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第95课时:第十三章 导数——导数的概念及运算


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课题:导数的概念及运算 一.复习目标: 理解导数的概念和导数的几何意义, 会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切 线方程. 二.知识要点: 1.导数的概念: f ?( x0 ) ?
f ?( x) ?
<

br />; .

2.求导数的步骤是 3.导数的几何意义是 三.课前预习: 1.函数 y ? (2 x2 ? 1)2 的导数是
( A) 16 x3 ? 4 x 2 ( B ) 4 x3 ? 8 x (C ) 16 x3 ? 8x

. (
C



( D) 16 x3 ? 4 x
A

2 . 已 知 函 数 f ( x)在x ? 1处的导数为 3, 则f ( x) 的 解 析 式 可 (
( A) f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 3( x ? 1) (C ) f ( x) ? 2( x ? 1) 2 ( B ) f ( x) ? 2( x ? 1) ( D ) f ( x) ? x ? 1



3.曲线 y ? 4x ? x2 上两点 A(4, 0), B (2, 4) ,若曲线上一点 P 处的切线恰好平行于 弦 AB ,则点 P 的坐标为
( A) (1,3) ( B ) (3,3) (C ) (6, ?12)


( D) (2, 4)

B



4. 若函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限, 则函数 f ?( x ) 的图象是 ( A )
y

y

y

y

O

x
( A) (B)

O

x
O

x

O

x

(C )

( D)
3? , 则 f ?(? 2 )? ?1 , 4

5 . 已 知 曲 线 y ? f ( x ) 在 x ? ?2 处 的 切 线 的 倾 斜 角 为
[ f (?2)]? ? 0 .

6.曲线 y ? 2 ?

1 2 1 ? x 与 y ? x 3 ? 2 在交点处的切线的夹角是 . 2 4 4
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四.例题分析: 例 1. (1)设函数 f ( x) ? (3x2 ? x ? 1)(2x ? 3) ,求 f ?( x), f ?(?1) ; (2)设函数 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x ? 5 ,若 f ?( x ) ? 0 ,求 x 的值. (3)设函数 f ( x) ? (2 x ? a)n ,求 f ?( x ) . 解: (1) f ( x) ? 6x3 ? 11x2 ? 5x ? 3 ,∴ f ?( x) ? 18x2 ? 22 x ? 5 (2)∵ f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x ? 5 ,∴ f ?( x) ? 3x2 ? 4 x ? 1 由 f ?( x ) ? 0 得: 3x02 ? 4 x ? 1 ? 0 ,解得: x0 ? 1 或 x0 ? (3) f ?( x) ? lim
(2 x ? a ? 2?x) n ? (2 x ? a) n ?x ?0 ?x
n n ? Cn 2 (?x) n ?1 ] ? 2n(2 x ? a)n?1

1 3

1 2 ? lim[Cn (2 x ? a) n ?1 ? 2 ? Cn 4?x(2 x ? a) n ?2 ? ?x ?0

例 2.物体在地球上作自由落体运动时,下落距离 S ? 若 V ? lim g ? 9.8m / s 2 ,

S (1 ? ?t ) ? S (1) ? 9.8m / s , 则下列说法正确的是 ( C ) ?t ?0 ?t (A)0~1s 时间段内的速率为 9.8m / s (B)在 1~1+△ts 时间段内的速率为 9.8m / s (C)在 1s 末的速率为 9.8m / s (D)若△t>0,则 9.8m / s 是 1~1+△ts 时段的速率; 若△t<0,则 9.8m / s 是 1+△ts~1 时段的速率. S (1 ? ?t ) ? S (1) 小结:本例旨在强化对导数意义的理解, lim 中的△t 可正可负 ?t ? 0 ?t

1 2 gt 其中 t 为经历的时间, 2

例 3. (1) 曲线 C : y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 在 (0,1) 点处的切线为 l1 : y ? x ? 1 在 (3, 4) 点处的切线为 l2 : y ? ?2 x ? 10 ,求曲线 C 的方程; (2)求曲线 S : y ? 2 x ? x3 的过点 A(1,1) 的切线方程. 解: (1)已知两点均在曲线 C 上. ∵ y? ? 3ax2 ? 2bx ? c

?d ? 1 ∴? ?27a ? 9b ? 3c ? d ? 4
f / (3) ? 27a ? 6b ? c

f / (0) ? c

?c ? 1 ∴? , ?27a ? 6b ? c ? ?2

1 可求出 d ? 1, c ? 1, a ? ? , b ? 1 3

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1 ∴曲线 C : y ? ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 3

(2) 设切点为 P( x0 , 2x0 ? x03 ) , 则斜率 k ? f ?( x0 ) ? 2 ? 3x02 , 过切点的切线方程为:

y ? 2x0 ? x03 ? (2 ? 3x02 )( x ? x0 ) ,
∵过点 A(1,1) ,∴ 1 ? 2x0 ? x03 ? (2 ? 3x02 )(1 ? x0 )
1 解得: x0 ? 1 或 x0 ? ? ,当 x0 ? 1 时,切点为 (1,1) ,切线方程为: x ? y ? 2 ? 0 2 1 1 7 当 x0 ? ? 时,切点为 (? , ? ) ,切线方程为: 5 x ? 4 y ? 1 ? 0 2 2 8

例 4.设函数 f ( x) ? 1 ?

