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2014届高考数学(文)一轮复习课件:第3章 第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式


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第2讲

同角三角函数的基本关系与诱导公式

第三章 第2讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第三章 第2讲

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1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, sinx =tanx. cosx π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2± α,π±α的正 弦、余弦、正切的诱导公式.

第三章 第2讲

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1个必背口诀 诱导公式的记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”. 2项必须注意 1. 在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注 意判断符号.

2. 利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的
三角函数为锐角三角函数,其原则:负化正、大化小、化到锐 角为终了.
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3种 会 法 必方 1. 弦 互 法 主 利 公 切化:要用式 2 . n 2 i s “ 1 ” 的活换: 灵代法 1=s n i n α i s a α=c α n t o s
2

θ+c o s

2

θ=(s θ+c θ)2- n i o s

π θc θ=t 4. o s a n 3. 和 转 法 利 积换:用 n i s ( θ±s c o θ)2=1i ± n 2 s θc θ,( o s n i s . θ+ θ-c θ)2=2的 系 进 变 、 化 o s 关,行形转

c θ)2+( o s n i s

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课前自主导学

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1. 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:________;

(2)商数关系:________.

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3 π 1 已 n θ= ,θ∈( ,π), ( 知i ) s 5 2 则tanθ=________. m-3 4-2m π (2)已知sinθ= ,cosθ= ( <θ<π)则tanθ= 2 m+5 m+5 ________. (3)已知sinα=5cosα,则sinα· cosα的值为________.

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2.三角函数的诱导公式

(1)三角函数的诱导公式
函数 角 α+2kπ(k∈Z) -α π+α π-α π 2-α π 2+α sinx sinα -sinα -sinα ______ cosα cosα cosx cosα ______ -cosα -cosα ______ ______
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tanx tanα -tanα ______ ______

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诱导公式的记忆方法与规律: ①记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”.(解释:公 π 式中的角可以表示为k· ± α(k∈Z)的形式,“奇 偶 ”是指k的 、 2 奇偶性;“符号”是指把任意角α看作是锐角(与α的大小无关 时原函数值的符号) ②可以分类记忆:函数名称“变与不变”,函数值的符号 “变与不变”.

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1 求s° ( ) n5 5 i8

的 为 ________. 值

π sin?2π-α?cos?2+α? π (2)已知f(α)= ,则f( )=________. π 3 cos?-2+α?tan?π+α? π 1 π (3)已知sin(α- )= ,则cos( +α)=________. 3 3 6

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n α i s n1 i. s α+c α=1 a α=c α o s n t o s 3 填一填:( -4 1 ) 5 π 2 2 2 -1 ( ) 提示:由s θ+c θ=1得m=0或8,由 2 <θ<π n i o s 2 n θ i s 5 知c θ<0,∴m=8,∴t θ= o s a n =- . c θ o s 1 2 5 n αc α i o s s a α n t 3 2 ( 6 提示:t α=5,s αc α= 2 ) a n n o i s 2 = n α+c α a 2α+1 i s o s n t 5 =2 . 6
2 2
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2.c α a α n α -t α n α -s α o s n t i s a n i s n i 填填 一: 2 . 2 1 π 1 2 2 提 : 化 f(α)=c α,∴f(3)=2. ( ) 示 简 o s 1 π π π π 3 - 3 提 : c 6 +α)=c 2 +(α-3 )]=-sin(α- 3 )= ( ) 示 o ( s o [ s 1 -3. 2 1 - ( ) 2 提 : n5 示 5° i8 s =s° n5 2 i2 = n° -4 i s 5 = -

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核心要点研究

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例1 22 [1 0· 则tanα=( A. -1 )

辽高 宁考

]已 n α-c α= 知i s o s

2 ,α∈(0,π),

2 B. - 2

2 C. 2 D. 1 [审题视点] 结合“s α-c α= n i o s

2 ”这一特征,再联想

平方关系式, 解题突破口就是求解关于“s α,c α”的方程 n i o s 组.
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[解 ] 析 = 1, 理 - 整得 1+2 n i s

将 式 n α-c α= 2 两 平 , 到 等 i s o s 边方得
2 2

n 2 i s

αc α o s

αc α=0?s o s n i

α+c o s

α+2 n i s

αc α=0?( o s n i s

α+

c α)2=0?s α+c α=0, o s n i o s 由s α-c α= 2和s α+c α=0, 得 n i o s n i o s 解 2 2 n α= 2 ,c α= 2 , i s o s - n α i s 故t α= a n = 1. - c α o s
[答案] A
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奇思妙想:本题条件变为“cosα+2sinα=- 不变,如何求解?
解 由c α+2 : o s n i s +4 n i s c o s 2 α=5,∴
2

5 ”,问题
2

α=- 5 , 边 方 两平得 α+4 αs α+4 c o s n i n i s c 2α+s 2α o s n i
2 2

c o s

α+4 c o s

αs α n i

α

=5,

1+4 α+4 a n t a n t 即 1+t 2α a n ∴t a n
2

α

=5.

