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2011年深圳市高三第二次调研考试(文数)


绝密★启用前

试卷类型:A

2011 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(文科) 2011.4

本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是 否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答

题卡指定位置填写自己的学校、 姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码 区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的, 答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来 的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案 无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错 涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式: 若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V ?

1 Sh . 3

一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 U ? {1 , 2 , 3 , 4 , 5} , A ? {1 , 2} , B ? {2 , 3 , 4} ,则 A. {2} B. {5} C. {1 , 2 , 3 , 4}

U

( A ? B) 等于

D. {1 , 3 , 4 , 5}

2.复数 z ? i (1 ? i ) ( i 为虚数单位)的模等于 A. 1 B.

2

C. 0

D. 2

3.在△ ABC中,已知 a ,b ,c 分别为 ?A ,?B ,?C 所对的边,且 a ? 4 ,b ? 4 3 ,

?A ? 30? ,则 ?B 等于
A. 30
0

B. 30 或 150

0

0

C. 60

0

D. 60 或 120

0

0

1

4.已知向量 a ? (1 , 1) , b ? (2 , n) ,若 a ? b ,则 n 等于 A. ? 3 B. ?2 C. 1 D. 2

5. 曲线 y ? 2 x ? ln x 在点 (1 , 2) 处的切线方程为 A. y ? ? x ? 1 B. y ? ? x ? 3 C. y ? x ? 1 D. y ? x ? 1

6.已知图 1、图 2 分别表示 A 、 B 两城市某月 1 日至 6 日当天最低气温的数据折线图(其 中横轴 n 表示日期,纵轴 x 表示气温), A 、B 两城市这 6 天的最低气温平均数分别 记 为 x A 和 x B ,标准差分别为 s A 和 s B .则 A. x A ? xB , s A ? sB C. x A ? xB , s A ? sB
x
15 10 5

B. x A ? xB , s A ? sB D. x A ? xB , s A ? sB
x
15 10 5

x2 y2 图2 图 :方程 ? ? 1 表示双曲线.则 p 是 q 的 7.已知 p : k ? 3 ; q 1 3 ? k k ?1
A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件
正(主)视图

O

2

4

6

n

O

2

4

6

n

8.如右图,已知一个锥体的正(主)视图,侧(左)视图和 俯视图均为直角三角形,且面积分别为 3,4,6,则该锥 体的体积为 A. 24 B. 8 C. 12 D. 4

侧(左)视图

俯视图

9.因为某种产品的两种原料相继提价,所以生产者决定对产品分两次提价,现在有三种提 价方案: 方案甲:第一次提价 p % ,第二次提价 q % ; 方案乙:第一次提价 q % ,第二次提价 p % ; 方案丙:第一次提价

p?q p?q % ,第二次提价 %, 2 2

其中 p ? q ? 0 ,比较上述三种方案,提价最多的是

2

A.甲

B.乙

C.丙

D.一样多

10.先后抛掷一枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1, 2,3, 4,5, 6 ) , 所得向上点数分别为 m 和 n , 则函数 y ? 概率是 A.

1 3 1 mx ? nx ? 2011 在 [1 , ? ?) 上为增函数的 3 2
C.

2 3

B.

3 4

5 6

D.

7 9

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为必做题和选做题两部 分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答.

? x?0 ? 11.已知点 ( x , y ) 满足 ? y ? 0 ,则 u ? y ? x 的取值范围是 ?x ? y ? 1 ?
12.定义 a * b ? ?



?a , a ? b , 0.3 3 已知 a ? 3 , b ? 0.3 , c ? log 0.3 ,则 (a * b) * c ? 3 ?b , a ? b .



(结果用 a , b , c 表示) 13.如图 1 是一个边长为 1 的正三角形,分别连接这个三角形三边中点,将原三角形剖分成 4 个三角形(如图 2) ,再分别连接图 2 中一个小三角形三边的中点,又可将原三角形剖 分成 7 个三角形(如图 3) ,?,依此类推.设第 n 个图中原三角形被剖分成 an 个三角 形,则第 4 个图中最小三角形的边长为 ; a100 ? .

? ? 图1 图2 图3

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的 得分. 14. (极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中, 曲线 ? ? 4cos? 与 ? cos? ? 4 的交点为 A , 点 M 坐标为 ? 2 , ? ,则线段 AM 的长为 15. (几何证明选讲选做题)如图,直角三角形 ABC中, ?B ? 90?, AB ? 4 ,以 BC 为直径的圆交 AC 边于 点 D , AD ? 2 ,则 ?C 的大小为 .

