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江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:直线与圆

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江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编

直线与圆
一、填空题 1 、 ( 常 州 市 2016 届 高 三 上 期 末 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 已 知 圆 O :

x2 ? y2 ? 1, O1 : ( x ? 4)2 ? y2 ? 4 ,动点 P 在直线 x ? 3 y

? b ? 0 上,过 P 分别作圆 O,O1 的切线,
切点分别为 AB,若满足 PB=2PA 的点 P 有且只有两个,则实数 b 的取值范围是 2、(淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末)已知 A(0,1) , B(1,0) , C (t ,0) ,点

D 是直线 AC 上的动点,若 AD ? 2 BD 恒成立,则最小正整数 t 的值为
3、 (南京、盐城市 2016 届高三上期末)过点 P(?4, 0) 的直线 l 与圆 C : ( x ?1)2 ? y 2 ? 5 相交于 A, B 两点,若点 A 恰好是线段 PB 的中点,则直线 l 的方程为 ▲ 4、(南通市海安县 2016 届高三上期末)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P (?1,0) ,Q(2 , 1) ,直线 l: ax ? by ? c ? 0 其中实数 a,b,c 成等差数列,若点 P 在直线 l 上的射影为 H, 则线段 QH 的取值范围是 ;

5、 (苏州市 2016 届高三上期末)若直线 l1 : y ? x ? a 和直线 l2 : y ? x ? b 将圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 分 成长度相等的四段弧,则 a 2 ? b 2 = ▲

6、 (泰州市 2016 届高三第一次模拟)已知直线 y ? kx(k ? 0) 与圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,若 AB ?

2 5 ,则 k ? 5


2 2

7、 (无锡市 2016 届高三上期末)已知圆 C : ( x ? 2) ? y ? 4 ,线段 EF 在直线 l : y ? x ? 1 上运动, 点 P 为线段 EF 上任意一点,若圆 C 上存在两点 A、B,使得 PA ? PB ? 0 ,则线段 EF 长度的最大值 是 8、(扬州市 2016 届高三上期末)已知圆 O: x ? y ? 4 ,若不过原点 O 的直线 l 与圆 O 交于 P 、
2 2

??? ? ??? ?

Q 两点,且满足直线 OP 、 PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列,则直线 l 的斜率为
9、(南通市如东县 2016 届高三上期末)



.

填空题答案 1、 ?-

? ?

20 ? ,4 ? 3 ?

2、4

3、 x ? 3 y ? 4 ? 0

4、 [ 2,3 2]

5、18

6、

1 2

7、 14

8、 ?1

9、[-2 5,2 5]

二、解答题 1、(淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末)如图, OA 是南北方向的一条公路,

OB 是北偏东 450 方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线 C .为方便游客光,拟过曲线 C 上
的某点分别修建与公路 OA , OB 垂直的两条道路 PM , PN ,且 PM , PN 的造价分别为 5 万元/百米,

40 万元/百米,建立如图所示的直角坐标系 xoy ,则曲线符合函数

y A M P N O x B

y? x?

4 2 (1 ? x ? 9) 模型,设 PM ? x ,修建两条道路 PM , PN x2

的总造价为 f ( x) 万元,题中所涉及的长度单位均为百米. (1)求 f ( x) 解析式; (2)当 x 为多少时,总造价 f ( x) 最低?并求出最低造价.

2、 (南京、盐城市 2016 届高三上期末)如图所示, A, B 是两个垃圾中转站, B 在 A 的正东方向 16 千米处, AB 的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾,政府决定在 AB 的北面建一个垃圾 发电厂 P . 垃圾发电厂 P 的选址拟满足以下两个要求( A, B, P 可看成三个点):①垃圾发电厂 到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比,比例系数相同;②垃圾发电厂 应尽量远离居民区(这里参考的指标是点 P 到直线 AB 的距离要尽可能大). 现估测得 A, B 两 个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为 30 吨和 50 吨,问垃圾发电厂该如何选址才能同时满 足上述要求?



· A

居民生活区 第 17 题图

· B

3、(苏州市 2016 届高三上期末)图 1 是一段半圆柱形水渠的直观图,其横断面如图 2 所示,其中 C 为半圆弧 ? ACB 的中点,渠宽 AB 为 2 米. (1)当渠中水深 CD 为 0.4 米时,求水面的宽度; (2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠,且使渠的底面与地面平行, 则当改挖后的水渠底宽为多少时,所挖出的土量最少?

解答题答案 1、(1)在直角坐标系中,因为曲线 C 的方程为 y =x + 所以点 P 坐标为 ? x, x ?

4 2 ?1 ≤ x ≤ 9 ? , PM ? x x2

? ? ?

4 2? ?, x2 ? ?

直线 OB 的方程为 x ? y ? 0 , ……………………………………………………2 分

? 4 2? 4 2 x ??x ? 2 ? x x2 4 ? ? 则点 P 到直线 x ? y ? 0 的距离为 ? ? 2 ,………………4 分 x 2 2
又 PM 的造价为 5 万元/百米,PN 的造价为 40 万元/百米. 则两条道路总造价为 f ( x) ? 5 x ? 40 ?