α-4 a n t

α+4=0,

解 a α=2. 得n t
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(1)对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,

已知其中一个式子的值,其余二式的值可求.转化的公式为
(sinα±cosα)2 =1±2sinαcosα;(2)关于sinα,cosα的齐次式, 往往化为关于tanα的式子.

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[变 探 式究 1 c x=5. o s

] 22 [1 0·

宁石山模 夏嘴二

π ]已 - 2 <x<0,s x+ 知 n i

1 求s x-c x的 ; ( ) n i o s 值 1 2 求 2 ( ) c x-s o s n i
2

的. 值 x

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5 c o s

解:( 解法一:联立方程 1 ) 1 ? ?n x+c x= , ① i s o s 5 ? ?n 2x+co 2x=1, ② s s ?i 1 由①得s x= 5 -c x,将其代入②,整理得2s n i o s 5 c o x-1 =0 2 . 3 ? i s ?n x=-5, π ∵-2<x<0,∴? ?c x=4, o s 5 ? 7 ∴s x-c x=- . n i o s 5
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2

x-

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解二 法: ∴( n i s

1 ∵s x+c x= , n i o s 5
2

12 x+c x) =( ) , o s 5 1 xc x=25, o s

即1+2 n i s ∴2 n i s

24 xc x= 25. o s -

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∵( n i s

x-c x)2=s o s n i

2

x-2 n i s

xc x+c o s o s

2

x ①

=1-2 n i s

24 49 xc x=1+ = . o s 25 25

π 又∵- <x<0,∴s x<0,c x>0, n i o s 2 ∴s x-c x< n i o 0 s . 7 由① 可 n x-c x= 5. ② 知i s o s - ②

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2 由知件 ( 已条及 )

1 可知 ( ) 3 ? ?sinx=-5, 解得? ?cosx=4, 5 ?

1 ? ?sinx+cosx=5, ? ?sinx-cosx=-7, 5 ? 3 ∴tanx=- . 4

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1 又∵ 2 c x-s o s n i x+c o s c 2x o s = 2 c x-s o s n i c 2x o s 1 ∴ 2 c x-s o s n i n i s
2 2

n 2x+c i s o s 2 = x c 2x-s o s n i x

x 2 x

2

a 2x+1 n t 2 = 2 , x 1-t x a n 25 . 2 = x 7

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sin?π-α?· cos?2π-α? 31π 例2 已知f(α)= ,求f( 3 ). π sin? +α?tan?π+α? 2 [审题视点] 此类问题首先利用诱导公式化简f(α),而后代

入所求α,再利用诱导公式化简求值.
sinα· cosα sinα· cosα [解] ∵f(α)= = =cosα, cosα· tanα sinα cosα· cosα 31π 31π π π 1 ∴f( 3 )=cos 3 =cos(10π+3)=cos3=2.
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1. 诱导公式及同角三角函数的关系式是求值问题的常用工

具,“切化弦”是解含有正切函数问题的常用方法.
2.解题时注意已知角或函数名称与所求角或三角函数名称之 间存在的关系,要向所求角和三角函数进行化归.

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[变式探究] [2013· 山东模拟]已知角α终边上的一点P(- π cos?2+α?sin?-π-α? 4,3),则 的值为________. 11π 9π cos? 2 -α?sin? 2 +α?

3 答案:-4

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π c ?2+α?s ?-π-α? -sinα·sinα o s n i 解: 析 = =tanα. 11π 9π -sinα·cosα c ? -α?sin? +α? o s 2 2 根据三角函数的定义,可知tanα= y x =- 3 4 ,所以

π cos?2+α?sin?-π-α? 3 3 =tanα=- .故填- . 11π 9π 4 4 cos? -α?sin? +α? 2 2

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例3 23 [1 0· n π ( i s

上饶模拟]在△ABC中,若s n 2 ( i π

-A)=-

2

-B), 3c A=- 2c o s o π ( s
[审题视点]

-B),求△ABC的 个 角 三内.

化简已知,构造出关于A、B的方程组,利用

平方关系消去B,可求得A的大小,进而求出B与C.

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[解]

由知 已得

?n s ?i ? ? ?

A= 2s B n i 3cosA= 2cosB

① ②

①2+②2得sin2A+3cos2A=2, ∴1-cos2A+3cos2A=2,∴2cos2A=1, 2 2 即cosA= 或cosA=- . 2 2

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2 3 1 当c A= 2 时 c B= 2 , A、B是 角 的 角 ( ) o s , o s 又 三形内, π π 7 ∴A=4,B=6,∴C=π-(A+B)=12π. 2 3 2 当c A= 2 时 c B= 2 . ( ) o s - , o s - 又 A、B是 角 的 角 三形内, 综知 上, 3 5 ∴A=4π,B=6π, 合 意 不题.

π π 7 A=4,B=6,C=12π.

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1 诱公在角中常用常的的形: ( 导式三形经使,用角变有 ) A B C π +B=π-C,2A+2B=2π-2C, 2 + 2 + 2 =2等 于 可 ,是得 +B)=s C,c n i o ( s A+B C n i ; 2 )=s 2 等 值再 , n ( i s

A A

2 求时通是求该的一三函 ( 角,常先出角某个角数 ) 结其围确该的小 合范,定角大.