? ?

?? 3?

.

A

D

B

C

3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin

x x ? x cos ? ? cos 2 ? sin 2 2 2 ? 2

x? ?. 2?

(1)求函数 f (x ) 的最大值并求出此时 x 的值; (2)若 f ( x ) ? 0 ,求

sin x ? cos( ? ? x) 的值. ? sin x ? sin( ? x) 2

17. (本小题满分 12 分) 某校高三(1)班共有 40 名学生,他们每天自主学习的时间全部在 180 分钟到 330 分钟 之间,按他们学习时间的长短分 5 个组统计得到如下频率分布表: 分组 [180 , 210) [210 , 240) [240 , 270) [270 , 300) [300 , 330) 频数 频率

4

0.1

8
12

s
0.3

10

0.25
t

n

(1)求分布表中 s , t 的值; (2) 某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性, 需要在这 40 名学生中 按时间用分层抽样的方法抽取 20 名学生进行研究,问应抽取多少名第一组的学生? (3)已知第一组的学生中男、女生均为 2 人.在(2)的条件下抽取第一组的学生,求既 有男生又有女生被抽中的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD中, AB// CD , AB ? AD ,且 AB ? AD ?

1 CD ? 1 . 2

现以 AD 为一边向形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面 ADEF 与平面 ABCD垂直, M 为 ED 的中点,如图 2. (1)求证: AM ∥平面 BEC ; (2)求证: BC ? 平面 BDE ; D C E (3)求点 D 到平面 BEC 的距离.

F

A

B

图 E 1
M F D
4

C

A

图2

B

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的两焦点为 F1 (?1 , 0) , F2 (1 , 0) ,并且经过点 M ?1 , (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : mx ? ny ? 1 ,证明当点 P?m , n? 在椭圆 C 上运 动时,直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围.

? ?

3? ?. 2?

20.(本小题满分 14 分) 执行下面框图所描述的算法程序,记输出的一列数依次为 a1 , a 2 ,?, a n , n ? N * , (注:框图中的赋值符号“ ? ”也可以写成“ ? ”或“: ? ” ) n ? 2011. (1)若输入 ? ?

2 ,写出输出结果;
1 ,证明 {bn }是等差数列,并写出数列 {an} 的通项公 an ? 1

(2)若输入 ?=2 ,令 bn ? 式; (3)若输入 ? ? 求证: T ?

2an ? 1 5 ,令 cn ? , T ? c1 ? 2c2 ? 3c3 ? ?? 2011 2011. c 2 an ? 2
开始

8 . 9

输入 ? 的值

i ? 1, a ? 0

a?

1 ??a

i ? 2011且 a ? ? ?




结束

i ? i ?1

输出 a

21.(本小题满分 14 分) 已 知 函数 f ( x) ? ex ( e 为 自然 对 数的 底 数) g ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? ? a ? ,

x? R , a ? 0 .
(1)判断函数 g (x) 的奇偶性,并说明理由;

? ?

1? ?x , a?

5

(2)求函数 g (x) 的单调递增区间; (3)证明:对任意实数 x1 和 x2 ,且 x1 ? x2 ,都有不等式

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. )? ? 2 x1 ? x2 2

数学(文科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 B 2 B 3 D 4 B 5 C 6 C 7 A 8 D 9 C 10 C

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 11. [?1,1] . 12. c . 13.

1 ; 298 . 8

14. 2 3 .

15. 30 .

?

说明:第 13 题第一空 2 分,第二空 3 分. 三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin

x x x x cos ? (cos2 ? sin 2 ). 2 2 2 2

(1)求函数 f (x ) 的最大值并求出此时 x 的值;

sin x ? cos(π ? x ) 的值. π sin x ? sin( ? x) 2 x x x π 2 x 解: (1) f ( x) ? 2 3 sin cos ? (cos ? sin 2 ) ? 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) 2 2 2 2 6
(2)若 f ( x ) ? 0 ,求 ????2 分 当x?

π π 2π ? 2kπ+ , k ?Z ,即 x ? 2kπ+ , k ?Z 时, f ( x) 取得最大值为 2 . 6 2 3
????6 分

(2)令 f ( x) ? 0 时,得 tan x ?

3 . 3

????8 分

6

?

sin x ? cos(? ? x) sin x ? sin( ? x) 2

?

