(

)

21.解: (1) ∵ f (x ) = ax 3 + bx 2的图象经过点M (1,4 )

∴ a + b = 4。
2

f ( x ) = 3ax + 2bx, 则f ' (1) = 3a + 2b



? 1? 由条件f ' (1) ? ? ? ? = ?1, 即3a + 2b = 9 ② ? 9? 由①②解得 a=1,b=3 (2)
令f ' ( x ) = 3 x 2 + 6 x ≥ 0, 解得x ≥ 0或x ≤ ?2 f (x ) = x 3 + 3x 2 , f ' (x ) = 3x 2 + 6 x

因为函数f ( x )在区间[m, m + 1]上单调递增, 则[m, m + 1] ? (? ∞,?2] ∪ [0,+∞ )

经检验知函数f ( x )的单调递增区间是(-∞,-2]和[0,+∞ )

∴ m ≥ 0或m + 1 ≤ -2, ∴ m ≥ 0或m ≤ ?3为所求m的取值范围
22. (1) 设椭圆的议程为 x2 y2 + = 1(a > b > 0 ), 半焦距为 c a 2 b2

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a2 ? a, A1 F1 = a ? c. c ?a2 ? ? a = 2(a ? c ), ?c ? 由题意,得?2a = 4 ? ? 2 ?a = b 2 + c 2 ? 则 MA1 = ∴ a = 2, b = 3 , c = 1 故所求椭圆方程为 x2 y 2 + =1 4 3

(2)点 M 的坐标为 M(-4,0) ,设 C、D 两点坐标分别为 C ( x1 , y1 ), D( x 2 , y 2 ), l ' 的方程为

y = k ( x + 4) ,代入椭圆议程整理,得

(3 + 4k )x
2

2

+ 32k 2 x + 64k 2 ? 12 = 0 32 k 64k ? 12 , x1 x 2 = 2 3 + 4k 3 + 4k 2
2 2



则x1 + x 2 = ?




由OC ? OD = 0得x1 x 2 + y1 y 2 = 0
2

又y1 y 2 = k [x1 x 2 + 4( x1 + x 2 ) + 16]


2 2 2

由②③④得 1 + k 2 解得 k 2 =
3 25

(

? 32 ) 64k 4? 12 + 4k (3 + 4k ) + 16k 3+ k k
2 2 2

=0

代入①中检验有 ? > 0,∴ k = ±

3 , 5 3 (x + 4) 5

所以所求直线 l’的议程为 y = ±

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