1 , x ? 0 (1)证明:当 0 ? a ? b 且 f (a) ? f (b) 时, ab ? 1 ; x

(2)点 P( x0 , y0 ) (0<x0<1)在曲线 y ? f ( x) 上,求曲线上在点 P 处的切线与 x 轴,
y 轴正向所围成的三角形面积的表达式. (用 x0 表示)

解: (1)∵ f (a) ? f (b) ,∴ |1 ?

1 1 1 2 1 2 |?|1 ? | ,两边平方得: 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? a b a a b b

1 1 1 1 1 1 即: ( ? )( ? ) ? 2( ? ) , a b a b a b 1 1 1 1 ∵ 0 ? a ? b ,∴ ? ? 0 ,∴ ? ? 2, a ? b ? 2ab a b a b

? 2ab ? a ? b ? 2 ab , ∴ ab ? 1
(2)当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 1 ?
1 1 1 ? ? 1 , f ?( x0 ) ? ? 2 (0 ? x0 ? 1) x0 x x 1 ( x ? x0 ) , x0 2

曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线方程为: y ? y0 ? ?
x 2 ? x0 ? x0 2 x0

即: y ? ?

∴切线与与 x 轴, y 轴正向的交点为 (2 x0 ? x0 2 ,0),(0,

2 ? x0 ) x0

2 ? x0 1 1 ? (2 ? x0 ) 2 ∴所求三角形的面积为 A( x0 ) ? (2 x0 ? x0 2 ) ? 2 x0 2

例 5.求函数 y ? x4 ? x ? 2 图象上的点到直线 y ? x ? 4 的距离的最小值及相应点

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的坐标.
?y ? x4 ? x ? 2 解:首先由 ? 得 x4 ? 2 ? 0 y ? x ? 4 ?

知,两曲线无交点.

y? ? 4x3 ? 1 ,要与已知直线平行,须 4 x3 ? 1 ? 1 , x ? 0
故切点: (0 , -2). d ? 五.课后作业: 1.曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点 (1, ?1) 处的切线方程为
( A) y ? 3 x ? 4 ( B ) y ? ?3x ? 2 (C ) y ? ?4 x ? 3

2?4 2

? 2.


( D) y ? 4 x ? 5



2. 已知质点运动的方程为 s ? 4 ? 10t ? 5t 2 , 则该质点在 t ? 4 时的瞬时速度为 (
( A) 60 ( B ) 120 (C ) 80 ( D) 50



3 3.设点 P 是曲线 y ? x3 ? 3 x ? 上的任意一点,点 P 处切线的倾斜角为 ? ,则 5 角 ? 的取值范围是 ( ) 2? ? 2? ? 2? ? 2? ( A) [0, ] ( B ) [0, ] [ , ? ) (C ) ( , ] ( D) [ , ] 3 2 3 2 3 3 3 f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ? 4.若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 lim k ?? 2k 5.设函数 f ( x) 的导数为 f ?( x ) ,且 f ( x) ? x2 ? 2xf ?(1) ,则 f ?(2) ?
6. 已知曲线 S : y ? 2 x ? x3

(1)求曲线 S 在点 A(1,1) 处的切线方程; (2)求过点 B(2, 0) 并与曲线 S 相切的直 线方程.

7. 设曲线 S : y ? x3 ? 6x2 ? x ? 6 , S 在哪一点处的切线斜率最小?设此点为

P( x0 , y0 )
求证:曲线 S 关于 P 点中心对称.

8. 已 知 函 数 f ( x) ? x2 ? ax ? b, g ( x) ? x2 ? cx ? d . 若 f (2 x ? 1) ? 4 g ( x) , 且
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f ?( x) ? g ?( x) , f (5) ? 30 ,求 g (4) .

9..曲线 y ? x( x ? 1)(2 ? x) 上有一点 P ,它的坐标均为整数,且过 P 点的切线斜率 为正数,求此点坐标及相应的切线方程.

10.已知函数 y ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图像过点 P(1, 2) .过 P 点的切线与图象仅 P 点 一个公共点,又知切线斜率的最小值为 2,求 f ( x) 的解析式

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