?

sin x ? cos x tan x ? 1 ? ? 3 ? 2. sin x ? cos x tan x ? 1

????12 分

17. (本小题满分 12 分) 某校高三(1)班共有 40 名学生,他们每天自主学习的时间全部在 180 分钟到 330 分钟之间,按他们学习时间的长短分 5 个组统计得到如下频率分布表: 分组 [180,210) [210,240) [240,270) [270,300) [300,330) 频数 频率

4 8 12 10

0.1 s 0.3 0.25
t

n

( 1 )求分布表中 s , t 的值; (2) 某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性, 需要在这 40 名学生中 按时间用分层抽样的方法抽取 20 名学生进行研究,问应抽取多少名第一组的学生? (3)已知第一组的学生中男、女生均为 2 人.在(2)的条件下抽取第一组的学生,求既 有男生又有女生被抽中的概率. 解: (1) s ?

8 ? 0.2 , t ? 1? 0.1? s ? 0.3 ? 0.25 ? 0.15 .???????????4 分 40 x 20 (2)设应抽取 x 名第一组的学生,则 ? ,得 x ? 2. 4 40 故应抽取 2 名第一组的学生. ???????????6 分 (3)在(II)的条件下应抽取 2 名第一组的学生.
记第一组中 2 名男生为 a1 , a2 , 2 名女生为 b1 , b2 . 按时间用分层抽样的方法抽取 2 名第一组的学生共有 6 种等可能的结果,列举如下:

a1a2 , a1b1, a1b2 , a2b1, a2b2 , bb2 . 1

???????????9 分

其中既有男生又有女生被抽中的有 a1b1, a1b2 , a2b1, a2b2 这 4 种结果, ??????10 分 所以既有男生又有女生被抽中的概率为 P ? 18.(本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD中, AB// CD , AB ? AD ,且 AB ? AD ?

4 2 ? . 6 3

??????????12 分

1 CD ? 1 . 2

现以 AD 为一边向形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面 ADEF 与平面 ABCD垂直, M 为 ED 的中点,如图 2. (1)求证: AM ∥平面 BEC ; (2)求证: BC ? 平面 BDE ; (3)求点 D 到平面 BEC 的距离.
E
E M

D

C

F

M D C B

F

A

B

7

A

图1

图2

(1)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN , BN . 在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点, 所以 MN ∥ CD ,且 MN ? 由已知 AB ∥ CD , AB ? 所
E F M D G N C

1 CD . 2

B 以 , 且 A MN ??????????3 分 M ?N . A B 所以四边形 ABNM为平行四边形. 所以 BN ∥ AM . ??????????4 分 又因为 BN ? 平面 BEC ,且 AM ? 平面 BEC , 所以 AM ∥平面 BEC . ?????????5 分 (2)证明:在正方形 ADEF 中, ED ? AD . 又因为平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD , 所以 ED ? 平面 ABCD . 所以 ED ? BC . ?????????7 分

1 CD , 2 AB ∥

在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 1 , CD ? 2 ,可得 BC ? 在△ BCD 中, BD ? BC ? 所以 BD ? BC ? CD . 所以 BC ? BD .
2 2 2

2.

2 , CD ? 2 ,
??????????8 分

所以 BC ? 平面 BDE . ??????????10 分 (3)解法一:由(2)知, BC ? 平面 BDE 又因为 BC ? 平面 BCE , 所以平面 BDE ? 平面 BEC . ????????11 分 过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G ,则 DG ? 平面 BEC 所以点 D 到平面 BEC 的距离等于线段 DG 的长度 ?????????12 分 在直角三角形 BDE 中, S ?BDE ? 所以 DG ?

1 1 BD ? DE ? BE ? DG 2 2

BD ? DE ? BE

2 3

?

6 3
?????????14 分

6 . 3 解法二:由(2)知, BC ? BE , BC ? BD 1 1 所以 S ?BCD ? BD ? BC ? ? 2 ? 2 ? 1, 2 2
所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

S ?BCE ?

1 1 6 BE ? BC ? ? 2 ? 3 ? . 2 2 2

?????????12 分

又 VE ?BCD ? VD?BCE ,设点 D 到平面 BEC 的距离为 h. 则

1 1 S ?BCD ? DE ? ? S?BCE ? h 3 3

8

所以

h?

S ?BCD ? DE 1 6 ? ? S ?BCE 3 6 2
6 . 3
?????????14 分

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于 19. (本小题满分 14 分)

已知椭圆 C 的两焦点为 F1 (?1 , 0) , F2 (1 , 0) ,并且经过点 M ?1 , (1)求椭圆 C 的方程;

? ?

