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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练66


题组层级快练(六十六)
1.抛物线 y=4x2 的焦点到准线的距离是( 1 A. 8 1 C. 16 答案 A 1 1 1 解析 由 x2= y,知 p= ,所以焦点到准线的距离为 p= . 4 8 8 2.过点 P(-2,3)的抛物线的标准方程是( 9 4 A.y2=- x 或 x2= y 2 3 9 4 B.y2= x 或 x2= y 2 3 9 4 C.y2= x

或 x2=- y 2 3 9 4 D.y2=- x 或 x2=- y 2 3 答案 A 9 4 9 解析 设抛物线的标准方程为 y2=kx 或 x2=my,代入点 P(-2,3),解得 k=- ,m= ,∴y2=- x 2 3 2 4 或 x2= y,选 A. 3 7 3. 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点, 点 P 到准线的距离为 d, 且点 P 在 y 轴上的射影是 M, 点 A( , 2 4),则|PA|+|PM|的最小值是( 7 A. 2 9 C. 2 答案 C 1 7 解析 设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,则 F( ,0).又点 A( ,4)在抛物线的外侧,抛物线的准线方程为 2 2 1 1 x=- ,则|PM|=d- . 2 2 9 又|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=5,所以|PA|+|PM|≥ . 2 4.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|= 4 3,则 C 的实轴长为( A. 2 C.4 ) B .2 2 D.8 ) B .4 D.5 ) ) 1 B. 4 D.1

答案 C x2 y2 解析 设双曲线的方程为 2- 2=1,抛物线的准线为 x=-4,且|AB|=4 3,故可得 A(-4,2 3),B(- a a 4,-2 3),将点 A 的坐标代入双曲线方程得 a2=4,故 a=2.故实轴长为 4. 5.(2015· 甘肃天水期末)以坐标轴为对称轴,原点为顶点,且过圆 x2+y2-2x+6y+9=0 圆心的抛物线 方程是( ) B.y=3x2 D.y=-3x2 或 y2=9x

A.y=3x2 或 y=-3x2 C.y2=-9x 或 y=3x2 答案 D

解析 易知圆 x2+y2-2x+6y+9=0 的圆心坐标为(1,-3),当抛物线的焦点在 x 轴上时,设抛物线 方程为 y2=mx,将(1,-3)代入得 m=9,所以抛物线方程为 y2=9x;当抛物线的焦点在 y 轴上时,设抛物 1 线的方程为 x2=ny,将(1,-3)代入得 n=- ,所以抛物线方程为 y=-3x2.综上知,所求抛物线方程为 y 3 =-3x2 或 y2=9x. 6.(2015· 山东烟台期末)已知直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,交抛物线于 A,B 两点,且点 A,B 到 y 轴的距离分别为 m,n,则 m+n+2 的最小值为( A.4 2 C.4 答案 C 解析 抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1,由于直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,交抛 物线于 A,B 两点,且点 A,B 到 y 轴的距离分别为 m,n,所以由抛物线的定义得 m+n+2=|AB|,其最 小值即为通径长 2p=4.故选 C. 7.(2015· 吉林长春调研测试)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( 3 5 A. 5 11 C. 5 答案 B 解析 由题可知 l2:x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,设抛物线的焦点为 F(1,0),则动点 P 到 l2 的距离 等于|PF|,则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值,即焦点 F 到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离, |4-0+6| 所以最小值是 =2,故选 B. 5 8.(2015· 湖北武汉调研)已知 O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF| =4 2,则△POF 的面积为( A.2 C.2 3 ) B .2 2 D.4 ) B .2 D.3 ) B .6 2 D.6

答案 C 解析 设点 P(x0,y0),则点 P 到准线 x=- 2的距离为 x0+ 2.由抛物线定义,得 x0+ 2=4 2,x0 1 =3 2,则|y0|=2 6.故△POF 的面积为 × 2×2 6=2 3. 2 x2 y2 9.点 A 是抛物线 C1:y2=2px(p>0)与双曲线 C2: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点 A a b 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,则双曲线 C2 的离心率等于( A. 2 C. 5 答案 C 解析
2 ?y =2px,