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[变 探 式究 2 若c ( ) o ( s

] 在△ABC中 1 求 : c ,( 证 o ) s π n ( i s 2 +A) 3 a n t ( 2 π+B) C-π < ) 0

2A+B

o s 2 +c

2C

2 =1.

, 证 △AC 为 角 求 B 钝

三形 角. 证 : 1 在△ABC中,A+B=π-C, 明 ( )

A+B π C ∴ = - , 2 2 2 A+B π C C ∴cos =cos( - )=sin , 2 2 2 2 ∴cos
2A+B

2

+cos =1. 2
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2C

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2 若c ( ) o ( s

π n (· i s 2+A)

3 a· n t ( 2π+B) C<0,

C-π < ) 0



则(-s A)(-c B) n i o a s n t 即s Ac Bt C< n o a i s n 0 .

∵在△ABC中,0 A<π,0 B<π,0<C<π且s A>0, < < n i
?c s ?o ∴? ?a t ?n ?c B>0 B<0 s ?o 或? , ?a C<0 C>0 n t ?

∴B为钝角或C为钝角,∴△ABC为钝角三角形.

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【选 · 考 】 题 热秀 22 [1 0· n 2 i s α=( 24 A - . 25 12 C 25 . 大全高 纲国考 ) 12 B. - 25 24 D. 25
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]已知α为 二 限 , 第象角

3 n α= 5 , i s 则

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[规范解答] 方法1:(利用定义)设点P(x,y)是α终边上一 点,由条件得y=3a,r=5a(a> ,那么x=-4a, 0 ) 4 ∴c α=-5,∴s o s n 2 i α=2 n i s 2 4 αc α=-2 ,选A项. o s 5

3 方法2:(利用平方关系)因为α是第二象限角,且s α= , n i 5 ∴c α=- 1-s o s n i ∴s n 2 i α=2 n i s
2

4 α=-5,

2 4 αc α=-2 ,选A. o s 5

[答案] A
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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:易错分析

解本题时常会出现以下两种失误:
(1)易忽视题目中已知条件α的范围,求得cosα的两个值而 致误. (2)虽注意到α的范围,但判断错cosα的符号而导致sin2α的 值错误,误选C项.

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No.2

角度关键词:备考建议

(1)平方关系是一组同角关系式,如sin2α+cos2β=1(α≠β)就 不一定成立,因此能否利用这组关系解题要用“是否同角”来

判别.
(2)利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符 号,需要根据角α的范围进行确定. (3)题目中若没有限定角α的范围,则应考虑两种情况,不 可漏解.

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经典演练提能

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1.[2013· 金版原创]下列与sin2013° 最接近的数是( 1 A. 2 3 C. 2
答案:B 解析:sin2013°=sin213°=-sin33°,故选B.

)

1 B.- 2 3 D.- 2

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2.[23 0· 1

福模 州拟

] 1-2 n i s

(π +2)c (π +2)等 o s 于 ( )

A. n 2 i s

-c o 2 s -c o 2 s )

B. c o 2 s D. n 2 i s

-s n 2 i +c o 2 s

C. ±(s n 2 i

答案:A

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解析:原式= 1-2s n 2 i = (s n 2 i ∵s0 n 2 i> -c o 2 s ,c0 o 2 s < -c o 2 s | )2=|s n 2 i , =s n 2 i

·c o 2 s -c o 2 s | ,

∴原式=|s n 2 i

-c o 2 s .

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3.[1 23 0· 6 A.5 4 C. 3
答案:B

大连模考]已知sinx=2cosx,则sin2x+1=( 9 B.5 5 D. 3

)

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解: 解一 析 法: n i s

∵t x=2, a n
2

x+1 n 2 i s 2 ∴s x+1= 2 n i 2 = n x+c x n i s o s i s 解二由 法: 得s n i
2

x+c 2x a o s 2 n t 2 2 = x+c x a o s n t

2

x+1 9 = . 2 x+1 5
2

2

n x=2 i s c o s
2

1 x得c x= n x代 n o s i s 入i s 2

x+c o s

2

x=1

4 x=5,∴s n i

9 x+1=5.

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4.[1 22 0· 1 A . 5 1 C. 3 答案:D

江高 西考

]若tanθ+ =4, n 则2 i s a θ n t 1 B. 4 1 D. 2

1

θ=(

)

1 sinθ cosθ 解析:∵tanθ+ =4,∴ + =4, tanθ cosθ sinθ sin2θ+cos2θ 2 1 ∴ cosθsinθ =4,即sin2θ=4,∴sin2θ=2.
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5.[ 13· 2 0 改编题]已知2sinαtanα=3,则cosα的值是( A.-7 3 C.4
答案:D

)

1 B.-2 1 D.2

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解: n 析 2 i s c o ( s α+2 2 (s c ) o

2

α=3 c o s

α,∴2 c o s

2

α+3 c o s

α-2=0,

α-1)=0

1 ∴c α= , D. o s 选 2

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第三章第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

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