3? ?. 2?

(2)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : mx ? ny ? 1 ,证明当点 P?m , n? 在椭圆 C 上运 动时,直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围. 解:(1)解法一:设椭圆 C 的标准方程为 由椭圆的定义知:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

?3 ? 2a ? ?1 ? 1? ? ? ? 0 ? ? ?2 ?
2

2

3 ?1 ? 1? ? ? ? 0 ? ? 4 , c ? 1 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? ? ?2 ?
2

2



a ? 2, b ? 3

故 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2
2

...............4 分

解法二:设椭圆 C 的标准方程为

?3? ? ? 2 1 ? 3? ? 2 ? ? 1② 2 2 依题意, a ? b ? 1 ①, 将点 M ?1, ? 坐标代入得 2 ? a b2 ? 2?
由①②解得 a 2 ? 4, b 2 ? 3 , C 的方程为 故

x2 y2 ? ? 1. 4 3

...............4 分

(2)因为点 P?m, n ? 在椭圆 C 上运动,所以

m2 n2 m2 n2 ? ? 1 ,则 m 2 ? n 2 ? ? ?1, 4 3 4 3

从而圆心 O 到直线 l : mx ? ny ? 1的距离 d ? 所以直线 l 与圆 O 相交. 直线 l 被圆 O 所截的弦长为

1 m2 ? n 2

?1? r ,
............... 8 分

9

L ? 2 1? d 2 ? 2 1?

1 ? 2 1? m ? n2
2

1 ? m2 m 2 ? 3?1 ? ? 4 ?

? ? ? ?

? 2 1?

1 1 2 m ?3 4
...............10 分

? 0 ? m2 ? 4?3 ?

1 2 1 1 1 m ? 3 ? 4, ? ? , 4 4 1 2 3 m ?3 4
...............14 分

?

2 6 ?L? 3. 3

20.(本小题满分 14 分) 执行下面框图所描述的算法程序,记输出的一列数依次为 a1 , a 2 ,?, a n , n ? N * , (注:框图中的赋值符号“ ? ”也可以写成“ ? ”或“: ? ” ) n ? 2011. (1)若输入 ? ?

2 ,写出输出结果;

1 ,证明 {bn } 是等差数列,并写出数列 {an} 的通项公式; an ? 1 2an ? 1 5 8 (3) 若输入 ? ? , cn ? 令 ,T ? c1 ? 2c2 ? 3c3 ? ?? 2011 2011. 求证:T ? . c 9 2 an ? 2
(2)若输入 ?=2 ,令 bn ? 开始

输入 ? 的值

i ? 1, a ? 0

a?

1 ??a

i ? 2011且 a ? ? ?




结束

i ? i ?1

输出 a

解:(1)输出结果为 0,

2 , 2. 2

??????4 分

(注:写对第一个数给 1 分,写对二个数得 2 分.)

10

(2)当 ?=2 时, bn ?1 ? bn ?

1 an ?1 ? 1

?

1 ? an ? 1

1 1 2 ? an

1 ? 1 an ? 1 ?

?

2 ? an 1 ? ?1 (常数) n ? N * , n ? 2010. , ? an ? 1 an ? 1
??????????6 分

所以, {bn }是首项 b1 ? ?1 ,公差 d ? ?1的等差数列. 故 bn ? ?n ,

1 1 . ? ?n ,数列 {an} 的通项公式为 a n ? 1 ? , n ? N * , n ? 2011 a n ?1 n
???????????9 分

(3)当 ?= 时, a n ?1 ?

cn?1 cn

5 ? an 2 2 ?1 5 ? an 2 1 ? 2 1 2a ? 1 2an?1 ? 1 5 ? n ? an a ?2 4 an ? 2 1 ? n?1 ? 2 ? ? , ???????????11 分 2a n ? 1 2a n ? 1 2a n ? 1 4 an ? 2 an ? 2 an ? 2
n ?1

5 2

1

, cn ?