)

B. 3 D. 6 x2 y2 - = 1(a>0 , b>0) 的 一条 渐近 线的 交点 为 a2 b2

求抛 物线 C1 : y2 = 2px(p>0) 与 双曲 线 C2 :

? ? b ? ?y=ax,

解得

? ? 2pa ?y= b ,

2pa2 x= 2 , b

2pa2 p 所以 2 = ,c2=5a2,e= 5,故选 C. b 2

10.(2013· 新课标全国Ⅱ理)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x 答案 C p p 解析 方法一:设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+ =5,则 x0=5- . 2 2 p p 又点 F 的坐标为( ,0),所以以 MF 为直径的圆的方程为(x-x0)(x- )+(y-y0)y=0. 2 2 y2 0 将 x=0,y=2 代入得 px0+8-4y0=0,即 -4y0+8=0,所以 y0=4. 2 p 由 y2 0=2px0,得 16=2p(5- ),解之得 p=2 或 p=8. 2 所以 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.故选 C. → p → p 方法二:由已知得抛物线的焦点 F( ,0),设点 A(0,2),抛物线上点 M(x0,y0),则AF=( ,-2),AM 2 2
2 y0 =( ,y0-2). 2p

) B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x

→ → 8 由已知得,AF· AM=0,即 y2 0-8y0+16=0,因而 y0=4,M( ,4). p 8 p 由抛物线定义可知:|MF|= + =5. p 2 又 p>0,解得 p=2 或 p=8,故选 C. 11.(2015· 河南许昌一模)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=2,则抛物线的方程为________. 答案 y2=-8x

解析 设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),因为准线方程为 x=2,∴p=4.故抛物线方程为 y2=-8x. 1 12.(2015· 黑龙江大庆一模)已知圆 x2+y2+mx- =0 与抛物线 y2=4x 的准线相切,则 m=________. 4 答案 3 4
2 2

m2+1 1 m 解析 圆 x +y +mx- =0 圆心为(- ,0),半径 r= ,抛物线 y2=4x 的准线为 x=-1.由|- 4 2 2 m2+1 m 3 +1|= ,得 m= . 2 2 4 13.右图是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 米, 水面宽 4 米. 水位下降 1 米后, 水面宽________ 米.

答案 2 6 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,

设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0), 由点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1,则抛物线方程为 x2=-2y. 当 y=-3 时,x=± 6, 所以水面宽为 2 6 米. x2 y2 14.(2015· 衡水调研)抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,其准线经过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左顶 a b 点,点 M 为这两条曲线的一个交点,且|MF|=2p,则双曲线的离心率为________. 答案 10 2

解析 设点 M 在第一象限,∵|MF|=2p, 3 ∴M 的坐标为( p, 3p). 2 p 又∵准线经过双曲线的左顶点,∴a= . 2 x2 y2 3 ∴双曲线方程为 2- 2=1.将点 M 代入可得 b2= p2. p b 8 4

3 2 p 2 2 2 2 8 a + b c b 5 ∴e2= 2= 2 =1+ 2=1+ 2 = . a a a p 2 4 ∴e= 10 . 2

15.(2015· 北京顺义一模)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l, 垂足为 A.如果△APF 是边长为 4 的正三角形,那么此抛物线的焦点坐标为________,点 P 的横坐标 xP= ________. 答案 (1,0),3 解析 如图所示.

y2 y2 p 0 0 设 P( ,y0),则|PA|= + =4.① 2p 2p 2 又在 Rt△AMF 中,∠AFM=∠FAP=60° , |AM| |y0| 故 tan∠AFM= = = 3.② |MF| p 联立①②式,得 p=2,|y0|=2 3.
2 y0 故焦点坐标为(1,0),点 P 的横坐标为 x= =3. 2p

16. 抛物线 y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形, 直角顶点是原点, 一条直角边所在直线方程为 y=2x, 斜边长为 5 13,求此抛物线方程. 答案 y2=4x 解析 设抛物线 y2=2px(p>0)的内接直角三角形为 AOB, 直角边 OA 所在直线方程为 y=2x, 另一直角 1 边所在直线方程为 y=- x. 2
?y=2x, ? p ? ,p 解方程组? 2 可得点 A 的坐标为? 2 ?; ? ? y = 2 px , ?