4 32 ? ? ? 5 ? x ? 2 ? ?1 ≤ x ≤ 9 ? . …………8 分 x2 x ? ?

(2) 因为 f ( x) ? 5 x ? 40 ?

4 32 ? ? ? 5? x ? 2 ? , 2 x x ? ?
………………………10 分

3 ? 64 ? 5( x ? 64) 所以 f ?( x)=5 ?1 ? 3 ? ? , x ? x3 ?

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 4 ,列表如下:

x
f ?( x)
f ( x)

( 1, 4 )

4
0

( 4,9 )

?
单调递减

?
单调递增

极小值

32 ? ? 所以当 x ? 4 时,函数 f ( x) 有最小值,最小值为 f ? 4 ? ? 5 ? 4 ? 2 ? ? 30 .……13 分 4 ? ? 32 ? ? 答:(1)两条道路 PM ,PN 总造价 f ( x) 为 f ( x) ? 5 ? x ? 2 ? ?1≤ x ≤ 9 ? ; x ? ?
(2)当 x ? 4 时,总造价最低,最低造价为 30 万元. ……………………14 分

32 ? ? ? x x 32 ? (注:利用三次均值不等式 f ( x) ? 5 ? x ? 2 ? ? 5 ? ? ? 2 ? ≥ 5 ? 3 3 8 ? 30 , x ? ? ?2 2 x ?
当且仅当

x x 32 ? ? ,即 x ? 4 时等号成立,照样给分.) 2 2 x2

2、解法一:由条件①,得

PA 50 5 ? ? . PB 30 3

..............2 分

设 PA ? 5x, PB ? 3x ,则 cos ?PAB ?

(5 x)2 ? 162 ? (3x) 2 x 8 ? ? , 2 ?16 ? 5 x 10 5 x

..............6 分

所以点 P 到直线 AB 的距离 h ? PA sin ?PAB ? 5 x ? 1 ? (

x 8 2 1 ? ) ? ? x 4 ? 17 x2 ? 64 10 5 x 4
...............10 分

1 ? ? ( x 2 ? 34)2 ? 225 , 4
所以当 x ? 34 ,即 x ? 34 时, h 取得最大值 15 千米.
2

即选址应满足 PA ? 5 34 千米, PB ? 3 34 千米.

...........14 分 .......2 分 y P

解法二:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系. 则 A(?8, 0), B(8, 0) .

PA 50 5 ? ? . 由条件①,得 PB 30 3

...............4 分

2 2 2 2 设 P( x, y )( y ? 0) ,则 3 ( x ? 8) ? y ? 5 ( x ? 8) ? y ,

· A
...............10 分

O

· B

x

化简得, ( x ?17) ? y ? 15 ( y ? 0) ,
2 2 2

即点 P 的轨迹是以点( 17, 0 )为圆心、 15 为半径的圆位于 x 轴上方的半圆. 则当 x ? 17 时,点 P 到直线 AB 的距离最大,最大值为 15 千米. 所以点 P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为 (17,15) 即可. ............14 分

3、解:(1)以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系 xOy, 因为 AB=2 米,所以半圆的半径为 1 米, 则半圆的方程为 x2 ? y 2 ? 1(?1≤ x≤1, y ≤0) . 因为水深 CD=0.4 米,所以 OD=0.6 米, 在 Rt△ODM 中, DM ? OM 2 ? OD2 ? 1 ? 0.62 ? 0.8 (米). ………………………5 分 所以 MN=2DM=1.6 米,故沟中水面宽为 1.6 米. (2)为使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与半 圆相切,设切点为 P(cos? ,sin ? )(? ………………………6 分 ………………………3 分

? ? ? ? 0) 是圆弧 BC 2
A O D C

y B M P F E x N

上的一点,过 P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形 OCFE , 得 切 线 EF 的 方 程 为 x cos? ? y sin ? ? 1 . ……………………8 分 令 y=0, 得 E(

1

o s c ?

0 ) ,

, 令 y=-1, 得 F( OCFE

1n ? i s ? ,) 1? . o s c ?
S , 则

设 直 角 梯 形

的 面 积 为

S ?( C ? F
(?

? ……………………10 分 ? ? ? 0 ). 2 cos? cos? ? (2 ? sin ? )(? sin ? ) 1 ? 2sin ? ? ,令 S ? ? 0 ,解得 ? ? ? , S? ? ? 2 2 cos ? cos ? 6 ? ? 当 ? ? ? ? ? 时, S ? ? 0 ,函数单调递减; 2 6 ? 当 ? ? ? ? 0 时, S ? ? 0 ,函数单调递增. ………………………12 分 6 ? 所以 ? ? ? 时,面积 S 取得最小值,最小值为 3 . 6 ? 1 ? sin(? ) 6 ? 3 ,即当渠底宽为 2 3 米时,所挖的土最少. ……………14 分 此时 CF ? ? 3 3 cos(? ) 6

1 1 ? s ?i n ? ? 2 s i n O ?) E ? O( C ? ? ) ? 1 c o? s ? c o s ? c o s


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