2an ? 1 an ? 2

1 1 1?1? ? {cn } 是以 为首项, 为公比的等比数列. cn ? ? ? 2? 4? 2 4
2 3

?1? ? 2? ? ?4?

n

?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? c1 ? 2c2 ? 3c3 ??? n ? cn ? 2? ? ? 4? ? +6? ? +?+2n? ? ?4? ?4? ?4? ?4? 1 ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 2? ? ? 4? ? +6? ? +?+2n? ? 4 ?4? ?4? ?4? ?4?
2 2 3 4 n ?1

n

? 1? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 两式作差得 ?1 ? ?Tn ? 2? ? ? 2? ? ? 2? ? +2? ? +? ? 2? ? ? 2n? ? ? 4? ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? ?4?
n ? 1?? ? 1? ? 2 ? ? ? ?1 ? ? ? ? n ?1 n n ?1 ? 4?? ? 4? ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? ? 2 ?1 ? ? 1 ? ? ? 2n ? 1 ? 即 Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 4 3? ?4? ? ?4? ?4? ? ? 1? 4
n n ?1 n n ?1 8 ? ? 1 ? ? 8n ? 1 ? 8 8 ? 1 ? 8n ? 1 ? ?Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9? ?4? ? 3 ?4? 9 9?4? 3 ?4? ? ?

3

4

n

n ?1

11

???????????13 分 当 n ? 2011 时, T ?

8 8?1? ? ? ? 9 9?4?

2011

8 ?1? ? ? 2011? ? ? 3 ?4?

2012

?

8 9

????????14 分

21.(本小题满分 14 分) 已 知 函数 f ( x) ? ex ( e 为 自然 对 数的 底 数) g ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? ? a ? ,

x? R , a ? 0 .
(1)判断函数 g (x) 的奇偶性,并说明理由; (2)求函数 g (x) 的单调递增区间; (3)证明:对任意实数 x1 和 x2 ,且 x1 ? x2 ,都有不等式

? ?

1? ?x , a?

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. )? ? 2 x1 ? x2 2

解: (1)? 函数 g (x ) 的定义域为 R , 且 g (? x) ? f ( ? x) ? f ( x) ? ? a ? ∴ 函数 g (x) 是奇函数. 分 (2) g ?( x) ? e ? e
x ?x

? ?

1? ? 1? ? ? ? x ? ? ? f ( x) ? f ( ? x) ? ? a ? ? x ? ? ? g ( x) a? a? ? ? ?
??????2

1? ? 1? ? 1 ? ? ? ? a ? ? ? e ? x ?e 2 x ? ? a ? ? e x ? 1? ? e ? x (e x ? a)(e x ? ) a? a? a ? ? ? ?
??????3 分

当 a ? 1 时, g '( x) ? e? x (ex ?1)2 ? 0 且当且仅当 x ? 0 时成立等号,故 g ( x) 在 R 上递增; ??????4 分 当 0 ? a ? 1 时, a ?

1 1 x x ,令 g '( x) ? 0 得 e ? 或 e ? a , a a
??????5 分

故 g ( x) 的单调递增区间为 ( ??, ln a ) 或 (? ln a, ??) ; 当 a ? 1 时, a ?

1 1 x x ,令 g '( x) ? 0 得 e ? a 或 e ? , a a
??????6 分

故 g ( x) 的单调递增区间为 (??, ? ln a) 或 (ln a, ?? ) .

(3)不妨设 x1 ? x2 ,

12

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e )? ? 2 x1 ? x2 2
e
x1 ? x2 2

x1 ? x2 2

?

e x1 ? e x2 e x1 ? e x2 ? , x1 ? x2 2
??????7 分

?1?
令x?

?e x1 ? x2

x2 ? x1 2

?

e

x1 ? x2 2

?e 2

x2 ? x1 2

e x ? e? x e x ? e? x x1 ? x2 ? ? 0 ,则只需证 1 ? 2x 2 2

??????8 分

e x ? e? x 先证 1 ? , 由(2)知 g( x) ? e x ? e? x ? 2 x 在 R 上递增, 2x
∴ 当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0
x ?x ∴ e ? e ? 2 x ,从而由 x ? 0 知 1 ?

e x ? e? x 成立; 2x

??????10 分

再证

e x ? e? x e x ? e? x e x ? e? x ? ?x, ,即证: x 2x 2 e ? e? x e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? x ,则 h( x) ? 2 x ? x ? 1? 2x ? x 是减函数, x ?x e ?e e ?1 e ?1 e x ? e? x ? x 成立. e x ? e? x
??????13 分

令 h( x ) ?

∴当 x ? 0 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,从而

综上,对任意实数 x1 和 x2 ,且 x1 ? x2 ,都有不等式

f(


x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. )? ? 2 x1 ? x2 2

??????14

13


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