1 ? ?y=-2x, 解方程组? 可得点 B 的坐标为(8p,-4p). 2 ? ?y =2px, ∵|OA|2+|OB|2=|AB|2,且|AB|=5 13, p 2? 2 2 ∴? ? 4 +p ?+(64p +16p )=325. ∴p=2,∴所求的抛物线方程为 y2=4x. 17.(2015· 河北唐山模拟)已知抛物线 E:y2=2px(p>0)的准线与 x 轴交于点 M,过点 M 作圆 C:(x-2)2
2

+y2=1 的两条切线,切点为 A,B,|AB|= (1)求抛物线 E 的方程;

4 2 . 3

(2)过抛物线 E 上的点 N 作圆 C 的两条切线,切点分别为 P,Q,若 P,Q,O(O 为原点)三点共线,求 点 N 的坐标. 3 3 答案 (1)y2=4x (2)( , 6)或( ,- 6) 2 2 p 解析 (1)由已知得 M(- ,0),C(2,0). 2 设 AB 与 x 轴交于点 R,由圆的对称性可知,|AR|= 1 于是|CR|= |AC|2-|AR|2= . 3 所以|CM|= |AC| |AC| |AC| = = =3. sin∠AMC sin∠CAR |CR| |AC| 2 2 . 3

p 即 2+ =3,p=2. 2 故抛物线 E 的方程为 y2=4x.

(2)设 N(s,t). P,Q 是以 NC 为直径的圆 D 与圆 C 的两交点. s+2 2 ?s-2?2+t2 t 圆 D 方程为(x- ) +(y- )2= , 2 2 4 即 x2+y2-(s+2)x-ty+2s=0.① 又圆 C 方程为 x2+y2-4x+3=0,② ②-①,得(s-2)x+ty+3-2s=0.③ P,Q 两点坐标是方程①和②的解,也是方程③的解,从而③为直线 PQ 的方程. 3 因为直线 PQ 经过点 O,所以 3-2s=0,s= . 2 3 3 故点 N 坐标为( , 6)或( ,- 6). 2 2

过点 M(2,-2p)作抛物线 x2=2py(p>0)的两条切线,切点分别为 A,B,若线段 AB 中点的纵坐标为 6, 求抛物线方程.

答案 x2=2y 或 x2=4y 1 解析 x2=2py 变形为 y= x2, 2p

x ∴y′= .设 A(x1,y1),B(x2,y2), p x1 ∴y′|x=x1= . p x1 ∴切线 AM 方程为 y-y1= (x-x1). p
2 x1 x2 x2 x2 1 即 y= x- .同理 BM 方程为 y= x- . p 2p p 2p

又(2,-2p)在两条直线上, 2x1 x2 2x2 x2 1 2 ∴-2p= - ,-2p= - . p 2p p 2p x2 2x ∴x1,x2 是方程 - -2p=0 的两根. 2p p 即 x2-4x-4p2=0.∴x1+x2=4,x1x2=-4p2. 1 ∴y1+y2= (x2 +x2) 2p 1 2 = 1 1 [(x +x )2-2x1x2]= (16+8p2). 2p 1 2 2p

又∵线段 AB 中点纵坐标为 6, 1 ∴y1+y2=12,即 (16+8p2)=12. 2p 解得 p=1 或 p=2. ∴抛物线方程为 x2=2y 或 x2=4y.


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